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ホモトピー, 目次, 基本群, 定義, 性質, 歴史, 脚注, 関連項目, 参考文献, ホモトピー群, ホモトピー同値, 歴史関連,

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英語版 (8), ホモトピー (7), #ホモトピー群 (6), displaystyle (6), 基本群 (5), 位相空間 (5), という (5), https (4), eynde (4), 1992 (4), homotopy (4), simeq (4), あるいは (4), 非表示 (4), サイドバーに移動 (4), コモンズ (3), 位相幾何学 (3), wikipedia (3), org (3), topology (3), であり (3), ホモトピー同値 (3), alpha (3), beta (3), leq (3), 個の言語版 (2), 目次の表示 (2), 非表示を切り替え (2), 幾何学的 (2), 代数的 (2), ホモロジー (2), 1907 (2), heegaard (2), dehn (2), jstor (2), 41133947 (2), archive (2), homotopic (2), 歴史関連 (2), isbn (2), 978 (2), algebraic (2), 参考文献 (2), 関連項目 (2), 次元球面 (2), circ (2), mathrm (2), を固定し (2), を基点とする (2), 詳細は (2), を参照 (2), 連続写像 (2), である (2), ホモトピック (2), cases (2), frac (2), に対して (2), つの道 (2), 閉区間 (2), と呼ばれる (2), path (2), 履歴を表示 (2), ツール (2), english (2), ログイン (2), アカウント作成 (2), ヘルプ (2), メインメニュー (2), 話題を追加, モバイルビュー, cookieに関する声明, 開発者, 行動規範, 法律および安全に関する連絡先, 免責事項, ウィキペディアについて, プライバシー, ポリシー, テキストは, のもとで利用できます, 追加の条件が適用される場合があります, 詳細については, を参照してください, 利用規約, クリエイティブ, 継承ライセンス, ページは, によってレンダリングされました, parsoid, 最終更新, 2025年8月23日, 日時は, で未設定ならば, utc, 個人設定, 隠しカテゴリ, isbnマジックリンクを使用しているページ, 数学に関する記事, ホモトピー論, カテゴリ, から取得, index, php, title, oldid, 106148815, yale, lux, その他, イスラエル, bnf, data, フランス, アメリカ, ドイツ, 国立図書館, 典拠管理データベース, lists, 出版物, トピックス, glossary, k理論, ホモロジー代数, 完全列, cw複体, 単体複体, ハウスドルフ, コンパクト, 連続性, 閉集合, 開集合, 主要概念, 集合論的トポロジー, コホモロジー, 連続体, 組合せ論的, 点集合, トポロジー, 153, 220, gdz, sub, uni, goettingen, ppn360609635, iii, ab3, enzyklopädie, der, mathematischen, wissenschaften, analysis, situs, ria, vanden, 127, 188, www, stable, 0003, 9519, issn, for, history, exact, sciences, historical, evolution, the, concept, paths, hatcher, allen, 2001, cambridge, university, press, 0521795401, シンガー, ソープ, トポロジーと幾何学入門, 培風館, 1995年, 4563001506, モノドロミー, guide, literature, 178, 1956, chelsea, publishing, company, new, york, details, dli, ernet, 425544, solomon, lefschetz, 165, 129, 脚注の使い方, 連続的変形, 概念の歴史は古く, による, の研究にまで遡ることができる, ホモトピーという言葉は, で導入された, 現代と潜在的には同じホモトピーの定義は, による1911年の論文でなされた, 直積空間は, によって1926年に定義されたので, 完全に現代と同じ定義がなされるのはそれ以降である, チコノフ, ブラウワー, 変分法, ラグランジュ, 次元以上のホモトピー群や位相群の基本群は, になる, 可換群, が弧状連結な位相空間であれば, その基本群は基点, の取り方によらず同型である, これにより, 基点を書かずに, と書くことがある, 次基本群は位相空間の連結性を知る指標である, ホモトピー群はホモトピー, とくに, でもある, 位相不変量, 不変量, であるような連続写像, が存在するとき, はホモトピー同値, であるという, ホモトピー同値は, よりも粗い同値関係を与える, 例えば, 点とユークリッド空間, は同じホモトピー型をもつ, はすべて互いに異なったホモトピー型をもつ, 位相同型, equivalent, が与えられたとき, 位相空間における閉道とは基点を持つ, からの連続像であるということができる, これは以下のように高次元に拡張される, とその, への連続像, の全体, を考え, これをホモトピー型が同じという関係で割って得られる商集合, は群を成す, と呼ぶ, 基本群の場合と同様に, 位相空間の間の連続写像は高次ホモトピー群の間にも準同形写像をみちびく, が連続であるとき, これをホモトピーと呼び, あるいは同じホモトピー型をもつという, colon, times, の間の連続写像の族, を考える, 位相空間の間の連続写像, は道の間の対応, によって基本群の間の準同形写像, を導く, この誘導された準同形写像は, のホモトピー型にしかよらない, が定義できる, はこの演算によって, をなし, きほんぐん, fundamental, group, もしくは, とよばれる, poincaré, を基点とする閉道の全体, を考えると, これは道の積に関して閉じている, これを道ホモトピー型が同じという関係で割って得られる商集合, には演算, で定められる, 向きを逆にすることで道の, が定まる, に対し, の逆道, begin, end, つの道を端点で, つなぐ, ことで次のように積, を定義することができる, が成り立つとき, と表す, また特に, 始点と終点をそれぞれ共有する, つの道が与えられたとき, その始点と終点を固定するようなホモトピーを, あるいは端点を固定するホモトピーという, 直観的には, ホモトピックな, つの道は片方を, 内で動かして他方に変形できる, ホモトピー型が同じである, 同値類が定義できる, この同値関係に関して道, が属する同値類のことを, のホモトピー類といい, などで表す, 同値関係, 道ホモトピー, を満たすとき, の間の, の間にホモトピーが存在するとき, は互いに, homotop, または, であるといい, ホモトピー型, ホモトープ, ホモトピー写像, 連続関数, sは空間の, であり青い道と緑の道は異なったホモトピー型を持つ, 上の連続, となるが, 道という用語が表すのは写像, のことであり, その像である曲線のことではない, 道の定義では, 性は求められていないため, 像である曲線が同じ点を, 回以上通ってもよい, 極端な話, の各点を, 点に写したものも, これは, 始点と終点が一致する道は, へいどう, closed, loop, 閉道の始点のことを, それは終点といっても同じものだが, base, point, 基点以外に自分自身と交わる点を持たない閉道は, と呼ばれることがある, サイクル, ループ, 定値道, 線分の厳密な抽象化である, という概念を定義する, とする, への連続写像, といい, 単純な場合として, 次元の位相空間からの連続写像のホモトピーを説明しよう, このように, 代数的な道具によって空間と写像の位相的性質を調べるという方法をとる幾何学は, 代数的位相幾何学, 考察している幾何学的対象に, が開いていれば, 端を固定された, はそれを越えて連続的に変形することができない, したがって, ホモトピーによって, の有無や, 単純な構成要素に分解したときのそれらの組み合わせ的なつながり具合といった構造を調べることができる, ホモトピーが威力を発揮するのは, 空間や写像といった幾何学的な対象に対し, などという代数的な対象を対応づけることであり, またそのような代数的な対象がしばしばもとの幾何学的な対象よりも単純化されているということにある, 準同型, 数学における, などの, 的対象, あるいはそれらの間の連続写像が連続的に移りあうということを定式化した, における概念のひとつである, 位相幾何学では, つの対象, との関係のうち, 連続的な変形によって保たれるものを問題とすることが多い, これらの関係はふつう, を通して定義され, ホモトピーの概念は連続的に変形する連続写像の族によって定式化される, ホモトピー的な種々の不変量は位相幾何学の研究における基本的な道具となる, 幾何学, から転送, フリー百科事典, ウィキペディア, ウィキデータ項目, 他のプロジェクト, 印刷用バージョン, pdf, 形式でダウンロード, ブックの新規作成, 書き出し, レガシーパーサーに切り替え, 短縮urlを取得する, このページを引用, ページ情報, この版への固定リンク, ファイルをアップロード, 関連ページの更新状況, リンク元, 日本語, ノート, ページ, リンクを編集, tiếng, việt, українська, türkçe, svenska, српски, srpski, simple, srpskohrvatski, српскохрватски, русский, português, polski, norsk, nynorsk, မြန်မာဘာသာ, 한국어, italiano, hrvatski, עברית, galego, français, suomi, فارسی, euskara, español, esperanto, ελληνικά, deutsch, čeština, català, asturianu, العربية, 参考文献サブセクションを切り替えます, 定義サブセクションを切り替えます, ページ先頭, 個人用ツール, ウィキペディアに関するお問い合わせ, バグの報告, お知らせ, 井戸端, 利用案内, 特別ページ, アップロード, ウィキメディア, 練習用ページ, おまかせ表示, 最近の更新, 新しいページ, 最近の出来事, コミュニティ, ポータル, メインページ, コンテンツにスキップ,

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ホモトピー wikipedia コンテンツにスキップ メインメニュー メインメニュー サイドバーに移動 非表示 案内 メインページ コミュニティ ポータル 最近の出来事 新しいページ 最近の更新 おまかせ表示 練習用ページ アップロード ウィキメディア コモンズ 特別ページ ヘルプ ヘルプ 利用案内 井戸端 お知らせ バグの報告 ウィキペディアに関するお問い合わせ 検索 検索 表示 寄付 アカウント作成 ログイン 個人用ツール 寄付 アカウント作成 ログイン 目次 サイドバーに移動 非表示 ページ先頭 1 基本群 2 定義 定義サブセクションを切り替えます 2 1 ホモトピー群 2 2 ホモトピー同値 3 性質 4 歴史 5 脚注 6 関連項目 7 参考文献 参考文献サブセクションを切り替えます 7 1 歴史関連 目次の表示 非表示を切り替え ホモトピー 33 個の言語版 العربية asturianu català čeština deutsch ελληνικά english esperanto español euskara فارسی suomi français galego עברית hrvatski italiano 한국어 မြန်မာဘာသာ norsk nynorsk polski português русский srpskohrvatski српскохрватски simple english српски srpski svenska türkçe українська tiếng việt 吴语 粵語 中文 リンクを編集 ページ ノート 日本語 閲覧 編集 履歴を表示 ツール ツール サイドバーに移動 非表示 操作 閲覧 編集 履歴を表示 全般 リンク元 関連ページの更新状況 ファイルをアップロード この版への固定リンク ページ情報 このページを引用 短縮urlを取得する レガシーパーサーに切り替え 印刷 書き出し ブックの新規作成 pdf 形式でダウンロード 印刷用バージョン 他のプロジェクト コモンズ ウィキデータ項目 表示 サイドバーに移動 非表示 出典 フリー百科事典 ウィキペディア wikipedia ホモトピー同値 から転送 数学における ホモトピー homotopy とは 点 や 線 や 面 などの 幾何学 的対象 あるいはそれらの間の連続写像が連続的に移りあうということを定式化した 位相幾何学 における概念のひとつである 位相幾何学では 2 つの対象 a と x との関係のうち 連続的な変形によって保たれるものを問題とすることが多い これらの関係はふつう 連続写像 a x を通して定義され ホモトピーの概念は連続的に変形する連続写像の族によって定式化される ホモトピー的な種々の不変量は位相幾何学の研究における基本的な道具となる 考察している幾何学的対象に 穴 が開いていれば 端を固定された 曲線 はそれを越えて連続的に変形することができない したがって ホモトピーによって 穴 の有無や 単純な構成要素に分解したときのそれらの組み合わせ的なつながり具合といった構造を調べることができる ホモトピーが威力を発揮するのは 空間や写像といった幾何学的な対象に対し 群 や 準同型 などという代数的な対象を対応づけることであり またそのような代数的な対象がしばしばもとの幾何学的な対象よりも単純化されているということにある このように 代数的な道具によって空間と写像の位相的性質を調べるという方法をとる幾何学は 代数的位相幾何学 と呼ばれる 基本群 編集 詳細は 基本群 を参照 単純な場合として 1 次元の位相空間からの連続写像のホモトピーを説明しよう まず 線分の厳密な抽象化である 道 みち path という概念を定義する i を r の 閉区間 0 1 とし x を 位相空間 とする i から x への連続写像 α を x 内の 道 といい α 0 を 始点 α 1 を 終点 という 写像 α の 像 は x 上の連続 曲線 となるが 道という用語が表すのは写像 α のことであり その像である曲線のことではない 道の定義では α の 単射 性は求められていないため 像である曲線が同じ点を 2 回以上通ってもよい 極端な話 閉区間 i の各点を 1 点に写したものも 道 であり これは 定値道 と呼ばれる 始点と終点が一致する道は 閉道 へいどう closed path あるいは ループ loop という 閉道の始点のことを それは終点といっても同じものだが 基点 base point という 基点以外に自分自身と交わる点を持たない閉道は サイクル と呼ばれることがある sは空間の 穴 であり青い道と緑の道は異なったホモトピー型を持つ 連続関数 h 0 1 0 1 x が x 内の 2 つの道 α β に対して h 0 t α t かつ h 1 t β t を満たすとき 写像 h を道 α β の間の ホモトピー homotopy あるいは ホモトピー写像 という また 2 つの道 α β の間にホモトピーが存在するとき α と β は互いに ホモトープ homotop ホモトピック homotopic である または 同じ ホモトピー型 であるといい α β displaystyle alpha simeq beta と表す また特に 始点と終点をそれぞれ共有する 2 つの道が与えられたとき その始点と終点を固定するようなホモトピーを 道ホモトピー あるいは端点を固定するホモトピーという 直観的には ホモトピックな 2 つの道は片方を x 内で動かして他方に変形できる ホモトピー型が同じである という 関係 displaystyle simeq は 同値関係 であり 同値類が定義できる この同値関係に関して道 α が属する同値類のことを α のホモトピー類といい α などで表す 2 つの道を端点で つなぐ ことで次のように積 を定義することができる 道 α β に対して α 1 β 0 が成り立つとき α β t α 2 t 0 t 1 2 β 2 t 1 1 2 t 1 displaystyle alpha beta t begin cases alpha 2t 0 leq t leq frac 1 2 beta 2t 1 frac 1 2 t leq 1 end cases また 向きを逆にすることで道の 逆 あるいは 逆道 が定まる 道 α に対し α の逆道 α 1 とは α 1 t α 1 t で定められる 位相空間 x 内の 1 点 p を固定し p を基点とする閉道の全体 ω x p を考えると これは道の積に関して閉じている これを道ホモトピー型が同じという関係で割って得られる商集合 π 1 x p には演算 α β αβ α 1 α 1 が定義できる π 1 x p はこの演算によって 群 をなし x の p を基点とする 基本群 きほんぐん fundamental group あるいは 1 次元 ホモトピー群 もしくは poincaré 群 とよばれる 位相空間の間の連続写像 f x y は道の間の対応 α f α によって基本群の間の準同形写像 f π 1 x p π 1 y fp を導く この誘導された準同形写像は f のホモトピー型にしかよらない 定義 編集 位相空間 x y の間の連続写像の族 f t t 0 1 x y displaystyle f_ t _ t in 0 1 x to y を考える 写像 h s t f t s x 0 1 y displaystyle h s t f_ t s colon x times 0 1 to y が連続であるとき これをホモトピーと呼び 連続写像 f 0 と f 1 は ホモトピック である あるいは同じホモトピー型をもつという ホモトピー群 編集 詳細は ホモトピー群 を参照 位相空間における閉道とは基点を持つ 1 次元球面 s 1 からの連続像であるということができる これは以下のように高次元に拡張される 位相空間 x とその 1 点 p を固定し p を基点とする n 次元 球面 s n の x への連続像 の全体 ω n x p を考え これをホモトピー型が同じという関係で割って得られる商集合 π n x p は群を成す この π n x p を n 次元 ホモトピー群 と呼ぶ 基本群の場合と同様に 位相空間の間の連続写像は高次ホモトピー群の間にも準同形写像をみちびく ホモトピー同値 編集 位相空間 x y が与えられたとき f g i d y g f i d x displaystyle f circ g simeq mathrm id _ y g circ f simeq mathrm id _ x であるような連続写像 f x y g y x が存在するとき x と y はホモトピー同値 homotopy equivalent であるという ホモトピー同値は 位相同型 よりも粗い同値関係を与える 例えば 1 点とユークリッド空間 r n は同じホモトピー型をもつ 一方 n 次元球面 s n はすべて互いに異なったホモトピー型をもつ 性質 編集 ホモトピー群はホモトピー 不変量 であり とくに 位相不変量 でもある 0 次基本群は位相空間の連結性を知る指標である x が弧状連結な位相空間であれば その基本群は基点 p の取り方によらず同型である これにより 基点を書かずに π 1 x と書くことがある 2 次元以上のホモトピー群や位相群の基本群は 可換群 になる 歴史 編集 連続的変形 概念の歴史は古く ラグランジュ による 変分法 の研究にまで遡ることができる 1 ホモトピーという言葉は dehn heegaard 1907 で導入された 2 3 現代と潜在的には同じホモトピーの定義は ブラウワー による1911年の論文でなされた 4 直積空間は チコノフ 英語版 によって1926年に定義されたので 完全に現代と同じ定義がなされるのはそれ以降である 5 脚注 編集 脚注の使い方 eynde 1992 p 129 eynde 1992 p 165 solomon lefschetz 1956 topology 2 ed chelsea publishing company new york p 77 https archive org details dli ernet 425544 eynde 1992 p 178 homotopy algebraic topology a guide to literature 関連項目 編集 ホモロジー モノドロミー 参考文献 編集 i m シンガー j a ソープ トポロジーと幾何学入門 培風館 1995年 isbn 978 4563001506 hatcher allen 2001 algebraic topology cambridge university press isbn 978 0521795401 歴史関連 編集 eynde ria vanden 1992 historical evolution of the concept of homotopic paths archive for history of exact sciences 45 2 127 188 issn 0003 9519 jstor 41133947 https www jstor org stable 41133947 dehn m heegaard p 1907 analysis situs enzyklopädie der mathematischen wissenschaften iii ab3 pp 153 220 https gdz sub uni goettingen de id ppn360609635 表 話 編 歴 位相幾何学 トポロジー 分野 一般 点集合 代数的 組合せ論的 英語版 連続体 微分 幾何学的 ホモロジー コホモロジー 集合論的トポロジー 主要概念 開集合 閉集合 連続性 空間 コンパクト ハウスドルフ 距離 一様 ホモトピー ホモトピー群 基本群 単体複体 cw複体 完全列 ホモロジー代数 k理論 glossary 英語版 lists トピックス 英語版 一般 英語版 代数的 英語版 幾何学的 英語版 出版物 英語版 典拠管理データベース 国立図書館 ドイツ アメリカ フランス bnf data 日本 イスラエル その他 yale lux https ja wikipedia org w index php title ホモトピー oldid 106148815 から取得 カテゴリ 位相幾何学 ホモトピー論 数学に関する記事 隠しカテゴリ isbnマジックリンクを使用しているページ 最終更新 2025年8月23日 土 23 57 日時は 個人設定 で未設定ならば utc ページは parsoid によってレンダリングされました テキストは クリエイティブ コモンズ 表示 継承ライセンス のもとで利用できます 追加の条件が適用される場合があります 詳細については 利用規約 を参照してください プライバシー ポリシー ウィキペディアについて 免責事項 法律および安全に関する連絡先 行動規範 開発者 統計 cookieに関する声明 モバイルビュー 検索 検索 目次の表示 非表示を切り替え ホモトピー 33 個の言語版 話題を追加