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関手, 目次, 概要, 歴史, 定義, 性質, 自然変換, 関手に対する様々な条件, 表現可能関手, 関連項目, 脚注, 外部リンク, 関手圏, 双対性, 随伴, 共変関手, 反変関手, 注意,
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を対応付けることで関手が定まる, リー環, リー群, リー環構成, これらの構成を点ごとで考えると, 基点付き可微分多様体の圏から実ベクトル空間の圏への共変および反変関手が得られる, にうつす写像は, の圏への共変関手である, 同様に, 可微分多様体をその, 滑らかな写像をその, へうつす写像は反変関手を定める, 余接ベクトル束, ベクトル束, 可微分多様体の圏, 滑らかな写像, 接ベクトル束, 可微分多様体, 接関手と余接関手, から実, の圏への反変関手が, 各位相空間, に対してその上の実数値連続関数全体の成す多元環, を対応させることによって定まる, 各連続写像, と置くことにより, 多元環の準同型, を引き起こす, 結合的多元環, 位相空間とその間の連続写像を射とする圏, 定数関数環, 複素数体上のベクトル空間の圏において, 各ベクトル空間を単に集合と見なし, を単に集合間の写像と見なして集合の圏への忘却関手を構成できる, 各集合に対してその元の形式的な, の空間を考えることで, この忘却関手に対する左随伴関手が構成される, 線型結合, 非常に単純な忘却関手として, を無視する忘却関手から群が得られ, 群から, モノイドから, が得られるような忘却関手が挙げられる, 単位元, 交換法則, の対象のうちでさらに付加的な構造を持つものの圏として定式化されているとき, の対象の付加的な構造を無視することで, ぼうきゃくかんしゅ, 忘却関手の左随伴関手になっているような関手は, じゆうかんしゅ, free, forgetful, アーベル圏の上の, ホモロジー的関手はしばしば片側完全関手の, として定式化される, 基点を特に指定しない位相空間の圏では一般のパスについて, 端点を固定した, ホモトピー類を考えることができる, こうして位相空間の圏から小さな圏の圏への共変関手である, が得られるが, のそれぞれの点を基点にして得られる基本群と, パスの合成によって与えられる基点の取り替えを表現していると見なせる, に対応する射, は函手, になっている, 内のループの, 類のなす, として定義できる, が点つき位相空間の射ならば, を基点とした全ての閉道は, 内の閉道に写される, この操作は, と閉道の合成とに両立するから, への群の, を得る, ここから, 点つき位相空間の圏から群の圏への関手が得られる, 準同型写像, ホモトピー同値, ホモトピー, すなわち基点を伴った, の圏を考える, その対象は位相空間, の固定した一点, への射は, となる, 基点を基点に写す, によって与えられる, に対応させることで, ベクトル空間の圏からそれ自身への反変関手が構成できる, 転置写像, 双対空間, ベクトル空間, 可換体, 双対ベクトル空間, からそれ自身への関手, 各集合をその, へと写し, 各写像, を写像, に写すことにより考えることができる, また写像, なる写像に対応させることで反変の冪集合関手を考えることもできる, 反変版の冪集合関手は2点集合によって表現されている, 冪集合, 冪集合関手, 空でない圏, 任意の圏, が定める, ていかんしゅ, を以下のようにして構成できる, の全ての対象を, に写し, の全ての射を, の恒等射に写す, 定関手は, ともよばれる, selection, constant, から同じ圏, じこかんしゅ, 恒等関手は自己関手の自明な例である, における自己関手でもある, endofunctor, 特定の形の図式に関する極限は図式圏への対角埋め込み関手に対する右随伴関手として定式化できる, や対象積, 交代積は多重線形写像の関手を表現するような対象として定式化できる, の形にかけるような, または, 集合の, を表すしかるべき圏, によって表現可能関手たちとその間の自然変換はもとの圏の構造を完全に反映していることが知られる, 数学のさまざまな場面で与えられた関手が表現可能であるかどうかやどんな対象によって表現されるか, あるいはその関手が表現可能になるように圏を変形できるかということが問題になる, を短完全列に写すような関手は, 完全関手は任意の完全系列を保つ, 有限の極限のみを保つ関手は, 双対的に有限の余極限のみを保つ関手は, と言う, 右完全, 左完全, 短完全列, 完全関手, 射の集合が, となっている圏, 豊饒圏, の間の函手が, 射の集合の間の群準同型を与えるならば, 加法的関手, に対して函手, を満たすならば, 随伴関手, の任意の対象, この対応が, であるという, 充満関手, 忠実関手, を関手とする, 関手の間の自然変換を射とすることで, が考えられる, こうして得られる圏に図式の圏や前層の圏, 層の圏がある, する集合の圏は, を圏と見なしたときの, と同値になる, への自然変換, が存在して, となるとき, この自然変換は, などと書く, の間の関手, について自然同型, がともに成り立つならば, は同等なもの, と見なされる, さらにこれら二つの自然同型, が厳密に等号, で成り立つ, を考えることもできるが, 実用上これは条件として強すぎる, 圏同型, になることを意味している, 自然変換を定義する可換図式, の間の, 関手であるとき, を与える, このとき, の任意の射, が成り立つ, これは即ち, 以下の図式, 圏として定式化された数学理論の上に関手によってさまざまな自然な構成が与えられるが, 自然変換によって2つの構成を比較する, 自然な準同型, が記述される, 時に2つの見かけ上異なった構成が同等の概念を定めていることがあるが, この状況は2つの関手の間の, になっている自然変換によってとらえられる, 詳細は, を参照, 唯一つの対象からなる圏は, 射をその元とし, 合成をその演算とするような, と同値である, 圏と見なしたモノイドの間の関手はモノイドの準同型に他ならない, その意味で, 勝手な圏の間の関手は, モノイドの準同型の, 二つ以上の対象を持つ圏へのある種の一般化になっている, いかなる圏, においても, こうとうかんしゅ, どの対象も射もそれ自身へうつすものとして定まる, それらの合成, 関手の合成は, それが定義される限り結合的である, このことから, 関手が, における射となることが示される, identity, 恒等関手, の二つがあげられる, ならば, における同型射, における可換図式へうつす, 関手の, からの重要な帰結として, 反変関手はまれに, 余関手, よかんしゅ, と呼ばれることもあるが, 圏論の文脈で, 圏論的, つまり, 全ての矢印を逆向きにする, を意味する接頭辞, の使い方とは乖離がある, に対応させるものだが, ここで双対を得るために全ての矢印を逆向きにするなら射, が対応することになる, これは結局のところ普通の共変関手の概念を表している, つまり関手とは自己双対的な概念であり, 字義どおりにとらえるなら余関手と関手とは同じ概念を表している, cofunctor, を考えるならば, をかわりに, 場合によっては, と見ることによって, 共変関手の概念だけで処理することができる, 双対圏, を満たすものとして定義される, 全ての射, 全ての対象, において, 関手に似た形式を持ちながら, 射を反転させる, 合成を逆向きにする, ような対応が多数存在する, そこで, はんぺんかんしゅ, に対応させるとき, 以下の性質, すなわち, 関手に対して恒等射および射の合成を保存することが要請される, における射, 以下の性質を満たす, 任意の射, の各対象, に対応させる, への関手, きょうへんかんしゅ, その後, の変革の中で様々な数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された, ここでは, のような, 代数的対象が, から導かれ, 位相空間の間の, は基本群の間の代数的, を導いている, 準同型, 20世紀半ばの, において実際に関手が定義され, 図形から様々な, 自然な, 代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された, 20世紀初めの, の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された, エミー, ネーター, 関手の概念の萌芽は, による, を用いた, の研究に見ることができる, 代数方程式, エヴァリスト, ガロア, ある関手が他の関手に対し, もしくは, であるということを定義できるが, 多くの場合にこのような随伴関手の対は, によって定義される構成から生まれる, 普遍性を調べるためのより抽象的で強力な手法を与えているとも考えられる, 圏論におけるあらゆる言明, 定義はその, を持つ, これらは基本的に, 全ての射を逆向きにする, ことで得られる, ある圏, においてある言明が真のとき, その双対はその双対圏, において真である, この双対性は, 圏論のレベルでは自動的に成立し非常に解りやすいものであるが, その応用においてはしばしば明らかではなく, 驚くような関係性をもたらすことがある, 関手の間の自然変換を射とする圏である, は圏論における最も有名な基礎的結果の1つである, この補題は, 関手圏において表現可能な関手を記述する, 圏と関手の考え方を積極的に用いて以下のような概念が定められる, 基本群とホモロジー群のような, 数学的変換はしばしば, 自然に, 関連づけられているが, すなわちある関手から別の関手への変換, という考え方によって理解される, 多くの数学理論は, ある特別な種類の構造から, 別のよりシンプルな, よりわかりやすい構造を引き出そうとする試みであった, の中心的なテーマは, 位相幾何学における非常に難しい問題を, より簡単な代数的問題に関連づけることである, に対してその, を対応させる, 自然な対応, は関手を用いて得られると考えることができる, 点付き位相空間, 圏そのものはある種の数学的構造であるため, 圏の構造を保存する対応関係も考えることができる, このような対応関係は, ある圏の中の全ての対象を, 別の圏の対象に, 一方が持つ全ての射をもう一方の射に関連づける, 圏と関手を調べることで, ある類における数学的構造とその間の射だけでなく, 数学的構造を持つ様々な類の間の関係, をも追求することができる, かんしゅ, から圏への構造と両立する対応付けである, 関手によって一つの, 体系から別の体系への組織的な対応が定式化される, と考えることもできる, して記事の信頼性向上にご協力ください, 出典検索, twl, ジャパンサーチ, dlib, ndl, stage, cinii, スカラー, ニュース, このテンプレートの使い方, 出典を追加, この記事は, が全く示されていないか, 不十分です, 参考文献や出典, 検証可能, から転送, フリー百科事典, ウィキペディア, ウィキデータ項目, 他のプロジェクト, 印刷用バージョン, pdf, 形式でダウンロード, ブックの新規作成, 書き出し, レガシーパーサーに切り替え, 短縮urlを取得する, このページを引用, ページ情報, この版への固定リンク, ファイルをアップロード, 関連ページの更新状況, リンク元, 日本語, ノート, ページ, リンクを編集, українська, svenska, slovenščina, русский, română, português, polski, ਪੰਜਾਬੀ, norsk, bokmål, nederlands, မြန်မာဘာသာ, македонски, 한국어, italiano, bahasa, indonesia, עברית, galego, français, suomi, فارسی, 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関手 wikipedia コンテンツにスキップ メインメニュー メインメニュー サイドバーに移動 非表示 案内 メインページ コミュニティ ポータル 最近の出来事 新しいページ 最近の更新 おまかせ表示 練習用ページ アップロード ウィキメディア コモンズ 特別ページ ヘルプ ヘルプ 利用案内 井戸端 お知らせ バグの報告 ウィキペディアに関するお問い合わせ 検索 検索 表示 寄付 アカウント作成 ログイン 個人用ツール 寄付 アカウント作成 ログイン 目次 サイドバーに移動 非表示 ページ先頭 1 概要 概要サブセクションを切り替えます 1 1 関手圏 1 2 双対性 1 3 随伴 2 歴史 3 定義 定義サブセクションを切り替えます 3 1 共変関手 3 2 反変関手 3 3 注意 4 性質 5 自然変換 6 関手に対する様々な条件 7 表現可能関手 8 例 9 関連項目 10 脚注 11 外部リンク 目次の表示 非表示を切り替え 関手 28 個の言語版 العربية català čeština deutsch ελληνικά english español فارسی suomi français galego עברית bahasa indonesia italiano 한국어 македонски မြန်မာဘာသာ nederlands norsk bokmål ਪੰਜਾਬੀ polski português română русский slovenščina svenska українська 中文 リンクを編集 ページ ノート 日本語 閲覧 編集 履歴を表示 ツール ツール サイドバーに移動 非表示 操作 閲覧 編集 履歴を表示 全般 リンク元 関連ページの更新状況 ファイルをアップロード この版への固定リンク ページ情報 このページを引用 短縮urlを取得する レガシーパーサーに切り替え 印刷 書き出し ブックの新規作成 pdf 形式でダウンロード 印刷用バージョン 他のプロジェクト コモンズ ウィキデータ項目 表示 サイドバーに移動 非表示 出典 フリー百科事典 ウィキペディア wikipedia 反変関手 から転送 この記事は 検証可能 な 参考文献や出典 が全く示されていないか 不十分です 出典を追加 して記事の信頼性向上にご協力ください このテンプレートの使い方 出典検索 関手 ニュース 書籍 スカラー cinii j stage ndl dlib jp ジャパンサーチ twl 2015年10月 圏論 における 関手 かんしゅ 英 functor は 圏 から圏への構造と両立する対応付けである 関手によって一つの 数学 体系から別の体系への組織的な対応が定式化される 関手は 圏の圏 における 射 と考えることもできる 概要 編集 圏そのものはある種の数学的構造であるため 圏の構造を保存する対応関係も考えることができる このような対応関係は 関手 と呼ばれる 関手は ある圏の中の全ての対象を 別の圏の対象に 一方が持つ全ての射をもう一方の射に関連づける 圏と関手を調べることで ある類における数学的構造とその間の射だけでなく 数学的構造を持つ様々な類の間の関係 をも追求することができる 多くの数学理論は ある特別な種類の構造から 別のよりシンプルな よりわかりやすい構造を引き出そうとする試みであった 例えば 代数的位相幾何学 の中心的なテーマは 位相幾何学における非常に難しい問題を より簡単な代数的問題に関連づけることである 例えば 点付き位相空間 に対してその 基本群 を対応させる 自然な対応 は関手を用いて得られると考えることができる 基本群とホモロジー群のような 似た 数学的変換はしばしば 自然に 関連づけられているが これは 自然変換 すなわちある関手から別の関手への変換 という考え方によって理解される 圏と関手の考え方を積極的に用いて以下のような概念が定められる 関手圏 編集 d c は圏 c から圏 d への関手を対象とし 関手の間の自然変換を射とする圏である 米田の補題 は圏論における最も有名な基礎的結果の1つである この補題は 関手圏において表現可能な関手を記述する 双対性 編集 圏論におけるあらゆる言明 定理 定義はその 双対 を持つ これらは基本的に 全ての射を逆向きにする ことで得られる ある圏 c においてある言明が真のとき その双対はその双対圏 c op において真である この双対性は 圏論のレベルでは自動的に成立し非常に解りやすいものであるが その応用においてはしばしば明らかではなく 驚くような関係性をもたらすことがある 随伴 編集 ある関手が他の関手に対し 左随伴 もしくは 右随伴 であるということを定義できるが 多くの場合にこのような随伴関手の対は 普遍性 によって定義される構成から生まれる これは 普遍性を調べるためのより抽象的で強力な手法を与えているとも考えられる 歴史 編集 関手の概念の萌芽は エヴァリスト ガロア による 群 を用いた 代数方程式 の研究に見ることができる 20世紀初めの エミー ネーター らによる 加群 の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された 20世紀半ばの 代数的位相幾何学 において実際に関手が定義され 図形から様々な 自然な 代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された ここでは 基本群 のような 代数的対象が 位相空間 から導かれ 位相空間の間の 連続写像 は基本群の間の代数的 準同型 を導いている その後 アレクサンドル グロタンディーク らによる 代数幾何学 の変革の中で様々な数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された 定義 編集 共変関手 編集 圏 c から圏 d への関手 特に 共変関手 きょうへんかんしゅ covariant functor f は c の各 対象 x を d の各対象 f x に対応させる c における 射 f x y を d における射 f f f x f y に対応させ 以下の性質を満たす 各対象 x c に対して f id x id f x 任意の射 f x y および g y z に対して f g f f g f f すなわち 関手に対して恒等射および射の合成を保存することが要請される 反変関手 編集 関手に似た形式を持ちながら 射を反転させる 合成を逆向きにする ような対応が多数存在する そこで c から d への 反変関手 はんぺんかんしゅ contravariant functor f が 各対象 x c を 対象 f x d に対応させ 各射 f x y c を射 f f f y f x d に対応させるとき 以下の性質 全ての対象 x c において f id x id f x 全ての射 f x y および g y z に対して f g f f f f g を満たすものとして定義される 注意 編集 c の 双対圏 c op を考えるならば 反変関手 f c d をかわりに 共変 関手 f c op d 場合によっては f c d op と見ることによって 共変関手の概念だけで処理することができる 反変関手はまれに 余関手 よかんしゅ cofunctor と呼ばれることもあるが 圏論の文脈で 圏論的 双対 つまり 全ての矢印を逆向きにする を意味する接頭辞 余 の使い方とは乖離がある 共変 関手 f は射 f x y を射 f f f x f y に対応させるものだが ここで双対を得るために全ての矢印を逆向きにするなら射 f x y に射 f f f x f y が対応することになる これは結局のところ普通の共変関手の概念を表している つまり関手とは自己双対的な概念であり 字義どおりにとらえるなら余関手と関手とは同じ概念を表している 性質 編集 関手の 公理 からの重要な帰結として f は c における 可換図式 を d における可換図式へうつす f が c における 同型射 ならば f f は d における同型射 の二つがあげられる いかなる圏 c においても 恒等関手 こうとうかんしゅ identity functor 1 c が どの対象も射もそれ自身へうつすものとして定まる 函手 f a b および g b c に対し それらの合成 gf a c を考えることができる 関手の合成は それが定義される限り結合的である このことから 関手が 圏の圏 における射となることが示される 唯一つの対象からなる圏は 射をその元とし 合成をその演算とするような モノイド と同値である 圏と見なしたモノイドの間の関手はモノイドの準同型に他ならない その意味で 勝手な圏の間の関手は モノイドの準同型の 二つ以上の対象を持つ圏へのある種の一般化になっている 自然変換 編集 詳細は 自然変換 を参照 圏として定式化された数学理論の上に関手によってさまざまな自然な構成が与えられるが 自然変換によって2つの構成を比較する 自然な準同型 が記述される 時に2つの見かけ上異なった構成が同等の概念を定めていることがあるが この状況は2つの関手の間の 自然同型 になっている自然変換によってとらえられる f g が圏 c と d の間の 共変 関手であるとき f から g への 自然変換 η は c に含まれる全ての対象 x に対し d の射 η x f x g x を与える このとき c の任意の射 f x y に対し η y f f g f η x が成り立つ これは即ち 以下の図式 自然変換を定義する可換図式 が 可換 になることを意味している 函手 f から g への自然変換 η が存在して η x が c に含まれる全ての対象 x に対して 同型射 となるとき この自然変換は 自然同型 であるといい f η g などと書く 圏 c d の間の関手 f c d g d c について自然同型 gf id c fg id d がともに成り立つならば c と d は同等なもの 圏同値 と見なされる さらにこれら二つの自然同型 が厳密に等号 で成り立つ 圏同型 英語版 を考えることもできるが 実用上これは条件として強すぎる c から d への関手を対象とし 関手の間の自然変換を射とすることで 関手圏 funct c d が考えられる こうして得られる圏に図式の圏や前層の圏 層の圏がある また 群 g が 作用 する集合の圏は g を圏と見なしたときの funct g sets と同値になる 1 関手に対する様々な条件 編集 以下 f c d を関手とする 忠実関手 と 充満関手 c の任意の対象 x y について f hom c x y hom d fx fy f f f が 単射 のとき f は 忠実 であるといい この対応が 全射 のとき f は 充満 であるという 随伴関手 函手 f に対して函手 g d c が hom d fx y hom c x gy を満たすならば f は g の 左随伴 であると言い g は f の 右随伴 であると言う 加法的関手 射の集合が アーベル群 となっている圏 ab 豊饒圏 の間の函手が 射の集合の間の群準同型を与えるならば 加法的 であると言う 完全関手 短完全列 を短完全列に写すような関手は 完全 であると言い 完全関手は任意の完全系列を保つ 有限の極限のみを保つ関手は 左完全 双対的に有限の余極限のみを保つ関手は 右完全 と言う 表現可能関手 編集 圏 c の対象 x について hom c x や hom c x の形にかけるような c から sets または c の hom 集合の 構造 を表すしかるべき圏 への関手は 表現可能関手 とよばれる 米田の補題 によって表現可能関手たちとその間の自然変換はもとの圏の構造を完全に反映していることが知られる 数学のさまざまな場面で与えられた関手が表現可能であるかどうかやどんな対象によって表現されるか あるいはその関手が表現可能になるように圏を変形できるかということが問題になる 特定の形の図式に関する極限は図式圏への対角埋め込み関手に対する右随伴関手として定式化できる テンソル積 や対象積 交代積は多重線形写像の関手を表現するような対象として定式化できる 例 編集 自己関手 圏 c から同じ圏 c への関手は 自己関手 じこかんしゅ endofunctor と呼ばれる 恒等関手は自己関手の自明な例である また 圏 c から その 部分圏 d への関手は 圏 c における自己関手でもある 定関手 空でない圏 d の対象 x について 任意の圏 c から d への x が定める 定関手 ていかんしゅ constant functor を以下のようにして構成できる c の全ての対象を x に写し c の全ての射を x の恒等射に写す 定関手は selection functor ともよばれる 冪集合関手 集合の圏 sets からそれ自身への関手 p を 各集合をその 冪集合 へと写し 各写像 f x y を写像 x u f u y に写すことにより考えることができる また写像 f x y を y u f 1 u x なる写像に対応させることで反変の冪集合関手を考えることもできる 反変版の冪集合関手は2点集合によって表現されている 双対ベクトル空間 可換体 k 上の ベクトル空間 をその 双対空間 に対応させ 線型写像 をその 転置写像 に対応させることで k ベクトル空間の圏からそれ自身への反変関手が構成できる 基本群 と 基本亜群 点つき位相空間 すなわち基点を伴った 位相空間 の圏を考える その対象は位相空間 x と x の固定した一点 x の組 x x で x x から y y への射は f x y となる 基点を基点に写す 連続写像 f x y によって与えられる 点つき位相空間 x x に対して 基本群 π 1 x x が x を基点とする x 内のループの ホモトピー 類のなす 群 として定義できる f x x y y が点つき位相空間の射ならば x 内の x を基点とした全ての閉道は y を基点とする y 内の閉道に写される この操作は ホモトピー同値 と閉道の合成とに両立するから π x x から π y y への群の 準同型写像 を得る ここから 点つき位相空間の圏から群の圏への関手が得られる 基点を特に指定しない位相空間の圏では一般のパスについて 端点を固定した ホモトピー類を考えることができる こうして位相空間の圏から小さな圏の圏への共変関手である 基本亜群 π が得られるが これは x のそれぞれの点を基点にして得られる基本群と パスの合成によって与えられる基点の取り替えを表現していると見なせる 連続写像 f x y に対応する射 π は函手 π x π y になっている 導来関手 アーベル圏の上の コ ホモロジー的関手はしばしば片側完全関手の 導来関手 として定式化される 忘却関手 英語版 と 自由関手 c が d の対象のうちでさらに付加的な構造を持つものの圏として定式化されているとき c の対象の付加的な構造を無視することで c から d への 忘却関手 ぼうきゃくかんしゅ forgetful functor を考えることができる 忘却関手の左随伴関手になっているような関手は 自由関手 じゆうかんしゅ free functor とよばれる 非常に単純な忘却関手として アーベル群 の 交換法則 を無視する忘却関手から群が得られ 群から 逆元 を無視して モノイド が モノイドから 単位元 を無視して 半群 が得られるような忘却関手が挙げられる また 複素数体上のベクトル空間の圏において 各ベクトル空間を単に集合と見なし 各 線型写像 を単に集合間の写像と見なして集合の圏への忘却関手を構成できる 各集合に対してその元の形式的な 線型結合 の空間を考えることで この忘却関手に対する左随伴関手が構成される 定数関数環 位相空間とその間の連続写像を射とする圏 から実 結合的多元環 の圏への反変関手が 各位相空間 x に対してその上の実数値連続関数全体の成す多元環 c x を対応させることによって定まる 各連続写像 f x y は各 φ c y に対して c f φ φ f と置くことにより 多元環の準同型 c f c y c x を引き起こす 接関手と余接関手 可微分多様体 をその 接ベクトル束 へうつし 滑らかな写像 をその 微分 にうつす写像は 可微分多様体の圏 から ベクトル束 の圏への共変関手である 同様に 可微分多様体をその 余接ベクトル束 へうつし 滑らかな写像をその 引き戻し 英語版 へうつす写像は反変関手を定める これらの構成を点ごとで考えると 基点付き可微分多様体の圏から実ベクトル空間の圏への共変および反変関手が得られる リー環構成 実または複素 リー群 に対して その付随する実または複素 リー環 を対応付けることで関手が定まる テンソル積構成 c をある固定された体上のベクトル空間の圏で その射として 線型写像 をとるとき テンソル積 v w は どちらの引数に関しても共変な関手 c c c を定める 関連項目 編集 カン拡張 脚注 編集 g set in nlab 4 equivalent characterizations 外部リンク 編集 weisstein eric w functor mathworld wolfram com 英語 barile margherita covariant functor mathworld wolfram com 英語 barile margherita contravariant functor mathworld wolfram com 英語 functor planetmath 英語 functor encyclopedia of mathematics ems press 2001 1994 functor in nlab 表 話 編 歴 圏論 主要項目 圏 射 エピ モニック 図式 可換図式 自然変換 圏同値 反対圏 始対象と終対象 普遍性 米田の補題 双対 極限 帰納極限 射影極限 積 余積 像 余像 等化子 余等化子 トポス 核 余核 引き戻し モナド kan拡張 関手 加法的 完全 充満 随伴 対角 忠実 導来 表現可能 本質的全射 hom関手 具体的圏 関手圏 前加法圏 集合の圏 マグマの圏 群の圏 アーベル群の圏 擬環の圏 環の圏 加群の圏 ベクトル空間の圏 多元環の圏 位相空間の圏 距離空間の圏 多様体の圏 圏の類 完備圏 コンマ圏 部分圏 モノイド閉圏 デカルト閉圏 アーベル圏 導来圏 クライスリ圏 デカルトモノイド圏 一般化 豊穣圏 2 圏 圏の圏 人物 ソーンダース 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