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alternatives, meantone, tunings, ゼンハーモニック音楽, tonal, functions, touma, habib, hassan, 1996, portland, amadeus, 931340, isbn, arabs, jeremy, montagu, just, intonation, archive, details, treatiseofmusick00malc, imogen, holst, 1963, 100, abc, 1977, 1100, chambers, twentieth, century, dictionary, arnold, whittall, eric, harmonious, connections, alain, danielou, mushiram, manoharlal, 1999, introduction, study, 154, plato, trans, desmond, lee, harmondsworth, penguin, 1974, page, 340, republic, 音楽的集合論の方法を拡張することにより, 音楽理論家は音楽を解析するため, を用いている, 平均律のオクターヴにおける音符は12個からなり, を形成している, を用いることで, を記述することが可能である, 自由アーベル群, アーベル群, 音楽的集合論, は音楽的要素を構成しその関連性を記述するため, 数学的, の概念を援用している, セット理論を使用して, 典型的な無調の, 音楽の構造を解析するため, 通常起点やコードを構成可能な音階の集合として理論を適用する, や転調といった単純な操作に適用することで, 音楽の深い構造を理解することが可能になる, 移調や転調といった操作は集合内の音階間の間隔を保存するため, と呼ばれている, 等長写像, このサンプルは, 下の音はa, 各々の音階にて440hz, 上の音はc, 前者は平均律音階における音, 後者は純正律音階における音である, の違いにより前者の例よりも違いを容易に判別可能である, うなり, ダイアード, 同じ2音をa440のペダル音上で, このサンプルは550hz, 純正律音階のc, 続いて554, 37hz, 平均律音階のc, を演奏している, 2つの正弦波の連続的な演奏, 以下に純正律と平均律の違いを示した, ファイルを挙げる, 違いを理解するには, 以下のファイルを何回も聞く必要があるかもしれない, ogg, vorbis, 698, 207, 615, 196, 531, 185, 448, 174, 365, 164, 281, 198, 146, 115, 138, 031, 130, 948, 123, 116, 前の音との周波数の対数の差, 周波数の対数log, 前の音との周波数の差, 72平均律と, 主要な和声の正確な周波数値との差を表した図, tetは平均律を表す, 1平均律, 25平均律の間で, の正確な周波数値との誤差の割合を表したグラフ, 以下のグラフは平均律が和声をどの程度正確に近似しているかを示している, 横軸上の数字は分割する平均律の値を表す, は12平均律音階を表す, 様々な等しい音程を使用して, 平均律音階や楽器が作られてきた, は16世紀に, により初めて提案, 使用されたもので, 19の等間隔なステップを用いる, 19平均律は通常の12平均律よりも長三度や短三度においてより誤差が小さくより協和する, 24個の等間隔なステップを用いる, の音楽教育や音楽表記において広く用いられている, 理論と実践においては, 平均律が, で表されるにもかかわらず, 中東音楽の音調は, で表される, 平均調律が行われた, の近似音がアラブの音調体系には全く見られない一方で, 3つの四分音の近似音, もしくは, は頻繁に現れる, これらの中立二度は, や地理に依存してその比率に僅かな幅がある, 中東の音楽歴史家である, この音楽的なステップの偏り幅がアラブ音楽特有の香りに決定的な働きをする, オクターヴを24の等しい四分音に分割することは, この音楽文化の最も特徴的な要素の一つを放棄するだろう, と記している, ハビーブ, ハサン, トゥーマー, マカーム, 中立二度, 四分音, 有理数の比率, 無理数の比率, アラブ音楽, 24平均律, ギヨーム, コストレイ, 19平均律, ではオクターヴは12の等しい半音階に分かれており, それぞれの半音階はその比が, となっている, よって, 半音階を12個上がることによりちょうど1オクターヴ上昇する, ギターなど, を有する楽器では平均律が有用である, なぜならフレットが弦を等しく横断するからである, ヨーロッパの音楽の伝統において, 平均律は, などの他の楽器よりも早く, を用いた音楽のために使用された, 歴史の圧力により, 12平均律は現代において西洋, そして非西洋の大部分の地域において支配的な音調体系となっている, ギター, リュート, フレット, 2の12乗根, 西洋の伝統的音楽は一般に純正律で演奏することはできず, 体系的に調整された音律を必要とする, 調整は, 不規則な, レギュラーテンペラメント, さまざまな, や正則中全音律などが用いられる, どの場合においても, の基本的特徴を必要とする, 度音の平方根をドミナント上の五度に調律した場合, 主音との音程差は9, 8に等しくなる, 3サブドミナント, の下においた場合, 主音からの音程差は10, 9に等しい, 中全音律は9, 9の間の相違を減らしている, すなわち, これら2つの比, 80はユニゾンとして扱われている, 音程差となる81, 80は, もしくはdidymusのコンマと呼ばれ, 中全音律において重要なコンマとなっている, 中全音律, ウェル, テンペラメント, 純正な長三度の比率5, 4と短三度の比率6, 5に対し, ピタゴラス音律では81, 64と32, 27となり, すなわち81, 80の差がある, carl, dahlhaus, 1990, 187, によれば, 従属的な三度はピタゴラス音律に従い, 独立した三度は倍音に基づく音程にむかう, は完全協和音である, のみで作られる調律である, 長三度は三度ではなくditone, つまり文字通りには, 二全音, として考えられていて, その音程は, 64である, 全音は2つの完全五度から導かれる, ピタゴラス音律, 960, 900, 長七度, 短七度, 800, 長六度, 768, 短六度, 720, 675, 三全音, 640, 600, 576, 540, 長二度, 512, 短二度, 480, 完全一度, 最初の16個の倍音を周波数及び周波数の対数とともに表示したもの, 最初の16個の倍音の名前と周波数が示すオクターヴの指数的性質を表したもの, 基本周波数の整数倍の周波数にはオクターヴ倍音の他に, 非オクターヴ倍音が存在することがわかる, の最も一般的な形式であり, を用いた調律体系である, これは1619年に書かれた, の著書, の運動と関連して示された音階の一つである, 同じ音階が1721年にスコットランドの数学者兼音楽理論家のアレクサンダー, マルコムにより, において移調形式で与えられ, 20世紀には音楽理論家のjose, wuerschmidtにより与えられた, この純正律の形式は北インドの音楽で使用されている, アメリカ合衆国の作曲家, もまた, において逆形式の使用を行っている, 純正律は, がほとんどもしくはまったくない場合に優れた結果を与える, 人声と他の楽器は常に純正音程へ引き寄せられる, 2つの異なる全音の音程, が与えられることで, 純正律に調律された, では移調ができなくなる, 比率による音階の音の周波数は, 主音の周波数に対し比を乗算を行うことで求められる, 主音a4, 中央のcの上のa, を周波数440, とすると, 純正に調律された五度, の周波数は440, 660hzとなる, 鍵盤楽器, 和声進行, harp, albion, テリー, ライリー, treatise, musick, speculative, practical, historical, 宇宙の調和, ヨハネス, ケプラー, 有理数, 基本周波数, 5限界調律, および, 880, 969, 770, 自然七度, 660, 386, 550, 440, 330, オクターヴ内の, オクターヴ内の比率, 一度との比, 音程ごとに等間隔となるようオクターヴを表示した図, 線形周波数音階で測定した際のオクターヴの指数的性質を示した図, 人間は音階を記述する際, 音高それ自身の正確性よりも各音高間の関係もしくは, として知られる, に興味を持つことが多いため, 特定の音高から見た比率を考察してすべての音階, 音高を把握することが多い, この特定の音高は値1, で記述されることが多い, で記述することが多く, 一般に音階の主音として機能する音符である, 音程比較には, を用いることが多い, は音楽を作成, 記述する際に用いられる, である, 西洋伝統音楽において最も重要な音階は, であるが, 歴史上の様々な時代や地域で異なる音階が使用, 提案されてきた, 各々の音高は特定周波数に対応している, 特定周波数は一般にヘルツ, で表現するが, 時にcycles, per, second, を用いることもある, 音階は反復の音程, 通常は, を有する, あらゆる音高の, は元の音高が持つ周波数のちょうど二倍に相当する, これを繰り返すことにより, 4オクターヴ上げた音高の周波数はそれぞれ元の音高の4, 16倍となっている, 同様に, 3オクターヴ下げた場合の音高の周波数は元の音高の周波数の1, 8倍となっておりサブオクターヴと呼ばれる, 音楽のハーモニーにおいて特定の音高が調和していると考えられる場合, その1オクターヴ上の音高が調和していない場合は存在しない, 従って, あらゆる音符とそのオクターヴは一般に音楽体系で名付けられていることを見いだせる, といった単語で呼ばれる音がある, 最初のオクターヴが, つまり110hzから220hzまでの間隔, 110hz, の間の周波数として表現されるとき, 次のオクターヴは220hzから440hz, 220hz, の間の周波数で, 3番目のオクターヴは440hzから880hz, 440hz, の間の周波数で表現される, 次のオクターヴの周波数の間隔は前の周波数の間隔の二倍となっている, 全音階, 正方形の板上に細かな粒子を置き, 音の振動で生成されたさまざまな, のパターン, ernst, chladni, 1802, acoustics, クラドニ図形, という単語は元々, に由来する単語ではなく, に由来している, もしくはコリンズ英英辞典を参照のこと, の綴りが後に全く異なる単語, の綴りと混同され, という単語が生まれたと考えられている, オックスフォード英英辞典, 音楽形式は音楽の短い断片を拡張していく際の設計を指す, という用語は建築でも用いられており, 楽式と比較されることが多い, 建築と同じく, 作曲家は簡潔で, かつ反復や秩序を持った作曲が可能であるか, 作品が意図通りに機能するかを考慮に入れなければならない, として知られる一般的な楽式は, 音楽の理解における小さな整数値の重要性を示している, 三部形式, 二部形式, リズム構造の境界, つまり基本となる, を規則的に配置することなしに音楽は成立し得ない, という単語から生じたとされる, という単語は, と混同されるようになったという関連性があり, 現代における, といった単語の音楽における使用は天文学に使用される記数, 時間の正確な測定, 物理学の基礎概念である, などと関連のあった音楽の歴史的重要性を反映している, 周期性, rim, デュレーション, ビート, 音楽を作曲し, 聞く新たな方法を見出す試みは, の音楽への適用を促すこととなった, 作曲家の中には, 自身の作品に, を取り入れた者もいる, フィボナッチ数, 黄金比, バルトーク, の時代よりハルモニアは, 物理学, の基礎部門のひとつとして見なされていた, この部門は現代では, として知られている, 古代のインドや中国の音楽理論家もまた似たような方法論をとった, 彼らは皆, の数学的法則が私達の暮らす世界の理解だけでなく, 人類自体の理解にとっても不可欠なものであることを示そうと務めた, はピタゴラスと同じく, 小さな数である1, 4をあらゆる完全性の根源であるとみなしていた, 音響学, 自然学, プラトン, は現代, 的基礎を持たないにもかかわらず, 理論家は音楽を理解するために, を使用することがある, 数学は, 音の基礎, 音楽に存在する音それ自体の配列が注目すべき数的性質を宿している, これは単に自然現象が, 驚異的なほどに数学的性質を有しているからである, そして, 人は音の数学的原理を研究していたことで知られているが, 古代ギリシアの, が数の, 特に小さな整数の比率による, の表現を研究した研究者集団として有名である, 彼らの, 界のあらゆる構成物は数から生じる, というものであった, ハルモニア, ἁρμονία, ピタゴラス教団, メソポタミア, エジプト, 本項目では, おんがくとすうがく, の関連性について述べる, バイオリンの, 縦軸は線形周波数, 横軸は時間を表す, 輝線は周波数の経時変化を表す, 色の明度は対数による, 120, dbfs, スペクトログラム, フリー百科事典, ウィキペディア, ウィキデータ項目, 他のプロジェクト, 印刷用バージョン, pdf, 形式でダウンロード, ブックの新規作成, 書き出し, レガシーパーサーに切り替え, 短縮urlを取得する, このページを引用, ページ情報, この版への固定リンク, ファイルをアップロード, 関連ページの更新状況, リンク元, 日本語, ノート, ページ, 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人は音の数学的原理を研究していたことで知られているが 2 古代ギリシアの ピタゴラス教団 が数の 比率 特に小さな整数の比率による 音階 の表現を研究した研究者集団として有名である 3 彼らの 教条 は 自然 界のあらゆる構成物は数から生じる ἁρμονία ハルモニア 調和 から成り立っている というものであった 4 プラトン の時代よりハルモニアは 自然学 物理学 の基礎部門のひとつとして見なされていた なお この部門は現代では 音響学 として知られている 古代のインドや中国の音楽理論家もまた似たような方法論をとった 彼らは皆 和声 や リズム の数学的法則が私達の暮らす世界の理解だけでなく 人類自体の理解にとっても不可欠なものであることを示そうと務めた 5 孔子 はピタゴラスと同じく 小さな数である1 2 3 4をあらゆる完全性の根源であるとみなしていた 6 音楽を作曲し 聞く新たな方法を見出す試みは 集合論 抽象代数学 数論 の音楽への適用を促すこととなった 作曲家の中には バルトーク など 自身の作品に 黄金比 や フィボナッチ数 を取り入れた者もいる 7 8 時間 リズム 拍子 編集 詳細は 拍子 を参照 リズム構造の境界 つまり基本となる 拍節 反復 ビート 楽句 デュレーション 音楽 英語版 を規則的に配置することなしに音楽は成立し得ない 9 古英語 において rhythm という単語から生じたとされる rhyme という単語は rim 数字 と混同されるようになったという関連性があり 10 現代における 拍子 や 小節 といった単語の音楽における使用は天文学に使用される記数 算術 時間の正確な測定 物理学の基礎概念である 周期性 などと関連のあった音楽の歴史的重要性を反映している 楽式 編集 詳細は 楽式 を参照 音楽形式は音楽の短い断片を拡張していく際の設計を指す 設計 という用語は建築でも用いられており 楽式と比較されることが多い 建築と同じく 作曲家は簡潔で かつ反復や秩序を持った作曲が可能であるか 作品が意図通りに機能するかを考慮に入れなければならない 11 二部形式 や 三部形式 として知られる一般的な楽式は 音楽の理解における小さな整数値の重要性を示している rhyme という単語は元々 rhythm に由来する単語ではなく 古英語 の rime に由来している オックスフォード英英辞典 もしくはコリンズ英英辞典を参照のこと rime の綴りが後に全く異なる単語 rhythm の綴りと混同され rhyme という単語が生まれたと考えられている 周波数と調和 編集 正方形の板上に細かな粒子を置き 音の振動で生成されたさまざまな クラドニ図形 のパターン ernst chladni acoustics 1802 音階 は音楽を作成 記述する際に用いられる 音高 の 離散 集合 である 西洋伝統音楽において最も重要な音階は 全音階 であるが 歴史上の様々な時代や地域で異なる音階が使用 提案されてきた 各々の音高は特定周波数に対応している 特定周波数は一般にヘルツ hz で表現するが 時にcycles per second c p s を用いることもある 音階は反復の音程 通常は オクターヴ を有する あらゆる音高の オクターヴ は元の音高が持つ周波数のちょうど二倍に相当する これを繰り返すことにより 2 3 4オクターヴ上げた音高の周波数はそれぞれ元の音高の4 8 16倍となっている 同様に 1 2 3オクターヴ下げた場合の音高の周波数は元の音高の周波数の1 2 1 4 1 8倍となっておりサブオクターヴと呼ばれる 音楽のハーモニーにおいて特定の音高が調和していると考えられる場合 その1オクターヴ上の音高が調和していない場合は存在しない 従って あらゆる音符とそのオクターヴは一般に音楽体系で名付けられていることを見いだせる 例として ド a sa といった単語で呼ばれる音がある 最初のオクターヴが a 2 と a 3 つまり110hzから220hzまでの間隔 間隔 110hz の間の周波数として表現されるとき 次のオクターヴは220hzから440hz 間隔 220hz の間の周波数で 3番目のオクターヴは440hzから880hz 間隔 440hz の間の周波数で表現される 各々 次のオクターヴの周波数の間隔は前の周波数の間隔の二倍となっている 人間は音階を記述する際 音高それ自身の正確性よりも各音高間の関係もしくは 比率 音程 として知られる に興味を持つことが多いため 特定の音高から見た比率を考察してすべての音階 音高を把握することが多い この特定の音高は値1 1 1 で記述されることが多い で記述することが多く 一般に音階の主音として機能する音符である また 音程比較には セント を用いることが多い 線形周波数音階で測定した際のオクターヴの指数的性質を示した図 音程ごとに等間隔となるようオクターヴを表示した図 通称 名称 hz 一度との比 オクターヴ内の比率 オクターヴ内の セント 値 一度 a 2 110 1 x 1 1 1 x 0 オクターヴ a 3 220 2 x 2 1 2 x 1200 2 2 1 x 0 完全五度 e 4 330 3 x 3 2 1 5 x 702 オクターヴ a 4 440 4 x 4 2 2 x 1200 4 4 1 x 0 長三度 c 5 550 5 x 5 4 1 25 x 386 完全五度 e 5 660 6 x 6 4 1 5 x 702 自然七度 g 5 770 7 x 7 4 1 75 x 969 オクターヴ a 5 880 8 x 8 4 2 x 1200 8 8 1 x 0 調律体系 編集 詳細は 調律 および 音律 を参照 5限界調律 英語版 は 純正律 の最も一般的な形式であり 基本周波数 の 有理数 倍音 を用いた調律体系である これは1619年に書かれた ヨハネス ケプラー の著書 宇宙の調和 英語版 にて 惑星 の運動と関連して示された音階の一つである 同じ音階が1721年にスコットランドの数学者兼音楽理論家のアレクサンダー マルコムにより 著書 treatise of musick speculative practical and historical において移調形式で与えられ 12 20世紀には音楽理論家のjose wuerschmidtにより与えられた この純正律の形式は北インドの音楽で使用されている アメリカ合衆国の作曲家 テリー ライリー もまた 自著 harp of new albion において逆形式の使用を行っている 純正律は 和声進行 がほとんどもしくはまったくない場合に優れた結果を与える 人声と他の楽器は常に純正音程へ引き寄せられる しかし 2つの異なる全音の音程 9 8と10 9 が与えられることで 純正律に調律された 鍵盤楽器 では移調ができなくなる 13 比率による音階の音の周波数は 主音の周波数に対し比を乗算を行うことで求められる 例として 主音a4 中央のcの上のa を周波数440 hz とすると 純正に調律された五度 e5 の周波数は440 3 2 660hzとなる 最初の16個の倍音の名前と周波数が示すオクターヴの指数的性質を表したもの 基本周波数の整数倍の周波数にはオクターヴ倍音の他に 非オクターヴ倍音が存在することがわかる 最初の16個の倍音を周波数及び周波数の対数とともに表示したもの 半音 比率 音程 音高 間隔 0 1 1 完全一度 480 0 1 16 15 短二度 512 16 15 2 9 8 長二度 540 135 128 3 6 5 短三度 576 16 15 4 5 4 長三度 600 25 24 5 4 3 完全四度 640 16 15 6 45 32 三全音 675 135 128 7 3 2 完全五度 720 16 15 8 8 5 短六度 768 16 15 9 5 3 長六度 800 25 24 10 9 5 短七度 864 27 25 11 15 8 長七度 900 25 24 12 2 1 完全八度 960 16 15 ピタゴラス音律 は完全協和音である 完全八度 完全五度 完全四度 のみで作られる調律である 長三度は三度ではなくditone つまり文字通りには 二全音 として考えられていて その音程は 9 8 2 81 64である 全音は2つの完全五度から導かれる 3 2 2 2 9 8 純正な長三度の比率5 4と短三度の比率6 5に対し ピタゴラス音律では81 64と32 27となり シントニックコンマ すなわち81 80の差がある carl dahlhaus 1990 p 187 によれば 従属的な三度はピタゴラス音律に従い 独立した三度は倍音に基づく音程にむかう 西洋の伝統的音楽は一般に純正律で演奏することはできず 体系的に調整された音律を必要とする 調整は 不規則な ウェル テンペラメント レギュラーテンペラメント さまざまな 平均律 や正則中全音律などが用いられる しかし どの場合においても 中全音律 の基本的特徴を必要とする 例として ii 度音の平方根をドミナント上の五度に調律した場合 主音との音程差は9 8に等しくなる また 短三度 6 5 を4 3サブドミナント 音度 の下においた場合 主音からの音程差は10 9に等しい 中全音律は9 8と10 9の間の相違を減らしている すなわち これら2つの比 9 8 10 9 81 80はユニゾンとして扱われている 音程差となる81 80は シントニックコンマ もしくはdidymusのコンマと呼ばれ 中全音律において重要なコンマとなっている 平均律 ではオクターヴは12の等しい半音階に分かれており それぞれの半音階はその比が 2の12乗根 となっている よって 半音階を12個上がることによりちょうど1オクターヴ上昇する ギターなど フレット を有する楽器では平均律が有用である なぜならフレットが弦を等しく横断するからである ヨーロッパの音楽の伝統において 平均律は 鍵盤 などの他の楽器よりも早く リュート や ギター を用いた音楽のために使用された 歴史の圧力により 12平均律は現代において西洋 そして非西洋の大部分の地域において支配的な音調体系となっている 様々な等しい音程を使用して 平均律音階や楽器が作られてきた 19平均律 は16世紀に ギヨーム コストレイ 英語版 により初めて提案 使用されたもので 19の等間隔なステップを用いる 19平均律は通常の12平均律よりも長三度や短三度においてより誤差が小さくより協和する 24個の等間隔なステップを用いる 24平均律 は アラブ音楽 の音楽教育や音楽表記において広く用いられている しかし 理論と実践においては 平均律が 無理数の比率 で表されるにもかかわらず 中東音楽の音調は 有理数の比率 で表される 平均調律が行われた 四分音 の近似音がアラブの音調体系には全く見られない一方で 3つの四分音の近似音 もしくは 中立二度 英語版 は頻繁に現れる しかし これらの中立二度は マカーム や地理に依存してその比率に僅かな幅がある 実際 中東の音楽歴史家である ハビーブ ハサン トゥーマー 英語版 は この音楽的なステップの偏り幅がアラブ音楽特有の香りに決定的な働きをする オクターヴを24の等しい四分音に分割することは この音楽文化の最も特徴的な要素の一つを放棄するだろう と記している 14 以下のグラフは平均律が和声をどの程度正確に近似しているかを示している 註 横軸上の数字は分割する平均律の値を表す 例 12 は12平均律音階を表す 1平均律 25平均律の間で 完全五度 及び 長三度 の正確な周波数値との誤差の割合を表したグラフ 5 72平均律と 主要な和声の正確な周波数値との差を表した図 tetは平均律を表す 音 周波数 hz 前の音との周波数の差 周波数の対数log 2 f 前の音との周波数の対数の差 a 2 110 00 n a 6 781 n a a 2 116 54 6 54 6 864 0 0833 or 1 12 b 2 123 47 6 93 6 948 0 0833 c 3 130 81 7 34 7 031 0 0833 c 3 138 59 7 78 7 115 0 0833 d 3 146 83 8 24 7 198 0 0833 d 3 155 56 8 73 7 281 0 0833 e 3 164 81 9 25 7 365 0 0833 f 3 174 61 9 80 7 448 0 0833 f 3 185 00 10 39 7 531 0 0833 g 3 196 00 11 00 7 615 0 0833 g 3 207 65 11 65 7 698 0 0833 a 3 220 00 12 35 7 781 0 0833 以下に純正律と平均律の違いを示した ogg vorbis ファイルを挙げる 違いを理解するには 以下のファイルを何回も聞く必要があるかもしれない 2つの正弦波の連続的な演奏 このサンプルは550hz 純正律音階のc 続いて554 37hz 平均律音階のc を演奏している 同じ2音をa440のペダル音上で このサンプルは ダイアード 英語版 から成り立っている 下の音はa 各々の音階にて440hz 上の音はc であり 前者は平均律音階における音 後者は純正律音階における音である うなり の違いにより前者の例よりも違いを容易に判別可能である 集合論との関連 編集 詳細は ピッチクラス セット理論 を参照 ピッチクラス セット理論 音楽的集合論 は音楽的要素を構成しその関連性を記述するため 数学的 集合論 の概念を援用している ピッチクラス セット理論を使用して 典型的な無調の 音楽の構造を解析するため 通常起点やコードを構成可能な音階の集合として理論を適用する 移調 や転調といった単純な操作に適用することで 音楽の深い構造を理解することが可能になる 移調や転調といった操作は集合内の音階間の間隔を保存するため 等長写像 と呼ばれている 抽象代数学との関連 編集 詳細は 抽象代数学 を参照 音楽的集合論の方法を拡張することにより 音楽理論家は音楽を解析するため 抽象代数学 を用いている 例として 平均律のオクターヴにおける音符は12個からなり アーベル群 を形成している 自由アーベル群 を用いることで 純正律 を記述することが可能である 15 脚注 編集 reginald smith brindle the new music oxford university press 1987 pp 42 3 reginald smith brindle the new music oxford university press 1987 p 42 plato trans desmond lee the republic harmondsworth penguin 1974 page 340 note sir james jeans science and music dover 1968 p 154 alain danielou introduction to the study of musical scales mushiram manoharlal 1999 chapter 1 passim sir james jeans science and music dover 1968 p 155 reginald smith brindle the new music oxford university press 1987 chapter 6 passim eric math and music harmonious connections 2014年6月29日閲覧 arnold whittall in the oxford companion to music oup 2002 article rhythm chambers twentieth century dictionary 1977 p 1100 imogen holst the abc of music oxford 1963 p 100 https archive org details treatiseofmusick00malc jeremy montagu in the oxford companion to music oup 2002 article just intonation touma habib hassan 1996 the music of the arabs portland or amadeus press pp 22 24 isbn 0 931340 88 8 algebra of tonal functions 2014年6月29日閲覧 関連項目 編集 ポータル 音楽 平均律 音程 調律 音楽理論 ゼンハーモニック音楽 外部リンク 編集 database of all the possible 2048 musical scales in 12 note equal temperament and other alternatives in meantone tunings music and math by thomas e fiore twelve tone musical scale sonantometry or music as math discipline music a mathematical offering by dave benson nicolaus mercator use of ratio theory in music at convergence the glass bead game ヘルマン ヘッセ は自身の著書 ガラス玉演戯 において 音楽と数学に決定的な役割を与えた harmony and proportion pythagoras music and space linear algebra and music なぜ音楽の虜になるのか を紐解く 18年間 津田塾大学で教えてきたこと by 麻倉怜士 av watch 2022年12月28日記事 表 話 編 歴 作曲 とアプローチ 作曲法 潮流 現代音楽 無調 十二音技法 セリエル音楽 トータル セリエリズム 確率音楽 偶然性の音楽 不確定性の音楽 音響作曲法 ミニマル音楽 雑音派 スペクトル楽派 新しい単純性 新しい複雑性 サイレンス 作曲理論 楽曲分析 音楽理論 楽典 和声 非和声音 テンション セット理論 情報理論 確率論 応用数学 統計学 認知科学 作曲法 音響作曲法 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