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数学, 目次, 定義, 層の茎, エタール束, 空間の復元, 前層の層化, 歴史, 関連項目, 脚注, 参考文献, 外部リンク, 前層, 注釈, 出典,

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displaystyle (47), mathcal (20), lambda (10), sheaf (9), theory (8), 英語版 (8), the (7), https (6), 978 (6), isbn (6), rho (6), doi (5), mathematics (4), mathematical (4), berlin (4), new (4), york (4), springer (4), verlag (4), に対して (4), に対し (4), subset (4), 非表示 (4), サイドバーに移動 (4), wikipedia (3), sheaves (3), issn (3), second (3), and (3), books (3), ndl (3), pid (3), 輓近代数学の展望 (3), faisceau (3), hom (3), 開集合の包含関係 (3), エタール束 (3), 言い換えると (3), 位相空間 (3), 個の言語版 (2), 目次の表示 (2), 非表示を切り替え (2), コモンズ (2), org (2), 外部リンク (2), cambridge (2), university (2), press (2), annals (2), pdf (2), 1969915 (2), 2307 (2), series (2), faisceaux (2), pierre (2), american (2), 1956 (2), 9904 (2), category (2), 1994 (2), 387 (2), geometry (2), 540 (2), topological (2), bredon (2), 1997 (2), 12623991 (2), ncid (2), 参考文献 (2), である (2), through (2), examples (2), 関連項目 (2), ジャン (2), アンリ (2), カルタン (2), 前層の層化 (2), xを位相空間とする (2), 空間の復元 (2), このとき (2), について (2), における (2), ここに (2), まわり (2), を参照 (2), 層の茎 (2), の各開集合 (2), 開集合 (2), となる (2), cap (2), と呼ぶ (2), restriction (2), 各開集合 (2), mathrm (2), 履歴を表示 (2), ツール (2), ログイン (2), アカウント作成 (2), ヘルプ (2), メインメニュー (2), 話題を追加, モバイルビュー, cookieに関する声明, 開発者, 行動規範, 法律および安全に関する連絡先, 免責事項, ウィキペディアについて, プライバシー, ポリシー, テキストは, のもとで利用できます, 追加の条件が適用される場合があります, 詳細については, を参照してください, 利用規約, クリエイティブ, 継承ライセンス, ページは, によってレンダリングされました, parsoid, 最終更新, 2026年5月18日, 日時は, で未設定ならば, utc, 個人設定, 隠しカテゴリ, 言葉を濁した記述のある記事, 2025年5月, 圏の類, 数学に関する記事, 代数幾何学の位相的方法, 層の理論, カテゴリ, から取得, index, php, title, oldid, 109560136, yale, lux, その他, イスラエル, アメリカ, 国立図書館, 典拠管理データベース, planetmath, pedagogic, treatment, tennison, 1975, 0404390, concise, lecture, notes, swan, 1964, chicago, scholar, search, 1955, vol, 197, 278, http, www, mat, uniroma1, people, arbarello, fac, 0068874, jstor, 0003, 486x, algébriques, cohérents, serre, jean, seebach, arthur, seeback, linda, steen, lynn, 1970, what, 681, 703, 0263073, 2316199, monthly, martin, scientific, report, summer, institute, several, complex, variables, 141, 0077995, 0002, 1090, s0002, 10013, bulletin, society, zariski, oscar, chern, toposes, emphasised, moerdijk, ieke, universitext, 1300636, 97710, logic, first, introduction, topos, mac, lane, saunders, advanced, techniques, such, most, reasonable, spaces, vanishing, cycles, derived, schapira, grundlehren, der, mathematischen, wissenschaften, fundamental, principles, sciences, 1299726, 51861, 292, manifolds, kashiwara, masaki, updated, edition, classic, using, enough, show, its, power, 1995, classics, 1335917, 58663, methods, algebraic, hirzebruch, friedrich, 1957, sur, quelques, points, algèbre, homologique, 119, 221, 0102537, 0040, 8735, 2748, tmj, 1178244839, tohoku, journal, grothendieck, alexander, godement, roger, 1973, paris, hermann, 0345092, topologie, algébrique, théorie, des, oriented, towards, conventional, applications, glen, graduate, texts, 2nd, google, jfxsbwaaqbaj, 1481706, 94905, 170, ダイヤモンド社, 1970年, bn00660967, 弘文堂書房, 1941年, 1683746, bn05414072, 176頁, keyword, 由来は, 層という訳語の由来は仏語, のあとの方の, をとったというのが一つの根拠である, の元来の意味は束, 群の束, 上に配置された, の意である, ところで, これを横に見ると地層のような層になる, そこで, 垂直を水平におきかえて層と訳してみたのである, この訳がよいか, 悪いか, わが国で定着しているかどうか知らないが, この訳語の発案者として, その由来を記しておく, introductory, book, with, open, access, rosiak, daniel, 2022, massachusetts, direct, mit, edu, monograph, 5460, 1333708310, oclc, 262, 37042, 7551, mitpress, 12581, 001, 0001, p191, 第7章, 数学原論, 斎藤毅著, 東京大学出版会, 2020年4月10日, 063904, 英語で麦類の穂束, 書類の束, 矢の束などを意味する, wiktionary, 脚注の使い方, リーマン面, 空間の前層, スペクトルの層, スタック, 正則層, gerbe, ジャーブ, さらに任意の係数体上の多様体にコホモロジー理論を構築することを目的の一つとして, によって代数幾何学に層の概念が持ち込まれた, によりこの考えが推し進められ, 上有意義な, を表現しうる, の概念が得られた, ほかに層が決定的に用いられる理論として, らに端を発する偏微分方程式系の解析, 加群の理論, があげられる, 佐藤幹夫, トポス, スキーム, アレクサンドル, グロタンディーク, ピエール, セール, 1955年, をはじめとするフランスの数学者達の層の解明は, が見出した不定域イデアルという概念をも基にしている, 岡の複素関数論の, の不定域イデアルが基本内容を構成しそれを取り出し形式化したものが, の内容とされる, 連接層, イデア, 層の概念が最初にはっきりと現れたのは, 第二次世界大戦中の, による偏微分方程式の研究だと言われている, その後, のセミナーで形式的な整備が進められた, ルレイ, 層化の構成には何通りかの方法がある, たとえば層に付随するエタールバンドルの構成を前層に対して同様に実行することでエタールバンドルが得られ, このエタールバンドルに付随する層を考えることで層化が得られる, 前層pに対してその層化, 普遍性, fは任意の層, を満たすような層として定義される, この定義から, とくにすでに層であるような前層, に対して層化, を考えれば, pとapは自然に同型であることが要請される, 集合の前層については実際に層化を考えることができ, 加群や環の前層など付加的な構造を付与した場合でもたいていの場合には層化が可能である, 一点集合が定めるx上の定数層はo, 上xによって表現される関手yx, だと見なすことができる, より一般にyxの部分層とxの開集合の間に自然な対応があり, x上の層からxの開集合たちとその間の包含関係を復元できることがわかる, 簡素な空間, sober, space, と呼ばれるクラスの分離空間についてはその開集合系からもとの空間と位相同型な位相空間を得ることができる, このことから層は位相空間の圏論的, 組み合わせ, 的な言い換えを与えているとも考えられる, mを集合とするとき, 離散位相を考えてmを位相空間とみなせる, 直積空間x, mからxへの第一成分への射影写像は局所同相写像になっていて, x上のエタールバンドルを与えている, これに対応する層はmが定めるx上の定数層と呼ばれる, 定数層, の開集合, その上の複素数値連続関数のなす空間を, とかくことにする, に対して関数の定義域の制限, を考えることでx, 上の層が得られる, におけるこの層の芽とはxのまわりでの関数の局所的な振る舞いを表していると考えることができる, 同様に, 複素多様体に対しその上の正則関数のなす層を考えることができる, 連続関数の層, に対応するエタール束, の茎の合併集合, 次のようにして位相を入れることで構成される, の寄せ集めで作られる, 任意の開集合, の任意の元, とおき, の形にかける集合全てで生成されるような開集合系をe, 上で考える, cup, に対応する層, は各開集合, に対してその上の, への切断の空間, を与え, 開集合の包含関係に対して切断の制限写像を対応させることで定義される, の逆像と自然に対応する, 局所同相写像, 上のエタール束とよばれる, 上の層と, 上のエタール束の間には自然な対応がある, 多くの状況下で, 層の茎を知ることは, 層自身を知るに充分である, 例えば, 層の射が単射, あるいは同型射であるか否かは, 茎の上で調べることができる, のような構成においても, 茎が使われる, ゴドマン分解, であり, は一点空間, への包含である, 同値性は, の定義から導かれる, 茎の別の定義方法は, 自然な射, の切断, をその芽, germ, へ写す, これは, の通常の定義を一般化する, によって定義される, 茎の元は, のある開近傍上の切断により与えられ, 2つのそのような切断は, より小さな近傍でそれらの制限が一致するとき, 同じであると考える, varinjlim, lim, 与えられた点, を含む, のすべての開集合上での, 帰納極限, stalk, の層の性質を捕らえる, の意味は, 概念的に言うと, その点のいくらでも小さい, を見るということであるが, もちろん, 単独の近傍では十分小さくないので, ある種の極限をとらなければならない, 詳細は, 層の射の定義において貼りあわせの公理を用いなかったことに注意しよう, したがって, 上の定義は前層に対しても意味をなす, すると, に値を持つ前層の圏は, への反変関手の圏である, 関手圏, 層の同型射は各開集合, 上の同型射であることを証明できる, が同型射であることと, が同型射であることが同値である, 同じことは, についても正しいが, については正しくない, 層係数コホモロジー, 層を特別な種類の関手としても表現できることを思い出そう, 層の射は対応する関手の, 射のこの概念により, 任意の, に値を持つ層の圏が存在する, その対象は, に値を持つ層であり, 射は層の射である, はこの圏における同型射である, 同型射, 自然変換, に値をもつ, 2つの層とする, 制限と両立するような射, からなる, のすべての開部分集合, 次の図式が, 発見的な方法でいうと, 層の射は層の間の写像のようなものである, しかし, 層は位相空間の各開集合に対するデータを含んでいるので, 層の射は, 各開集合上の写像の整合性条件を満たす集まりとして定義される, をすべての, に対して満たすものが存在する, 閉条件, ようなもののことをいう, を満たすものであるならば常に, を満たすならば常に, が成立, 既約性条件, さらに切断の族, が常に, が任意に与えられたとき, が任意の, bigcup, 上の前層はその切断が局所的な切断の張り合わせで定義できるとき, と呼ばれる, 正確には, 上の層とは, であって, に対して開被覆, の言葉で言えば, の開集合系, これは包含関係に関する, と見なすとき, 上の前層とは, から集合の圏への, のことであるということができる, 可換群の, あるいは加群の, 前層や環の前層は, から可換群の圏や環の圏への反変関手のことであり, 同様にして, から適当な圏, への反変関手として, に値を持つ前層が定義される, 二つの前層を関手と見なして, その間の自然変換となるものを, または前層の, とよぶ, 準同型, 前層の射, 反変関手, 順序集合, と記して, を切断, の元を前層, せつだん, あるいは, だんめん, 上の切断, が与えられたとき, section, に対応付けられる, がどれも加群の構造を持ち, 制限写像がどれも加群の準同型となっているならば, 同じく, がどれも環であって制限写像がどれも環準同型ならば, といったように, たちのもつ構造によって前層をクラスに分けることができる, 環の前層, 加群の前層, implies, circ, ここで, は恒等写像である, のように記すこともある, が定まり, さらに次の条件を満たす, colon, に応じて, せいげんしゃぞう, と呼ばれる写像, map, 制限写像, が定まる, が集合, の開集合系である, とする, 集合の, 次の条件を満たす, の開集合から集合への対応規則である, より形式的に, 大域から局所への移行のみを考える概念は, ぜんそう, とよばれる, presheaf, 層理論の幅広い概念力と純粋数学を超えた分野への幅広い応用性は, ごく最近, になってようやく認識され始めた, 応用圏理論の観点から, グラフのn色彩, 衛星データ, チェス問題, ベイジアンネットワーク, 自己相似群, 音楽演奏, 複体など, 様々な応用例を考察できる, 層は局所と大域をつなぐことばであり, 装置である, 層のことばを使って多様体やリーマン面などの幾何学的対象が定義できる, 曲面の向きや微分形式も層のことばで定義できる, 例として, 位相空間上の連続関数を考える, 位相空間の各開集合に対しそこで定義された連続関数の環が定まり, 開集合の包含関係に対し定義域を制限することで定まる写像は環の射である, さらに, 局所的に定義された連続関数の族が大域的な関数を定義するならば, その関数は連続関数である, 層の定義は, この2つの性質を抽象化したものである, 数学における, 上で連続的に変化する様々な数学的, をとらえるための概念であり, 大域的なデータを局所的に取り出すこと, および局所的なデータの貼り合わせ可能性によって定式化される, フリー百科事典, ウィキペディア, ウィキデータ項目, 他のプロジェクト, 印刷用バージョン, 形式でダウンロード, ブックの新規作成, 書き出し, レガシーパーサーに切り替え, 短縮urlを取得する, このページを引用, ページ情報, この版への固定リンク, ファイルをアップロード, 関連ページの更新状況, リンク元, 日本語, ノート, ページ, リンクを編集, tiếng, việt, українська, türkçe, svenska, српски, srpski, русский, português, polski, norsk, bokmål, nederlands, မြန်မာဘာသာ, македонски, 한국어, italiano, עברית, français, suomi, فارسی, euskara, español, esperanto, english, ελληνικά, deutsch, čeština, català, العربية, 脚注サブセクションを切り替えます, 定義サブセクションを切り替えます, ページ先頭, 個人用ツール, ウィキペディアに関するお問い合わせ, バグの報告, お知らせ, 井戸端, 利用案内, 特別ページ, アップロード, ウィキメディア, 練習用ページ, おまかせ表示, 最近の更新, 新しいページ, 最近の出来事, コミュニティ, ポータル, メインページ, コンテンツにスキップ,

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層 数学 wikipedia コンテンツにスキップ メインメニュー メインメニュー サイドバーに移動 非表示 案内 メインページ コミュニティ ポータル 最近の出来事 新しいページ 最近の更新 おまかせ表示 練習用ページ アップロード ウィキメディア コモンズ 特別ページ ヘルプ ヘルプ 利用案内 井戸端 お知らせ バグの報告 ウィキペディアに関するお問い合わせ 検索 検索 表示 寄付 アカウント作成 ログイン 個人用ツール 寄付 アカウント作成 ログイン 目次 サイドバーに移動 非表示 ページ先頭 1 定義 定義サブセクションを切り替えます 1 1 前層 1 2 層 1 3 射 2 層の茎 3 エタール束 4 例 5 空間の復元 6 前層の層化 7 歴史 8 関連項目 9 脚注 脚注サブセクションを切り替えます 9 1 注釈 9 2 出典 10 参考文献 11 外部リンク 目次の表示 非表示を切り替え 層 数学 29 個の言語版 العربية català čeština deutsch ελληνικά english esperanto español euskara فارسی suomi français עברית italiano 한국어 македонски မြန်မာဘာသာ nederlands norsk bokmål polski português русский српски srpski svenska türkçe українська tiếng việt 粵語 中文 リンクを編集 ページ ノート 日本語 閲覧 編集 履歴を表示 ツール ツール サイドバーに移動 非表示 操作 閲覧 編集 履歴を表示 全般 リンク元 関連ページの更新状況 ファイルをアップロード この版への固定リンク ページ情報 このページを引用 短縮urlを取得する レガシーパーサーに切り替え 印刷 書き出し ブックの新規作成 pdf 形式でダウンロード 印刷用バージョン 他のプロジェクト ウィキデータ項目 表示 サイドバーに移動 非表示 出典 フリー百科事典 ウィキペディア wikipedia 数学における 層 そう 英 sheaf 注 1 仏 faisceau とは 位相空間 上で連続的に変化する様々な数学的 構造 をとらえるための概念であり 大域的なデータを局所的に取り出すこと および局所的なデータの貼り合わせ可能性によって定式化される 層は局所と大域をつなぐことばであり 装置である 層のことばを使って多様体やリーマン面などの幾何学的対象が定義できる 曲面の向きや微分形式も層のことばで定義できる 例として 位相空間上の連続関数を考える 位相空間の各開集合に対しそこで定義された連続関数の環が定まり 開集合の包含関係に対し定義域を制限することで定まる写像は環の射である さらに 局所的に定義された連続関数の族が大域的な関数を定義するならば その関数は連続関数である 層の定義は この2つの性質を抽象化したものである 1 層理論の幅広い概念力と純粋数学を超えた分野への幅広い応用性は ごく最近 いつ になってようやく認識され始めた 応用圏理論の観点から グラフのn色彩 衛星データ チェス問題 ベイジアンネットワーク 自己相似群 音楽演奏 複体など 様々な応用例を考察できる 2 より形式的に 大域から局所への移行のみを考える概念は 前層 ぜんそう presheaf とよばれる 3 4 定義 編集 前層 編集 組 x t displaystyle x t を x displaystyle x が集合 t displaystyle t が x displaystyle x の開集合系である 位相空間 とする x 上の 集合の 前層 f displaystyle mathcal f とは 次の条件を満たす x displaystyle x の開集合から集合への対応規則である x displaystyle x の 開集合 u t displaystyle u in t に対して 集合 f u displaystyle mathcal f u が定まる 開集合の包含関係 u v displaystyle u subset v に応じて 制限写像 せいげんしゃぞう restriction map と呼ばれる写像 ρ u v f v f u displaystyle rho _ u v colon mathcal f v to mathcal f u ρ v u を ρ u v のように記すこともある が定まり さらに次の条件を満たす ρ u u i d u displaystyle rho _ u u mathrm id _ u ここで i d u f u f u displaystyle mathrm id _ u mathcal f u to mathcal f u は恒等写像である u v w ρ u w ρ u v ρ v w displaystyle u subset v subset w implies rho _ u w rho _ u v circ rho _ v w 各開集合 u displaystyle u に対応付けられる f u displaystyle mathcal f u がどれも加群の構造を持ち 制限写像がどれも加群の準同型となっているならば x 上の 加群の前層 同じく f u displaystyle mathcal f u がどれも環であって制限写像がどれも環準同型ならば x displaystyle x 上の 環の前層 といったように f u displaystyle mathcal f u たちのもつ構造によって前層をクラスに分けることができる 各開集合 u displaystyle u に対して f u displaystyle mathcal f u の元を前層 f displaystyle mathcal f の u displaystyle u 上の 切断 せつだん section あるいは 断面 だんめん と呼ぶ 開集合の包含関係 u v displaystyle u subset v と v displaystyle v 上の切断 s f v displaystyle s in mathcal f v が与えられたとき s u ρ u v s displaystyle s _ u rho _ u v s と記して s u displaystyle s _ u を切断 s displaystyle s の u displaystyle u への 制限 restriction と呼ぶ 圏論 の言葉で言えば x displaystyle x の開集合系 これは包含関係に関する 順序集合 となる t displaystyle t を 圏 と見なすとき x displaystyle x 上の前層とは t displaystyle t から集合の圏への 反変関手 のことであるということができる また 可換群の あるいは加群の 前層や環の前層は t displaystyle t から可換群の圏や環の圏への反変関手のことであり 同様にして t displaystyle t から適当な圏 c displaystyle mathcal c への反変関手として c displaystyle mathcal c に値を持つ前層が定義される 5 二つの前層を関手と見なして その間の自然変換となるものを 前層の射 または前層の 準同型 とよぶ 層 編集 位相空間 x 上の前層はその切断が局所的な切断の張り合わせで定義できるとき 層 と呼ばれる 正確には x 上の層とは 前層 f f u ρ v u であって x の各開集合 u に対して開被覆 u λ λ u λ displaystyle u bigcup _ lambda in lambda u_ lambda が任意に与えられたとき f u の元 s t が任意の λ に対して s u λ t u λ displaystyle s _ u_ lambda t _ u_ lambda を満たすならば常に s t が成立 既約性条件 し さらに切断の族 s λ u λ λ λ が常に s λ u λ u μ s μ u λ u μ displaystyle s_ lambda _ u_ lambda cap u_ mu s_ mu _ u_ lambda cap u_ mu を満たすものであるならば常に f u の元 s で s u λ s λ displaystyle s _ u_ lambda s_ lambda をすべての λ に対して満たすものが存在する 閉条件 ようなもののことをいう 射 編集 発見的な方法でいうと 層の射は層の間の写像のようなものである しかし 層は位相空間の各開集合に対するデータを含んでいるので 層の射は 各開集合上の写像の整合性条件を満たす集まりとして定義される f と g を圏 c に値をもつ x 上の 2つの層とする 射 φ g f は x の各開集合 u に対し 制限と両立するような射 φ u g u f u からなる 言い換えると 開集合 u のすべての開部分集合 v に対し 次の図式が 可換 となる 層を特別な種類の関手としても表現できることを思い出そう このとき 層の射は対応する関手の 自然変換 である 射のこの概念により 任意の c に対し x 上の c に値を持つ層の圏が存在する その対象は c に値を持つ層であり 射は層の射である 層の 同型射 はこの圏における同型射である 層の同型射は各開集合 u 上の同型射であることを証明できる 言い換えると φ が同型射であることと 各 u に対し φ u が同型射であることが同値である 同じことは 単射 についても正しいが 全射 については正しくない 層係数コホモロジー を参照 層の射の定義において貼りあわせの公理を用いなかったことに注意しよう したがって 上の定義は前層に対しても意味をなす すると c に値を持つ前層の圏は 関手圏 o x から c への反変関手の圏である 層の茎 編集 詳細は 茎 層 を参照 層 f displaystyle mathcal f の 茎 stalk f x displaystyle mathcal f _ x は 点 x x の まわり の層の性質を捕らえる ここに まわり の意味は 概念的に言うと その点のいくらでも小さい 近傍 を見るということであるが もちろん 単独の近傍では十分小さくないので ある種の極限をとらなければならない 茎は 与えられた点 x を含む x のすべての開集合上での 帰納極限 f x lim u x f u displaystyle mathcal f _ x varinjlim _ u ni x mathcal f u によって定義される 言い換えると 茎の元は x のある開近傍上の切断により与えられ 2つのそのような切断は より小さな近傍でそれらの制限が一致するとき 同じであると考える 自然な射 f u f x は f u の切断 s をその芽 germ へ写す これは 芽 の通常の定義を一般化する 茎の別の定義方法は f x i 1 f x displaystyle mathcal f _ x i 1 mathcal f x であり ここに i は一点空間 x から x への包含である 同値性は 逆像 英語版 の定義から導かれる 多くの状況下で 層の茎を知ることは 層自身を知るに充分である 例えば 層の射が単射 全射 あるいは同型射であるか否かは 茎の上で調べることができる ゴドマン分解 英語版 のような構成においても 茎が使われる エタール束 編集 局所同相写像 e x は x 上のエタール束とよばれる x 上の層と x 上のエタール束の間には自然な対応がある エタール束 e に対応する層 f e は各開集合 u に対してその上の e への切断の空間 γ u e を与え 開集合の包含関係に対して切断の制限写像を対応させることで定義される x の点 x について 茎 f e x は e における x の逆像と自然に対応する 逆に 層 f に対応するエタール束 f e は f の茎の合併集合 x x f x displaystyle cup _ x in x f_ x に 次のようにして位相を入れることで構成される 射影 e f x は f x x の寄せ集めで作られる 任意の開集合 u と fu の任意の元 s について o u s s y f y y u s y は茎 f y における s の芽 とおき o u s の形にかける集合全てで生成されるような開集合系をe f 上で考える 例 編集 連続関数の層 xを位相空間とする x の開集合 u に対して その上の複素数値連続関数のなす空間を c u とかくことにする 開集合の包含関係 v u に対して関数の定義域の制限 c u c v を考えることでx 上の層が得られる 点x におけるこの層の芽とはxのまわりでの関数の局所的な振る舞いを表していると考えることができる 同様に 複素多様体に対しその上の正則関数のなす層を考えることができる 定数層 mを集合とするとき 離散位相を考えてmを位相空間とみなせる このとき 直積空間x mからxへの第一成分への射影写像は局所同相写像になっていて x上のエタールバンドルを与えている これに対応する層はmが定めるx上の定数層と呼ばれる 空間の復元 編集 xを位相空間とする 一点集合が定めるx上の定数層はo x 上xによって表現される関手yx hom o x x だと見なすことができる より一般にyxの部分層とxの開集合の間に自然な対応があり x上の層からxの開集合たちとその間の包含関係を復元できることがわかる 簡素な空間 sober space と呼ばれるクラスの分離空間についてはその開集合系からもとの空間と位相同型な位相空間を得ることができる このことから層は位相空間の圏論的 代数 組み合わせ 的な言い換えを与えているとも考えられる 前層の層化 編集 前層pに対してその層化 ap が 普遍性 hom p f hom ap f fは任意の層 を満たすような層として定義される この定義から とくにすでに層であるような前層 p に対して層化 ap を考えれば pとapは自然に同型であることが要請される 集合の前層については実際に層化を考えることができ 加群や環の前層など付加的な構造を付与した場合でもたいていの場合には層化が可能である 層化の構成には何通りかの方法がある たとえば層に付随するエタールバンドルの構成を前層に対して同様に実行することでエタールバンドルが得られ このエタールバンドルに付随する層を考えることで層化が得られる 歴史 編集 層の概念が最初にはっきりと現れたのは 第二次世界大戦中の ジャン ルレイ による偏微分方程式の研究だと言われている その後 アンリ カルタン のセミナーで形式的な整備が進められた なお アンリ カルタン をはじめとするフランスの数学者達の層の解明は 岡潔 が見出した不定域イデアルという概念をも基にしている 岡の複素関数論の イデア の不定域イデアルが基本内容を構成しそれを取り出し形式化したものが 連接層 の内容とされる さらに任意の係数体上の多様体にコホモロジー理論を構築することを目的の一つとして 1955年 に ジャン ピエール セール によって代数幾何学に層の概念が持ち込まれた アレクサンドル グロタンディーク によりこの考えが推し進められ スキーム 上有意義な 層 を表現しうる トポス の概念が得られた ほかに層が決定的に用いられる理論として 佐藤幹夫 らに端を発する偏微分方程式系の解析 d 加群の理論 があげられる 関連項目 編集 余層 英語版 ジャーブ 英語版 gerbe 正則層 英語版 スタック 英語版 スペクトルの層 英語版 空間の前層 英語版 リーマン面 脚注 編集 脚注の使い方 注釈 編集 英語で麦類の穂束 書類の束 矢の束などを意味する sheaf wiktionary 出典 編集 p191 第7章 層 数学原論 斎藤毅著 東京大学出版会 2020年4月10日 isbn 978 4 13 063904 0 rosiak daniel 2022 sheaf theory through examples cambridge massachusetts doi 10 7551 mitpress 12581 001 0001 isbn 978 0 262 37042 4 oclc 1333708310 https direct mit edu books oa monograph 5460 sheaf theory through examples introductory book with open access 層という訳語の由来は仏語 faisceau のあとの方の ソー をとったというのが一つの根拠である faisceau の元来の意味は束 タバ である 群の束 x 上に配置された の意である ところで これを横に見ると地層のような層になる そこで 垂直を水平におきかえて層と訳してみたのである この訳がよいか 悪いか わが国で定着しているかどうか知らないが この訳語の発案者として その由来を記しておく 秋月 輓近代数学の展望 176頁 https dl ndl go jp pid 12623991 1 96 keyword 由来は bredon 1997 pp 1 2 参考文献 編集 秋月 康夫 輓近代数学の展望 弘文堂書房 1941年 ncid bn05414072 https dl ndl go jp pid 1683746 秋月 康夫 輓近代数学の展望 ダイヤモンド社 1970年 ncid bn00660967 https dl ndl go jp pid 12623991 bredon glen e 1997 sheaf theory graduate texts in mathematics 170 2nd ed berlin new york springer verlag isbn 978 0 387 94905 5 mr 1481706 https books google co jp books id jfxsbwaaqbaj oriented towards conventional topological applications godement roger 1973 topologie algébrique et théorie des faisceaux paris hermann mr 0345092 grothendieck alexander 1957 sur quelques points d algèbre homologique the tohoku mathematical journal second series 9 119 221 doi 10 2748 tmj 1178244839 issn 0040 8735 mr 0102537 hirzebruch friedrich 1995 topological methods in algebraic geometry classics in mathematics berlin new york springer verlag isbn 978 3 540 58663 0 mr 1335917 updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power kashiwara masaki schapira pierre 1994 sheaves on manifolds grundlehren der mathematischen wissenschaften fundamental principles of mathematical sciences 292 berlin new york springer verlag isbn 978 3 540 51861 7 mr 1299726 advanced techniques such as the derived category and vanishing cycles on the most reasonable spaces mac lane saunders moerdijk ieke 1994 sheaves in geometry and logic a first introduction to topos theory universitext berlin new york springer verlag isbn 978 0 387 97710 2 mr 1300636 category theory and toposes emphasised martin w t chern s s zariski oscar 1956 scientific report on the second summer institute several complex variables bulletin of the american mathematical society 62 2 79 141 doi 10 1090 s0002 9904 1956 10013 x issn 0002 9904 mr 0077995 seebach j arthur seeback linda a steen lynn a 1970 what is a sheaf american mathematical monthly 77 681 703 doi 10 2307 2316199 mr 0263073 serre jean pierre 1955 faisceaux algébriques cohérents annals of mathematics second series the annals of mathematics vol 61 no 2 61 2 197 278 doi 10 2307 1969915 issn 0003 486x jstor 1969915 mr 0068874 http www mat uniroma1 it people arbarello fac pdf scholar search swan r g 1964 the theory of sheaves university of chicago press concise lecture notes tennison b r 1975 sheaf theory cambridge university press mr 0404390 pedagogic treatment 外部リンク 編集 sheaf planetmath org 英語 典拠管理データベース 国立図書館 アメリカ イスラエル その他 yale lux https ja wikipedia org w index php title 層_ 数学 oldid 109560136 から取得 カテゴリ 層の理論 代数幾何学の位相的方法 数学に関する記事 圏の類 隠しカテゴリ 言葉を濁した記述のある記事 いつ 2025年5月 6月 最終更新 2026年5月18日 月 05 02 日時は 個人設定 で未設定ならば utc ページは parsoid によってレンダリングされました テキストは クリエイティブ コモンズ 表示 継承ライセンス のもとで利用できます 追加の条件が適用される場合があります 詳細については 利用規約 を参照してください プライバシー ポリシー ウィキペディアについて 免責事項 法律および安全に関する連絡先 行動規範 開発者 統計 cookieに関する声明 モバイルビュー 検索 検索 目次の表示 非表示を切り替え 層 数学 29 個の言語版 話題を追加