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特異ホモロジー (2), カップ積 (2), を証明した (2), ポアンカレ双対 (2), 多様体 (2), text (2), なので (2), を得る (2), varphi (2), partial (2), coboundary (2), コバウンダリ (2), コサイクル (2), コチェイン複体 (2), そして (2), チェイン (2), コホモロジーは (2), 履歴を表示 (2), ツール (2), ログイン (2), アカウント作成 (2), ヘルプ (2), メインメニュー (2), 話題を追加, モバイルビュー, cookieに関する声明, 開発者, 行動規範, 法律および安全に関する連絡先, 免責事項, ウィキペディアについて, プライバシー, ポリシー, テキストは, のもとで利用できます, 追加の条件が適用される場合があります, 詳細については, を参照してください, 利用規約, クリエイティブ, 継承ライセンス, ページは, によってレンダリングされました, parsoid, 最終更新, 2026年7月17日, 日時は, で未設定ならば, utc, 個人設定, 隠しカテゴリ, isbnマジックリンクを使用しているページ, 参照方法, 数学に関する記事, 代数的位相幾何学, カテゴリ, から取得, index, php, title, oldid, 110305925, チェコ, 国立図書館, 典拠管理データベース, lists, 出版物, トピックス, glossary, k理論, 完全列, 単体複体, 基本群, ホモトピー群, ホモトピー, ハウスドルフ, コンパクト, 連続性, 閉集合, 開集合, 主要概念, 集合論的トポロジー, 連続体, 組合せ論的, 点集合, トポロジー, asadollahi, javad, salarian, shokrollah, 2007, for, complexes, 210, 771, 787, journal, pure, applied, algebra, cline, parshall, scott, van, der, kallen, 1977, rational, generic, 143, 163, inventiones, mathematicae, hazewinkel, reidel, dordrecht, netherlands, 1988, see, 1994, ems, encyclopedia, 55608, 010, updated, annotated, translation, soviet, england, 198, 79540, 79160, duke, edu, courses, fall06, cps296, webcitation, query, url, http, geocities, com, jefferywinkler2, ktheory3, html, date, 2009, 2000, book, reviews, 114, 115, bulletin, american, society, 脚注の使い方, γコホモロジー, 位相的巡回コホモロジー, spencer, schur, 量子コホモロジー, perverse, 非アーベルコホモロジー, motivic, 局所コホモロジー, lie環コホモロジー, khovanov, 交叉コホモロジー, harrison, 群コホモロジー, gel, fand, fuks, galois, 平坦コホモロジー, エタールコホモロジー, dirac, deligne, 巡回コホモロジー, 結晶コホモロジー, 連接層コホモロジー, 有界コホモロジー, bonar, claven, brst, より広い意味での, の理論は以下を含む, であるときに, multiplicative, という, 乗法的, 次数環, これらは一般化されたホモロジー論, generalised, homology, それらは普通のホモロジーよりもはるかに多くの情報をもっているが, 計算するのは大変なことがしばしばある, それらの研究は, によって, に強く結びついている, 安定ホモトピー, の表現可能性定理, の様々なバージョン, 楕円ホモロジー, そして形式群の代数を使って定義される他の理論, peterson, の様々な異なるバージョン, 実周期的, 複素周期的, 群の様々な異なるバージョン, このうち最後, として知られている, は特に重要である, による定理によって, の理論とつながりがあるためである, 形式群, daniel, complex, cobordism, mo_, mso_, mu_, コボルディズム, 安定ホモトピー群, さらに重要なことには, 次元公理を完全に落とすことができる, すべての他の公理を満たす群を定義する異なる方法がたくさんある, 例えば次のものがある, 公理の1つはいわゆる次元公理である, がただ1つの点であれば, すべての, であり, に任意のアーベル群, を許すことによって少し一般化することができるが, 非零次元において群は自明であることをなお主張する, これらの公理を満たす群の系は本質的に1つしかないことが再びわかる, がある, と同型であるようなよくあるケースにおいて, 一般に, の間の関係はほんの少しだけ複雑で, によってコントロールされる, 普遍係数定理, コホモロジー群を定義する方法には様々なものがある, 例えば, これらはいくつかの奇妙な空間に対しては異なる答えを与えるが, それがすべて一致するような空間の大きなクラスが存在する, これは公理的に最も容易に理解される, として知られている性質のリストがあり, それらの性質を共有する任意の2つの構成は少なくとも例えばすべての有限, において一致する, 層係数コホモロジー, alexander, čech, も参照, ラームコホモロジー, 単体的コホモロジー, この意味でのいくつかのコホモロジー理論は, theory, のペアの, の圏のような圏の部分圏, の圏への, を満たす反変, の一群である, 準同型, 連続関数, 1948年, アレクサンダーと, の仕事をもとにして, を発達させた, スパイナーコホモロジー, エドウィン, スパイナー, 1945年, とスティーンロッド, を述べ, ホモロジーやコホモロジーの理論を定義した, 彼らの1952年の本, 彼らは存在するホモロジーとコホモロジーの理論は確かに彼らの公理を満たすことを証明した, 1944年, は技術的な制限を克服し, とコホモロジーの現代的な定義を与えた, サミュエル, 1936年から1938年にかけて, コホモロジーを次数環にする, を発展させ, ポワンカレ双対がキャップ積の言葉で述べられることを理解した, 彼らの理論はまだ, セル複体に制限されていた, キャップ積, エドアード, チェック, ハスラー, ホイットニー, 1936年, を双対化することによって, を構成する論文を出版した, チェックホモロジー, ノーマン, スティーンロッド, の1935年のコンフェレンスで, とアレクサンダーの両者は, コホモロジーを導入してコホモロジーの積の構造を構成しようと試みた, モスクワ, 1934年に, に関する結果である, いくらか特別なケースとして, の言葉による, の解釈を提供した, アレクサンダー双対, 位相群, ポントリャーギンの双対定理, ポントリャーギン, 1931年に, はホモロジーと外, を関連付けて, この結果は今ではコホモロジーの言葉でより自然に解釈して理解される, ラームの定理, 微分形式, ジョルジュ, ラーム, アレクサンダーは1930年までに最初の, の概念を, における, の小さい近傍に関連がある空間, コチェインに基づいて, 定義していた, 対角線, コホモロジーには様々な前身があった, 1920年代中ごろ, 上のサイクルの, を作った, 共通部分が空でない, サイクルと, サイクルは, にあれば, 共通部分, サイクルをもつ, これによってホモロジー類の積を定義することができる, 一般の位置, 交叉理論, ソロモン, レフシェッツ, コホモロジーは現代の, において基本的であるが, その重要性はホモロジーの発展後の約40年間は認識されていなかった, は彼の, 定理の証明において, の概念を用いたが, それはコホモロジーのアイデアの起源を含んでいた, しかしこのことは後になって分かった, 双対セル構造, アンリ, ポアンカレ, この写像, は全射であり次の分裂短完全列があることを証明できる, が与えられると, 転置の性質から, の元として, であることが従う, この事実を使うとコホモロジーとホモロジー群の関連付けを以下のように使える, のすべての元, の像を含む核をもつ, に制限することができ, の像による商をとり, の像にも含まれていれば, による商をとることができ, 次の準同型を得る, circ, 上記の定義は, 特異ホモロジーで用いられる複体に限らず, 一般のチェイン複体に対しても適用可能なことに注意しよう, 一般コホモロジー群の研究は, の発達の主要な動機であった, そしてそれ以来, 広く様々な設定における応用が見つかってきた, ホモロジー代数学, すると, group, with, coefficients, で定義され, の元は, singular, cochain, と呼ばれ, operator, の元はそれぞれ, cocycle, コバウンダリ作用素, に係数をもつ特異, に係数をもつ, 次コホモロジー群, で置き換えて, colon, さて各, をその, で置き換え, 双対空間, を構成する, ここで, における特異, 単体の形式的線型結合で生成される自由アーベル群, 次バウンダリ作用素である, 空間のコホモロジー群は次のように定義できる, を参照, が与えられたとき, の定義でのように, の情報を抽出したチェイン複体, 単体的ホモロジー, におけるその起源から, このアイデアは20世紀後半の数学において主要な手法となった, についての位相的不変関係としての, の最初の考えから, ホモロジーとコホモロジーの理論の応用の範囲は, に渡って拡がった, その名称によって, の方が, よりも多くの応用において自然なものであるという事実が隠されがちである, 基本的なレベルではこれは幾何学的な状況において, を扱う, 上のある種の関数, が与えられたとすると, 任意の, との合成は, 上の関数, を引き起こす, コホモロジー群はまたしばしば自然な積, をもっており, の構造を与える, この特徴のために, コホモロジーはホモロジーよりも強い不変量である, ホモロジーでは区別できないある種の代数的対象をコホモロジーでは区別可能なのである, 引き戻し, 抽象代数学, 幾何学, とくに, から定義される, を意味する一般的な用語である, つまり, の抽象的な研究として定義される, がもっているよりも洗練された, をもつ位相空間に割り当てる手法と見ることができる, コホモロジーはホモロジーの構成の代数的な双対から生じる, より抽象的でない言葉で言えば, 基本的な意味でのコチェインは, をホモロジー論の, に割り当てる, 代数的構造, 代数的不変量, この記事には, の一覧が含まれていますが, 適切な位置に脚注を追加して, 記事の, にご協力ください, 2012年12月, 信頼性向上, による参照が不十分であるため, 情報源が依然不明確です, 外部リンク, から転送, コホモロジー群, フリー百科事典, ウィキペディア, ウィキデータ項目, 他のプロジェクト, 印刷用バージョン, pdf, 形式でダウンロード, ブックの新規作成, 書き出し, レガシーパーサーに切り替え, 短縮urlを取得する, このページを引用, ページ情報, この版への固定リンク, ファイルをアップロード, 関連ページの更新状況, リンク元, 日本語, ノート, ページ, リンクを編集, українська, svenska, русский, português, nederlands, မြန်မာဘာသာ, 한국어, italiano, français, suomi, فارسی, español, english, deutsch, català, コホモロジー論サブセクションを切り替えます, ページ先頭, 個人用ツール, ウィキペディアに関するお問い合わせ, バグの報告, お知らせ, 井戸端, 利用案内, 特別ページ, アップロード, ウィキメディア, 練習用ページ, おまかせ表示, 最近の更新, 新しいページ, 最近の出来事, コミュニティ, ポータル, メインページ, コンテンツにスキップ,
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コホモロジー wikipedia コンテンツにスキップ メインメニュー メインメニュー サイドバーに移動 非表示 案内 メインページ コミュニティ ポータル 最近の出来事 新しいページ 最近の更新 おまかせ表示 練習用ページ アップロード ウィキメディア コモンズ 特別ページ ヘルプ ヘルプ 利用案内 井戸端 お知らせ バグの報告 ウィキペディアに関するお問い合わせ 検索 検索 表示 寄付 アカウント作成 ログイン 個人用ツール 寄付 アカウント作成 ログイン 目次 サイドバーに移動 非表示 ページ先頭 1 定義 2 歴史 3 コホモロジー論 コホモロジー論サブセクションを切り替えます 3 1 アイレンバーグ スティーンロッド理論 3 2 公理と一般化されたコホモロジー論 3 3 他のコホモロジー論 4 関連項目 5 脚注 6 参考文献 目次の表示 非表示を切り替え コホモロジー 17 個の言語版 català deutsch english español فارسی suomi français italiano 한국어 မြန်မာဘာသာ nederlands português русский svenska українська 粵語 中文 リンクを編集 ページ ノート 日本語 閲覧 編集 履歴を表示 ツール ツール サイドバーに移動 非表示 操作 閲覧 編集 履歴を表示 全般 リンク元 関連ページの更新状況 ファイルをアップロード この版への固定リンク ページ情報 このページを引用 短縮urlを取得する レガシーパーサーに切り替え 印刷 書き出し ブックの新規作成 pdf 形式でダウンロード 印刷用バージョン 他のプロジェクト ウィキデータ項目 表示 サイドバーに移動 非表示 出典 フリー百科事典 ウィキペディア wikipedia コホモロジー群 から転送 この記事には 参考文献 や 外部リンク の一覧が含まれていますが 脚注 による参照が不十分であるため 情報源が依然不明確です 適切な位置に脚注を追加して 記事の 信頼性向上 にご協力ください 2012年12月 数学 とくに ホモロジー論 と 代数トポロジー において コホモロジー cohomology とは コチェイン複体 から定義される アーベル群 の 列 を意味する一般的な用語である つまり コホモロジーは コチェイン コサイクル そして コバウンダリ の抽象的な研究として定義される コホモロジーは 代数的不変量 英語版 を ホモロジー がもっているよりも洗練された 代数的構造 をもつ位相空間に割り当てる手法と見ることができる コホモロジーはホモロジーの構成の代数的な双対から生じる より抽象的でない言葉で言えば 基本的な意味でのコチェインは 量 をホモロジー論の チェイン に割り当てる 位相幾何学 におけるその起源から このアイデアは20世紀後半の数学において主要な手法となった チェイン についての位相的不変関係としての ホモロジー の最初の考えから ホモロジーとコホモロジーの理論の応用の範囲は 幾何学 と 抽象代数学 に渡って拡がった その名称によって コホモロジー 反変 理論 の方が ホモロジー よりも多くの応用において自然なものであるという事実が隠されがちである 基本的なレベルではこれは幾何学的な状況において 関数 と 引き戻し 英語版 を扱う 空間 x と y そして y 上のある種の関数 f が与えられたとすると 任意の 写像 f x y に対して f との合成は x 上の関数 f o f を引き起こす コホモロジー群はまたしばしば自然な積 カップ積 をもっており 環 の構造を与える この特徴のために コホモロジーはホモロジーよりも強い不変量である ホモロジーでは区別できないある種の代数的対象をコホモロジーでは区別可能なのである 定義 編集 代数トポロジー において 空間のコホモロジー群は次のように定義できる hatcher を参照 位相空間 x が与えられたとき 特異ホモロジー あるいは 単体的ホモロジー の定義でのように x の情報を抽出したチェイン複体 c n n c n 1 displaystyle cdots rightarrow c_ n stackrel partial _ n rightarrow c_ n 1 rightarrow cdots を構成する ここで c n は x における特異 n 単体の形式的線型結合で生成される自由アーベル群 n は n 次バウンダリ作用素である さて各 c n をその 双対空間 c n hom c n g で置き換え n を 転置 δ n c n 1 c n displaystyle delta n colon c_ n 1 rightarrow c_ n で置き換えて コチェイン複体 c n δ n c n 1 displaystyle cdots leftarrow c_ n stackrel delta n leftarrow c_ n 1 leftarrow cdots を得る すると g に係数をもつ n 次コホモロジー群 the n th cohomology group with coefficients in g が ker δ n 1 im δ n で定義され h n c g と表記される c n の元は g に係数をもつ特異 n コチェイン singular n cochain と呼ばれ δ n は コバウンダリ作用素 coboundary operator と呼ばれる ker δ n 1 im δ n の元はそれぞれ コサイクル cocycle コバウンダリ coboundary と呼ばれる 上記の定義は 特異ホモロジーで用いられる複体に限らず 一般のチェイン複体に対しても適用可能なことに注意しよう 一般コホモロジー群の研究は ホモロジー代数学 の発達の主要な動機であった そしてそれ以来 広く様々な設定における応用が見つかってきた 下記 参照 c n 1 の元 φ が与えられると 転置の性質から c n の元として δ n φ φ n displaystyle delta n varphi varphi circ partial _ n であることが従う この事実を使うとコホモロジーとホモロジー群の関連付けを以下のように使える ker δ n のすべての元 φ は n の像を含む核をもつ なので φ を ker n 1 に制限することができ n の像による商をとり hom h n g の元 h φ を得る φ が δ n 1 の像にも含まれていれば h φ は 0 である なので ker δ n による商をとることができ 次の準同型を得る h h n c g hom h n c g displaystyle h h n c g rightarrow text hom h_ n c g この写像 h は全射であり次の分裂短完全列があることを証明できる 0 ker h h n c g h hom h n c g 0 displaystyle 0 rightarrow ker h rightarrow h n c g stackrel h rightarrow text hom h_ n c g rightarrow 0 歴史 編集 コホモロジーは現代の 代数トポロジー において基本的であるが その重要性はホモロジーの発展後の約40年間は認識されていなかった アンリ ポアンカレ は彼の ポアンカレ双対 定理の証明において 双対セル構造 の概念を用いたが それはコホモロジーのアイデアの起源を含んでいた しかしこのことは後になって分かった コホモロジーには様々な前身があった 1920年代中ごろ j w アレクサンダー と ソロモン レフシェッツ は 多様体 上のサイクルの 交叉理論 を作った n 次元 多様体 m において 共通部分が空でない p サイクルと q サイクルは 一般の位置 英語版 にあれば 共通部分 p q n サイクルをもつ これによってホモロジー類の積を定義することができる h p m h q m h p q n m アレクサンダーは1930年までに最初の コチェイン の概念を x p 1 における 対角線 の小さい近傍に関連がある空間 x 上の p コチェインに基づいて 定義していた 1931年に ジョルジュ ド ラーム はホモロジーと外 微分形式 を関連付けて ド ラームの定理 を証明した この結果は今ではコホモロジーの言葉でより自然に解釈して理解される 1934年に レフ ポントリャーギン は ポントリャーギンの双対定理 を証明した これは 位相群 に関する結果である これは いくらか特別なケースとして 群 指標 の言葉による ポアンカレ双対 と アレクサンダー双対 英語版 の解釈を提供した モスクワ の1935年のコンフェレンスで アンドレイ コルモゴロフ とアレクサンダーの両者は コホモロジーを導入してコホモロジーの積の構造を構成しようと試みた 1936年 ノーマン スティーンロッド は チェックホモロジー 英語版 を双対化することによって チェックコホモロジー 英語版 を構成する論文を出版した 1936年から1938年にかけて ハスラー ホイットニー と エドアード チェック 英語版 は カップ積 コホモロジーを次数環にする と キャップ積 を発展させ ポワンカレ双対がキャップ積の言葉で述べられることを理解した 彼らの理論はまだ 有限 セル複体に制限されていた 1944年 サミュエル アイレンベルグ は技術的な制限を克服し 特異ホモロジー とコホモロジーの現代的な定義を与えた 1945年 アイレンベルグ とスティーンロッド は 公理 英語版 を述べ ホモロジーやコホモロジーの理論を定義した 彼らの1952年の本 foundations of algebraic topology 英語版 において 彼らは存在するホモロジーとコホモロジーの理論は確かに彼らの公理を満たすことを証明した 1 1948年 エドウィン スパイナー 英語版 は アレクサンダーと アンドレイ コルモゴロフ の仕事をもとにして アレクサンダー スパイナーコホモロジー 英語版 を発達させた コホモロジー論 編集 アイレンバーグ スティーンロッド理論 編集 コホモロジー論 cohomology theory は 位相空間 と 連続関数 のペアの 圏 あるいは cw複体 の圏のような圏の部分圏 から アーベル群 と群 準同型 の圏への eilenberg steenrod の公理 英語版 を満たす反変 関手 の一群である この意味でのいくつかのコホモロジー理論は 単体的コホモロジー 英語版 特異コホモロジー ド ラームコホモロジー チェックコホモロジー 公理と一般化されたコホモロジー論 編集 コホモロジー論の一覧 英語版 も参照 コホモロジー群を定義する方法には様々なものがある 例えば 特異コホモロジー čech コホモロジー 英語版 alexander spanier コホモロジー 英語版 あるいは 層係数コホモロジー これらはいくつかの奇妙な空間に対しては異なる答えを与えるが それがすべて一致するような空間の大きなクラスが存在する これは公理的に最も容易に理解される eilenberg steenrod の公理 英語版 として知られている性質のリストがあり それらの性質を共有する任意の2つの構成は少なくとも例えばすべての有限 cw複体 において一致する 公理の1つはいわゆる次元公理である p がただ1つの点であれば すべての n 0 に対して h n p 0 であり h 0 p z である 次元 0 に任意のアーベル群 a を許すことによって少し一般化することができるが 非零次元において群は自明であることをなお主張する これらの公理を満たす群の系は本質的に1つしかないことが再びわかる これは h x a displaystyle h_ x a と表記される 各群 h k x がある r k n に対して z r k と同型であるようなよくあるケースにおいて 単に h k x a a r k displaystyle h_ k x a a r_ k である 一般に h k x と h k x a displaystyle h_ k x a の間の関係はほんの少しだけ複雑で 再び 普遍係数定理 によってコントロールされる さらに重要なことには 次元公理を完全に落とすことができる すべての他の公理を満たす群を定義する異なる方法がたくさんある 例えば次のものがある 安定ホモトピー群 英語版 π k s x displaystyle pi _ k s x コボルディズム 群の様々な異なるバージョン m o x m s o x m u x displaystyle mo_ x mso_ x mu_ x など このうち最後 complex cobordism として知られている は特に重要である daniel quillen による定理によって 形式群 英語版 の理論とつながりがあるためである k 理論 の様々な異なるバージョン k o x displaystyle ko_ x 実周期的 k 理論 k o x displaystyle ko_ x 実 connective k u x displaystyle ku_ x 複素周期的 k u x displaystyle ku_ x 複素 connective など brown peterson ホモロジー 英語版 morava k 理論 英語版 morava e 理論 そして形式群の代数を使って定義される他の理論 楕円ホモロジー 英語版 の様々なバージョン これらは一般化されたホモロジー論 generalised homology theories と呼ばれる それらは普通のホモロジーよりもはるかに多くの情報をもっているが 計算するのは大変なことがしばしばある それらの研究は brown の表現可能性定理 英語版 によって 安定ホモトピー 英語版 に強く結びついている コホモロジー論 e は e x displaystyle e x が 次数環 であるときに 乗法的 multiplicative という 他のコホモロジー論 編集 より広い意味での コホモロジー の理論は以下を含む 2 3 andré quillen コホモロジー 英語版 brst コホモロジー 英語版 bonar claven コホモロジー 英語版 有界コホモロジー 英語版 連接層コホモロジー 英語版 結晶コホモロジー 英語版 巡回コホモロジー 英語版 deligne コホモロジー 英語版 dirac コホモロジー 英語版 エタールコホモロジー 平坦コホモロジー 英語版 galois コホモロジー gel fand fuks コホモロジー 英語版 群コホモロジー harrison コホモロジー 英語版 hochschild コホモロジー 英語版 交叉コホモロジー 英語版 khovanov ホモロジー lie環コホモロジー 局所コホモロジー 英語版 motivic コホモロジー 英語版 非アーベルコホモロジー 英語版 perverse コホモロジー 英語版 量子コホモロジー schur コホモロジー 英語版 spencer コホモロジー 英語版 位相的 andré quillen コホモロジー 英語版 位相的巡回コホモロジー 英語版 位相的 hochschild コホモロジー 英語版 γコホモロジー 英語版 関連項目 編集 コホモロジー論の一覧 英語版 脚注 編集 脚注の使い方 spanier e h 2000 book reviews foundations of algebraic topology bulletin of the american mathematical society 37 1 pp 114 115 https www webcitation org query url http www geocities com jefferywinkler2 ktheory3 html date 2009 10 26 00 45 56 https www cs duke edu courses fall06 cps296 1 参考文献 編集 hatcher a 2001 algebraic topology cambridge u press england cambridge p 198 isbn 0 521 79160 x and isbn 0 521 79540 0 hazewinkel m ed encyclopaedia of mathematics an updated and annotated translation of the soviet mathematical encyclopaedia reidel dordrecht netherlands 1988 p 68 isbn 1 55608 010 7 or see cohomology encyclopedia of mathematics ems press 2001 1994 e cline b parshall l scott and w van der kallen 1977 rational and generic cohomology inventiones mathematicae 39 2 pp 143 163 asadollahi javad and salarian shokrollah 2007 cohomology theories for complexes journal of pure applied algebra 210 3 pp 771 787 表 話 編 歴 位相幾何学 トポロジー 分野 一般 点集合 代数的 組合せ論的 英語版 連続体 微分 幾何学的 ホモロジー コホモロジー 集合論的トポロジー 主要概念 開集合 閉集合 連続性 空間 コンパクト ハウスドルフ 距離 一様 ホモトピー ホモトピー群 基本群 単体複体 cw複体 完全列 ホモロジー代数 k理論 glossary 英語版 lists トピックス 英語版 一般 英語版 代数的 英語版 幾何学的 英語版 出版物 英語版 典拠管理データベース 国立図書館 チェコ https ja wikipedia org w index php title コホモロジー oldid 110305925 から取得 カテゴリ コホモロジー論 代数的位相幾何学 ホモロジー代数 ホモロジー論 数学に関する記事 隠しカテゴリ 参照方法 isbnマジックリンクを使用しているページ 最終更新 2026年7月17日 金 06 21 日時は 個人設定 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