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によってレンダリングされました, parsoid, 最終更新, 2026年3月19日, 日時は, で未設定ならば, utc, 個人設定, 隠しカテゴリ, 日本語版記事がリダイレクトの仮リンクを含む記事, isbnマジックリンクを使用しているページ, 数学に関する記事, 初等数学, から取得, org, index, php, title, 関数_, oldid, 108821152, yale, lux, その他, イスラエル, チェコ, bnf, data, フランス, アメリカ, ドイツ, 国立図書館, 典拠管理データベース, 連続関数, 表現論, 測度論, 調和解析, フーリエ解析, 関数解析, 導関数一覧, 積分一覧, テンソル解析, ベクトル解析, 変分法, 基本定理, 微分法, 積分法, 微分積分学, の主要なトピックス, コトバンク, proofwiki, definition, nlab, kudryavtsev, 2001, 1994, ems, press, encyclopedia, mathematics, planetmath, weisstein, eric, mathworld, wolfram, com, fooplot, 数学関数のソフトウェア, curvas, ウィキブックスに, 関連の解説書, 教科書があります, 定点通過, 畳み込み, 偶関数と奇関数, 集合論, フランク, ギブニー, 改訂版, 1984年, 712, 714頁, ndl, info, pid, 395, tbsブリタニカ, ブリタニカ国際大百科事典, 羅密士, 偉烈亜力, 年9月増刊の再録, 58頁, 満洲雄, 1981年, 169頁, 第1787号, 位相入門, 1968年, 005424, 4000803090, 日本数学会, 日本数学会編, 第4版, c3541, 080309, ron, larson, bruce, edwards, 2010, cengage, learning, 538, 73552, calculus, standard, abbreviated, forms, expressions, and, functions, letourneau, mary, sharp, jennifer, wright, 2017, american, society, ams, style, guide, 遠山啓, 岩波現代文庫, 2011年, 603215, 飯島徹穂編著, 01728, 数の単語帖, 東北大学附属図書館林文庫蔵, を検索することにより, 画像ファイルを見ることができる, 東北大学和算資料データベース, 羅密士撰, 偉烈亜力口訳, 李善蘭筆述, 数学が生まれる物語, 第4週, 座標とグラフ, 70頁, 1992年, 年9月増刊, に再録, 一松信, 1999, この経緯については, 島田茂, 1981, 福原満州雄他, 169, に詳しい, 63_1, 1883, 61_1, 64_14, 62_8, 公田藏, 279頁, 1880, 2818, 2433, 172764, hdl, 1050282810743929856, crid, 数学史の研究, 1971, 2nd, addison, wesley, algebra, が一般の集合である場合にも, への写像を, ということがある, 1968, の方程式, は実数全体の成す集合上の二項関係を定める, として二つの値が可能で, 一方は正他方は負である, のときは二つの値はともに, それ以外では, は値を持たない, このことから, この方程式は, を定義域とするふたつの陰函数を定義し, それらの値域はそれぞれ, この例では方程式は, について解くことができて, と陽に書けるが, より複雑な例ではこのようなことが不可能なものも出てくる, 例えば方程式, の陰函数としてさだめる, 値域ともに, 超冪根は四則演算と冪根をとる操作によって表すことができない, 超冪根, 単位円, ここでいう, 初等的, は必ずしも日常会話的な意味で初等的とは限らない, 初等的な数学において遭遇するほとんどの函数は初等函数だが, 例えば高次多項式の根を含むなどして日常的な意味で初等的ではないような初等函数も存在する, 1958年の中学校学習指導要領では用語として, 一次函, と併記しており, のみになるのは1969年の中学校学習指導要領である, などは, が数の集合, などの, となる写像を指す場合に限り, より一般の場合には, mapping, を用いている, 複素数, 数学の多くの文脈では函数, と写像, map, は同じ意味で用いられる, 脚注の使い方, 等の代数的手法を用いて定義される, この代数的手法の解析学への導入により, 線型微分方程式系の代数化である, 加群の理論等, 代数解析学と呼ばれる分野が開かれた, 以上の超関数のクラスは局所化可能, 言い換えれば層を成すという事が重要である, 層係数コホモロジー, hyperfunction, 佐藤超関数, この様な連続線型汎関数を用いた定式化の方向で, よりも大きいクラスとしては, が知られている, ultradistribution, 超分布, の理論は, 汎関数の一種, コンパクトな台を持つ無限階微分可能関数の作る空間上の連続線型汎関数, を定義する, 通常の局所可積分関数に測度を掛けて積分作用素として見ると, この意味で超関数と見なされる, シュワルツの超関数, 関数に対して数を対応付けるという汎関数の概念は, さらに関数に関数を対応付ける, の概念に一般化される, 作用素, と同一視できる, と見なすことができる, 有限次元ベクトル空間は, を固定することにより, で表される係数体の, そこからの汎関数は多変数関数, 同型写像, 加群の直和, はひとつまたは複数のパラメータで添字付けられる一般には無限個の変数をもつ関数の一種, 有限個の変数の組を考えることも関数の一種であったから, は可積分関数, を変数と見なして様々に取り替えることによって汎関数, を与える, 積分は, を持つから, は線型汎関数である, 線型性, 関数を変数に取る関数はとくに, 特にある集合上の関数の作る, から係数体への, 文脈によっては単に汎関数といえば線型汎関数を指すこともある, たとえば積分, 線型汎函数, ベクトル空間, 汎函数, と読みかえることができる, という関数を考えていることに他ならない, もっと一般に数の, を考慮に入れれば, 通常の実関数, を添字に持つ実数の族, を考えれば, それは各自然数, を対応させる, のかたちに表すのである, これは有限列であるが, 無限列, 有限集合からの関数は実質的に数の組あるいは, と呼ばれるものになる, 適当な演算をいれてベクトルと見ることもできる, それはつまり, 集合の各元に序列を与えて, と並べるとき, を対応付ける関数, と表すことができるが, これによって, の陰伏的な関数関係が表されていると考えるのである, を導入して関係式を分解し, 各変数を媒介変数の陽関数として表すことによって, 陰関数を表すこともある, を導入して, をもつ二価関数である, が定める陰関数, は全域で, つの一価連続な枝, 陰伏的な関数関係が, によって与えられていて, 陽な関数関係, が適当な集合, を定義域として, を満たすなら, この陽関数, 上で関係式, から陰伏的に得られるという, 関数の概念を広くとらず, 一価で連続である場合や一価正則な場合などに考察を限ることはしばしば行われることであるが, そのような仮定のもとでは陰関数から陰伏的に得られる陽関数は一つとは限らず, 一般に一つの陰関数は, 定義域や値域でより分けることにより, 複数の陽関数に分解される, このとき, 陰伏的に得られた個々の陽関数をもとの陰関数の, 陰関数の複数の枝を総じて扱うならば, 陰関数の概念から多価関数の概念を得ることになる, のような式が与えられているとき, は独立に別々の値をとることはできない, に勝手な値を与えるならば, の値によってとりうる値の制約を受けるからである, このことを以って, と従属変数, が対応付けられると考えるとき, に定めるといい, これに対して, と表されるような関数関係を, に表されているなどと言い表す, 陽関数, 陰伏関数, 多変数方程式がいくつかの関数関係を定義することもある, と見なすこともある, 複素変数の対数関数, は素朴には無限多価関数であるが, これを, 上の一価関数と見なすなど, 定義域を広げて一価にする手法は解析的な関数に対してしばしば用いられる, リーマン面, sqcup, として扱うことができる, 定義域の, コピー, を作って定義域を広げてやることで, その拡張された定義域上の一価の関数, はベクトル値関数, 一つの例として, 実数体, で定義された二価の関数, 多変数関数は独立変数がベクトルに値をとるものと解釈できるということを上に述べたが, 逆に従属変数がベクトルの値を持つような写像も考えられ, それを, ベクトル値関数が与えられたとき, 像のベクトルに対してその各成分をとり出す写像を合成することにより, 通常の一価関数が複数得られる, 定義域を共有するいくつかの関数を一つのベクトルとしてまとめて扱ったものがベクトル値関数であるということができる, ベクトル値関数, 現代の厳密な関数の定義, 一つの入力に対して出力は, ただ一つ, でなければならないため, 多価関数は厳密な意味では関数ではない, 複素解析などの分野では歴史的な経緯や便利さから, このような対応関係を, の関数を特に, と呼んで区別することがある, 個の出力を得る多価関数は, 価であるといい, を多価関数の, 例えば正の実数にその平方根を与える操作は正と負の二つ値を持つので, 二価関数とみなせる, 一価関数, 一つの入力に複数の出力を返すような対応規則を, multi, は二変数関数である, 複数の変数によって値が決定される関数を, これは複数の数の集合たちの, から数の集合への写像であると解釈される, ベクトルの集合を, とする独立変数をもつ関数と解釈することもある, 個の変数で決まる関数であれば, 変数関数とも呼ばれ, 多変数関数, 函数空間ではその代数的および位相的性質を利用して函数の性質を調べることができるようになるから, より進んだ解析学において函数空間は基本的な役割を果たすことになる, における解の存在や一意性を言うすべての定理は函数空間を調べることで得られた結果である, 偏微分方程式, 常微分方程式, あるいはより具体的に, 特定の性質を共有する, またはベクトル値の函数からなり, を成すような集合を, 適当な, の外側では常に零となる, 滑らかな実函数全体の成す集合は, 論の基盤となる函数空間を成す, シュワルツ超函数, コンパクト空間, 関数の台, 線型位相空間, スカラー場, のように, と似た幾何学的または位相的性質を持つ空間, 上で定義されたベクトル値函数を考えることもできて, そのようなベクトル値函数はベクトル場と呼ばれる, 多様体, 終域の元がベクトル, となっているような函数はベクトル値函数と呼ばれる, ベクトル値函数は, 例えば物理的性質をモデル化するような, 応用において特に有用で, 例えば流束の各点においてその点での, ベクトルを割り当てる函数はベクトル値函数になる, ベクトル場, 他にも多くの実函数が, 逆函数は陰函数の特別の場合, の解として, 定義される, 例えば正弦函数, や余弦函数, の解として初期条件, から定まる, 線型微分方程式, がある区間上で, となるのは, 平均の変化率, の符号が, その区間内の点, の選び方に依らず一定であるときである, その函数がその区間で微分可能ならば, その区間上で微分係数の符号が一定であるときに単調となる, が区間, において単調であるならば, の逆函数が, への函数として定まる, このような方法で, 逆三角函数は三角函数が単調となる区間上で三角函数の逆函数として与えられる, 自然対数函数は正の実軸上で単調で, は実数直線全体となるから, その逆函数である指数函数は実数全体から正の実数全体への, であることが分かる, 単調写像, 実可微分函数の導函数もまた実函数である, 実連続函数の原始函数はもとの函数が連続となる任意の開区間上で可微分な実函数を与える, 例えば逆数函数, は正の実数全体の成す集合上で連続, さらに微分可能, その原始函数で, において零となるもの, は正の実数全体の成す集合上で微分可能である, からは実数全体で定義された, が定まる, これには, 一次函数, 二次函数などが含まれる, ふたつの多項式函数の商である有理函数は, が起きないように, の実数を定義域とする, もっとも単純な有理函数, のグラフは, を除く, 全体を定義域に持つ, 実数直線, 双曲線, 補有限, ゼロ除算, が備わっている, それらの和, で定義すれば, の定義域の交わりを定義域とする函数が得られる, 同様にこれらの商を, と定義することができるが, この場合定義域は, の定義域の交わりから, を除いたものになる, 関数の零点, 点ごとの演算, 数学及びその応用分野において最もよく扱われる函数はさらに適当な正則性条件, が課せられる, このような正則性があることによって, 函数はそのグラフを用いてよく視覚化することができる, 適当な区間上で微分可能であるような函数だけを扱う, 解析関数, 微分可能関数, 実函数とは, 実数値, の函数, つまり実数全体の成す集合を終域とし実数からなる適当な, を含む部分集合を定義域とする函数を言う, 以下本節では, そのような函数を単に函数と呼ぶことにする, 二つの三角函数, 正弦と余弦, ここでは二次函数, 一次函数のグラフ, いまや函数は数学のあらゆる分野において用いられる, 初歩の, では単に, といえば一変数の実数値函数の意味である, より一般の定義が導入され厳密な設定のもとで函数を扱うようになるのは, においてであろう, 基礎解析学, 17世紀にはじまった函数の概念は, 新しい, の基礎付けとなった, 当時は, しか考えられておらず, どの函数も, であることが仮定されていたが, に定義が拡張されていった, 19世紀後半には数学的に厳密な函数の定義が導入され, 任意の定義域および終域を持つ函数も扱われ始めた, 多変数複素関数, 滑らかな関数, 函数概念の歴史, 無限小解析, 有限集合, 全体で定義された函数を表示するのに, 棒グラフもまたよく用いられる, 軸上の区間を表しており, 函数の値は, の表す区間を底辺とする高さ, として表現できる, 長方形, 計算機や電卓の登場以前には, 対数や三角函数などの函数に対するこのような数表がしばしば編纂され出版されていた, 961662, 293, 961387, 292, 961112, 291, 960835, 290, 960557, 289, 定義域が連続的な場合には, 定義域の特定の値に対する函数の値しか表には表示することができない, 中間の値が必要となったときには, 補間を使って函数の値を評価することは可能である, 例えば正弦函数の小数第6位までで丸めた値を並べた数表の一部を以下のように与えることができる, によって表すことができる, 引数のとる値と函数のとる値を表の形に書きならべることに依って函数を表現することもできる, 定義域が有限ならば, このやり方で函数を完全に特定することができる, 掛け算をする函数, は馴染みの, よくある場合として, あるいはその特定の部分集合, の部分集合となっているとき, 実数の組, を二次元の座標系, において座標, を持つ点と同一視することができる, このような函数, の一部分, の表示法の一環として, を書くことができる, こういったプロット図もまた, として至る所で良く用いられる, また違った座標系を使って函数の図示をすることもできる, 例えば平方函数, のグラフは座標, を持つ点の全体で, 直交座標系に表せばよく知られたように, これをもし, 極座標, を持つ点をプロットしたならば, この場合のグラフは, フェルマー螺旋, 極座標系, 放物線, プロット図, デカルト平面, 与えられた函数, のグラフとは, 形式的な集合, のことである, 棒グラフ版, 各年のアメリカにおける交通事故死者数を, で示した函数, 折れ線グラフ, は函数の直観的描像を与えるために広く用いられる, グラフからは, 例えば函数がどのように増減するかといった函数の性質を読み取ることができて, 函数の理解に役立つ, 函数によっては, その表現に, なども利用できる, 基本的な例として, 非負整数にその, を対応させる函数, は漸化式, と初期条件, によって決まる, 定義域が非負整数であるような函数, はしばしば漸化式によって定義される, 漸化式, はその収束域を定義域として函数を定義することに利用できる, 例えば指数函数は, 冪級数の係数列は極めて任意に決めることができるから, 収束冪級数の和として書ける函数, は大抵既にどこか別の場所で定義されていたり, 係数列もその別な定義に基づく何らかの計算できまるなどしているものである, 冪級数はそのような函数の定義域を拡大することに利用できる, 典型的には, 実変数の函数が適当な区間上で, の和と等しいとき, その級数を用いて直ちに適当な複素領域, 級数の収束円板, 上の複素変数函数に定義域を拡大することができる, これはさらに, 上のさらに大きな領域へ拡大できる, この方法は, 複素変数の指数函数, 対数函数及び三角函数の定義に一般的に用いられる方法である, 複素平面, 解析接続, テイラー展開, sum, limits, dfrac, 冪級数, ほとんどの, を含めた多くの函数は, の解として定義される, 最も単純な例として, 指数函数はその微分が自分自身に等しいような函数の中で, となる唯一の函数として定義することができる, 適当な函数の原始函数として沢山の函数が定義できる, 函数は逆数函数, の原始函数で, となるものとして定義される, もこのような方法で定義される函数の例である, は点の近傍における陰函数の存在と一意性を保証する緩やかな可微分性条件を提供するものである, ふたつの集合, の間の, が与えられ, は各元, に対して適当な, が存在して, とできるものとする, に対してそのような, をひとつ選び出す判定法がわかっているものとすれば, を定義することができ, から陰伏的に定まるとの意味で, が全単射でなくとも, 適当な部分集合, を選んで, への全単射となり, その意味での逆函数を持つということは起こり得る, はこのような仕方で定義される, の各元, に対し, がちょうど一つ, 少なくとも一つ, 高々一つ, 存在して, と書けることであった, の逆函数, を満たす, に写す函数として定まる, 函数は正の実数全体の成す集合から実数全体の成す集合への全単射であるから, 逆を持ち, それは指数函数と呼ばれる実数全体から正の実数全体への函数である, 上記をすべて含む, さらに, などが含まれる, はさらに, をとる操作が許される, 多項式の根, は多項式函数と同じ条件からさらに除法を許すようなものである, は加法, 乗法と非負整数, のみを含む式で定義することができる函数である, と書ける函数を言う, 代表的な関数とその具体例の一覧表を掲げる, 全てのものを網羅しているわけではないことに注意されたい, マチウ関数, ゼータ関数, vartheta, tau, テータ関数, ベータ関数, ガンマ関数, sinh, cosh, tanh, 双曲線関数, 対数関数, 無理関数, 分数関数, 三次関数, 多項式関数, 式によって函数を定義する場合, それらの式が持つ性質, 特性によって函数を分類することもしばしば行われる, この方法で函数を定義したとき, その函数がどのような集合上で定義されているかの決定が難しい場合がときどき生じる, 例えば定義式が割り算を含む場合には, 分母が零になるような変数の値は定義域から除かなければならない, 同様に, 実函数の定義に, が含まれる場合には, 平方根の引数が非負となるような変数の値の集合に定義域が収まるようにしなければならない, 平方根, やその他既知の函数を組み合わせた式, ただし手続き的な操作や無限個の組み合わせではない, によって函数が与えられることも多い, そのような式からは, 定義域の任意の元の値から函数の値を計算することができる, 一つ前の例の, とも定義できる, 閉じた形の式, 有限集合上で定義された函数の場合には, 定義域の各点に割り当てられる終域の元を全て書き並べることで函数を定義することができる, のとき函数, として与えることができる, が与えられたとき, 定義により, の定義域の各点, における値, がただ一つ割り当てられる, 陰に陽に, 関係付ける方法を特定あるいは記述するやり方は様々である, 場合によっては, 函数が具体的にどのような姿かたちをしているかについては一切言及せずに, 適当な性質を持つ函数の存在を定理や, によって保証することもあるが, 大抵は函数, の定義の一部としてその特定法や記述法は言及される, 数学の特定の分野では, その他の特別な記法が使われたりもする, をベクトル, に作用させるときに, それらの間に成り立つ双対性を明らかにするために, の記法が用いられる, でも同様の, の記法が, 函数の, などの基本概念を明示的に表すために用いられる, 上で見た函数の矢印記法を延長あるいは一般化するように, 函数からなる図式およびそれらの合成が, を満たすという意味でどのような可換性を持つかという形で記述される, 可換図式, ホモロジー代数学, 抽象化, ラムダ計算, 計算理論, 数理論理学, ケット記法, 量子力学, 線型代数学, その他の例として, を表すのに, と書く場合や, 上の限界が変数である定積分, と書く場合などが挙げられる, は特定の値を表さず, 単なる, 左辺の, を任意の値に置き換えた際に右辺の, も同じ値で置き換える必要があることを示すために, 用いられている, したがって, の代わりにどんな記号を使ってもよく, 数式中の特定の値を表す文字との混同を避けるため, がよく用いられる, 中黒を使用することで, 例えば函数自身, と任意の点, における函数の値, とを区別することができる, プレースホルダ, 複数の引数を持つ函数において, それら引数が, 真の変数, パラメータ, に分けられるとき, 真の変数ではないことを区別するために助変数を添字にすることがしばしば行われる, 実際にはパラメータというものは, 一つの問題を考察している間は何らかの値に固定されているものと見なされるような変数を言うのである, 先の例でもみた二変数函数の偏函数, を添字記法で, 定義式, によって一変数函数の族, が定義される, 定義域が, には添字記法を使うのが典型的で, は数列の, 番目の項と呼ばれる, 添字記法も函数記法と並んでよく用いられる記法で, 函数記法の, は添字記法では, しばしば函数記号や定義域および終域については省略される, そのような記法は, 函数の任意の引数における値だけが等式で与えられている状況がよくあるので, その際に特別な函数記号を用意しなくてよいため有用である, 二変数の函数, が与えられていて, 第二引数を値, に固定して得られる, に言及したいとき, この函数に新たに名前を付けなくても, という元の対応を表す矢印記法を用いれば扱うことができる, 偏函数, 積の定義された集合, 上で各元を平方する函数, を紛れなく定義するには, のように書けばよい, 元の対応は, と書いても良い, operatorname, の定義域, と終域, を明示する目的では, への函数, の元を, の元に写す, これに重ねて, 元の間の関係を示すため, に写す, ことを意味する, をしばしば書き加える, stackrel, 函数記法を用いたのは, が最初, 1734年, とされる, 誤解のおそれのない場合, 例えば複数文字の函数記号を用いる函数について, 引数を明示する丸括弧は省略してよい, と書く代わりに, と書いてもよい, しばしば函数の定義は, が明示された引数, に対して何をするのかという形で行われる, を任意の実数, に対して成り立つ等式, によって定義するものとすれば, これは, を加えその正弦をとるというより単純な複数の手続きの, として考えることができる, 函数記法で, これは順序対, が函数を定義する順序対の集合に属することを意味する, より具体的に函数, の定義域を, とすれば, 函数を定義する順序対の集合とは, と書ける, 集合の内包的記法, の文字一つで表すか, の文字を複数用いて表す, 後者のローマン体は例えば函数名の省略形で函数を表記する際などに用いられる, イタリック体でなくローマン体を函数に用いることで, 通常イタリック体で表記される変数との混同を避けることができる, 対数積分, exp, ローマン体, イタリック体, 一般的によく知られる記法は, 函数名と引数を明示する式を用いて函数を定義する, いわゆる, しかし函数記法では, 函数それ自身, 函数の値, の表記が混同されやすく, 文脈によっては両者の区別が曖昧になる場合がある, 函数を書き表すために標準的な方法がいくつかある, 現代の初等教育の場においてはしばしば関数を, のたとえで説明することがある, この説明では, と読むことと関連付けて説明されることもある, の語の初出は1859年であり, 1945年ごろに登場した, の概念とは, 語源上の直接的な関係はない, を出力する, の中国語における発音は, であり, によればこれはfunctionの音訳であるという, とあり, これは変数を包む, 含む式という意味で定義されていると解釈できる, また変数に天, 地などの文字を用いて, という表記もある, によれば, の字義はつつむ, つつみこむであるから, という表現は, 天は地を函む, ようにみえ, の表現, に独立変数が容れられている, という意味であるという, 片野善一郎, 凡此變數中函彼變數則此爲彼之函數, nsh, が漢字制限による, に含まれなかったことから, 1950年代以降同音の, へと書き換えがすすめられた, この他, 案もあった, が登場するのは中学校で1958年, 高等学校で1960年であり, それまでは, 表記は, 1985, 年頃までには日本の初等教育の段階でほぼ定着した, 学習指導要領, 当用漢字, 微積分について日本語で書かれた最初の本, 花井静校, 福田半編, 筆算微積入門, 1880年, それに続く, 微分学, 1881年, 査氏微分積分学, 1883年, のいずれも用語を, 1874年, などによっている, 明治初期に東京數學會社で数学用語の日本語訳を検討する譯語會が毎月開催され, その結果が, で逐次報告されている, この報告に, の訳語は第62号, と第64号, 三角法函數, の二種類が登場する, 同誌の本文では61号, や63号, 微積遡源, 岡本則録, 長澤龜之助, としての, はもともと, と書いた, 函数という語は中国語から輸入されたものであり, での初出は1859年に出版された, といわれる, 既にオランダを通じて西洋数学, 特に微積分, を勉強していた, らが翻訳の際に参考にしたとされる, 神田孝平, 旧字体, 実一変数で実数値の函数, で特徴づけられる, 平面上の図表, neq, などはそのまま用いることができる, に値を取る関数に特有の, 一般の写像では成り立つとは限らない, 性質もある, たとえば, を用いて値毎の演算と呼ばれる函数同士の演算が定義できる, を任意として, 逆関数, 一対一ともいう, ともいう, 一対一対応, 合成関数, 始域の全ての元に対して, 終域のただ一つの元が対応する規則のことである, 始域と終域が文脈から明らかな場合などには, 単にグラフ, そのものを関数と呼ぶこともある, その意味で関数は, の同義語である, より細かく, の集合への写像に限る場合もある, 写像に用いる言葉, 一意性, となる, が存在する, 全域性, 集合論的立場に立つ現代数学では, ディリクレのように関数を対応規則, のことであると解釈する, 厳密には, の三つ組, として定義される, ここで, 関数のグラフ, と呼ばれ, 以下の条件を満たすものである, の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要はないとした, 個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり, その対応は数式などで表す必要はないという, オイラーとは異なる立場をとっている, ディリクレ, 関数の終域は実数体, や複素数体, の部分集合であることが多い, 終域が実数の集合となる関数を, 終域が複素数の集合となる関数を, それぞれ定義域がどのような集合であるかは問わないが, 定義域も終域も実数の集合であるような関数を, 定義域も終域も複素数の集合であるような関数を, 複素関数, 実関数, 複素数値関数, 現代的な解釈, 写像としての関数, 関数が値を取りうる集合, codomain, 実際に変数がとる値の集合, 定義域の像, range, image, と区別することがある, の関数であることの別の表現として, は変数, するとも言い, dependent, と言い表す, 独立変数がとりうる値の全体, この関数の, domain, 二つの変数, があり, の値を決定する規則, に特定の値を代入するごとに, の値が確定する, が与えられているとき, independent, とする, 或いは簡単に, 対応規則を明示するときは, 適当な文字列, 特に何か理由がなければ, の頭文字から, が選ばれることが多い, を使って, と書いて, を代入したときに決まる関数の値を, と表す, しかしここで, 定数関数の例に示されるように, 個々の, の値について対応する, の値が一つに決まるとは限らない事に注意しなければならない, という表記法は18世紀の, によるものである, オイラーは, 変数や, を組み合わせてできた数式のことを関数と定義していたが, 上に述べたように, という変数を関数と定義した, コーシー, 数学者, における, かんすう, とも書かれる, かつてはある, に依存して決まる値あるいはその対応を表す式のことであった, この言葉は, によって導入された, その後, が一般化され, 現代では, に値をとる, の一種であると理解されるものとなった, ゴットフリート, ライプニッツ, functio, functie, funktion, fonction, 一般化, 双射的, 全射的, 単射的, 滑らか, 解析的, 代数的, 一般の集合の間の関数については, をご覧ください, フリー百科事典, ウィキペディア, ウィキデータ項目, 他のプロジェクト, 印刷用バージョン, pdf, 形式でダウンロード, ブックの新規作成, 書き出し, レガシーパーサーに切り替え, 短縮urlを取得する, このページを引用, ページ情報, この版への固定リンク, ファイルをアップロード, 関連ページの更新状況, リンク元, ノート, ページ, リンクを編集, 閩南語, bân, lâm, ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ, ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ, ייִדיש, хальмг, winaray, tiếng, việt, vepsän, kel, oʻzbekcha, ўзбекча, اردو, українська, ئۇيغۇرچە, uyghurche, удмурт, татарча, tatarça, türkçe, toki, pona, tagalog, ไทย, தமிழ், ślůnski, svenska, sunda, српски, srpski, shqip, soomaaliga, chishona, anarâškielâ, slovenščina, slovenčina, simple, srpskohrvatski, српскохрватски, سنڌي, scots, sicilianu, саха, тыла, русский, română, runa, simi, português, پنجابی, 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れに重ねて 元の間の関係を示すため f が x を f x に写す ことを意味する x f x をしばしば書き加える 例えば 積の定義された集合 x 上で各元を平方する函数 sqr を紛れなく定義するには sqr x x x x x displaystyle begin aligned operatorname sqr colon x to x x mapsto x cdot x end aligned のように書けばよい 元の対応は x x 2 と書いても良い しばしば函数記号や定義域および終域については省略される そのような記法は 函数の任意の引数における値だけが等式で与えられている状況がよくあるので その際に特別な函数記号を用意しなくてよいため有用である 例えば 二変数の函数 f x x y x t f x t displaystyle f colon x times x to y x t mapsto f x t が与えられていて 第二引数を値 t 0 に固定して得られる 偏函数 英語版 x y displaystyle x to y に言及したいとき この函数に新たに名前を付けなくても x f x t 0 displaystyle x mapsto f x t_ 0 という元の対応を表す矢印記法を用いれば扱うことができる 添字記法 編集 添字記法も函数記法と並んでよく用いられる記法で 函数記法の f x は添字記法では f x のように書かれる 定義域が 自然数 の場合 つまり 数列 の場合 には添字記法を使うのが典型的で 各値 f n は数列の n 番目の項と呼ばれる 複数の引数を持つ函数において それら引数が 真の変数 と 媒介変数 パラメータ に分けられるとき 真の変数ではないことを区別するために助変数を添字にすることがしばしば行われる 実際にはパラメータというものは 一つの問題を考察している間は何らかの値に固定されているものと見なされるような変数を言うのである 例えば 先の例でもみた二変数函数の偏函数 x f x t を添字記法で f t displaystyle f_ t と書けば 定義式 f t x f x t x t x displaystyle f_ t x f x t x t in x によって一変数函数の族 f t x x t x displaystyle f_ t colon x to x t in x が定義される 点記法 編集 矢印記法 x f x において 記号 x は特定の値を表さず 単なる プレースホルダ として 左辺の x を任意の値に置き換えた際に右辺の x も同じ値で置き換える必要があることを示すために 用いられている したがって x の代わりにどんな記号を使ってもよく 数式中の特定の値を表す文字との混同を避けるため 中黒 がよく用いられる 中黒を使用することで 例えば函数自身 f と任意の点 x における函数の値 f x とを区別することができる その他の例として x ax 2 を表すのに a 2 displaystyle a cdot 2 と書く場合や 上の限界が変数である定積分 x a x f u d u displaystyle x mapsto int _ a x f u du を a f u d u displaystyle int _ a cdot f u du と書く場合などが挙げられる 特殊化された記法 編集 数学の特定の分野では その他の特別な記法が使われたりもする 例えば 線型代数学 や 関数解析学 では 線型写像 をベクトル に作用させるときに それらの間に成り立つ双対性を明らかにするために 内積 の記法が用いられる 量子力学 でも同様の ブラ ケット記法 が用いられる 数理論理学 や 計算理論 では ラムダ計算 の記法が 函数の 抽象化 や 適用 英語版 などの基本概念を明示的に表すために用いられる 圏論 や ホモロジー代数学 では 上で見た函数の矢印記法を延長あるいは一般化するように 函数からなる図式およびそれらの合成が 可換図式 を満たすという意味でどのような可換性を持つかという形で記述される 関数を特定するには 編集 函数 f が与えられたとき 定義により f の定義域の各点 x に対して f の x における値 f x がただ一つ割り当てられる x を f x に 陰に陽に 関係付ける方法を特定あるいは記述するやり方は様々である 場合によっては 函数が具体的にどのような姿かたちをしているかについては一切言及せずに 適当な性質を持つ函数の存在を定理や 公理 によって保証することもあるが 大抵は函数 f の定義の一部としてその特定法や記述法は言及される 値を書き並べる 編集 有限集合上で定義された函数の場合には 定義域の各点に割り当てられる終域の元を全て書き並べることで函数を定義することができる 例えば a 1 2 3 displaystyle a 1 2 3 のとき函数 f a r displaystyle f a to mathbb r を f 1 2 f 2 3 f 3 4 displaystyle f 1 2 f 2 3 f 3 4 として与えることができる 式を与える 編集 算術 やその他既知の函数を組み合わせた式 ただし手続き的な操作や無限個の組み合わせではない 閉じた形の式 によって函数が与えられることも多い そのような式からは 定義域の任意の元の値から函数の値を計算することができる 例えば 一つ前の例の f は f n n 1 n 1 2 3 textstyle f n n 1 n in 1 2 3 とも定義できる この方法で函数を定義したとき その函数がどのような集合上で定義されているかの決定が難しい場合がときどき生じる 例えば定義式が割り算を含む場合には 分母が零になるような変数の値は定義域から除かなければならない 同様に 実函数の定義に 平方根 が含まれる場合には 平方根の引数が非負となるような変数の値の集合に定義域が収まるようにしなければならない 関数の分類 編集 式によって函数を定義する場合 それらの式が持つ性質 特性によって函数を分類することもしばしば行われる 関数 形式 初等関数 代数関数 有理関数 多項式関数 定数関数 f x a 一次関数 f x ax b 二次関数 ax 2 bx c 三次関数 ax 3 bx 2 cx d 分数関数 f x a x 無理関数 x displaystyle sqrt x 初等 超越関数 指数関数 a x e x 2 x 対数関数 log x ln x log a x 三角関数 sin x cos x tan x 逆三角関数 sin 1 x cos 1 x tan 1 x 双曲線関数 sinh x cosh x tanh x 特殊関数 ガンマ関数 γ x ベータ関数 β x y 誤差関数 erf x テータ関数 ϑ z τ displaystyle vartheta z tau ゼータ関数 ζ x マチウ関数 代表的な関数とその具体例の一覧表を掲げる 15 19 全てのものを網羅しているわけではないことに注意されたい 関数一覧 も参照 二次関数 は f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c の形 ただし a b c は 定数 と書ける函数を言う より一般に 多項式函数 は加法 減法 乗法と非負整数 冪乗 のみを含む式で定義することができる函数である 例えば f x x 3 3 x 1 displaystyle f x x 3 3x 1 や f x x 1 x 3 1 2 x 2 1 displaystyle f x x 1 x 3 1 2x 2 1 など 有理関数 は多項式函数と同じ条件からさらに除法を許すようなものである 例えば f x x 1 x 1 textstyle f x frac x 1 x 1 や f x 1 x 1 3 x 2 x 1 textstyle f x frac 1 x 1 frac 3 x frac 2 x 1 など 代数関数 はさらに 冪根 や 多項式の根 をとる操作が許される 上記をすべて含む 初等関数 注釈 4 には さらに 対数 や 指数関数 などが含まれる 逆函数や陰伏函数として定める 編集 函数 f x y displaystyle f colon x to y が 全単射 とは y の各元 y に対し x の元 x がちょうど一つ 少なくとも一つ かつ 高々一つ 存在して y f x と書けることであった この場合 f の逆函数 f 1 y x textstyle f 1 colon y to x が 任意の y y を y f x を満たす x x に写す函数として定まる 例えば 自然対数 函数は正の実数全体の成す集合から実数全体の成す集合への全単射であるから 逆を持ち それは指数函数と呼ばれる実数全体から正の実数全体への函数である 函数 f x y displaystyle f colon x to y が全単射でなくとも 適当な部分集合 e x displaystyle e subseteq x および f y displaystyle f subseteq y を選んで f の e への 制限 が e から f への全単射となり その意味での逆函数を持つということは起こり得る 逆三角関数 はこのような仕方で定義される より一般に ふたつの集合 x y の間の 二項関係 r が与えられ x の部分集合 e は各元 x e に対して適当な y y が存在して x r y とできるものとする どの x e に対してそのような y y をひとつ選び出す判定法がわかっているものとすれば 函数 f e y displaystyle f colon e to y を定義することができ 関係 r から陰伏的に定まるとの意味で 陰関数 と呼ぶ 注釈 5 陰函数定理 は点の近傍における陰函数の存在と一意性を保証する緩やかな可微分性条件を提供するものである 微積分学的な条件によって指定する 編集 適当な函数の原始函数として沢山の函数が定義できる 例えば 自然対数 函数は逆数函数 1 x の原始函数で x 1 における値が 0 となるものとして定義される 誤差関数 erf もこのような方法で定義される函数の例である より一般に ほとんどの 特殊関数 を含めた多くの函数は 微分方程式 の解として定義される 最も単純な例として 指数函数はその微分が自分自身に等しいような函数の中で x 0 における値が 1 となる唯一の函数として定義することができる 冪級数 はその収束域を定義域として函数を定義することに利用できる 例えば指数函数は e x n 0 x n n displaystyle e x textstyle sum limits _ n 0 infty dfrac x n n と定義できる しかし 冪級数の係数列は極めて任意に決めることができるから 収束冪級数の和として書ける函数 は大抵既にどこか別の場所で定義されていたり 係数列もその別な定義に基づく何らかの計算できまるなどしているものである 冪級数はそのような函数の定義域を拡大することに利用できる 典型的には 実変数の函数が適当な区間上で テイラー展開 の和と等しいとき その級数を用いて直ちに適当な複素領域 つまり 級数の収束円板 上の複素変数函数に定義域を拡大することができる これはさらに 解析接続 を用いて 複素平面 上のさらに大きな領域へ拡大できる この方法は 複素変数の指数函数 対数函数及び三角函数の定義に一般的に用いられる方法である 漸化式を与える 編集 詳細は 漸化式 を参照 定義域が非負整数であるような函数 つまり 数列 はしばしば漸化式によって定義される 基本的な例として 非負整数にその 階乗 を対応させる函数 n n displaystyle n mapsto n は漸化式 n n n 1 n 0 textstyle n n n 1 quad n 0 と初期条件 0 1 displaystyle 0 1 によって決まる 表示法 編集 グラフ は函数の直観的描像を与えるために広く用いられる グラフからは 例えば函数がどのように増減するかといった函数の性質を読み取ることができて 函数の理解に役立つ 函数によっては その表現に 棒グラフ なども利用できる グラフ 編集 詳細は 函数のグラフ を参照 各年のアメリカにおける交通事故死者数を 折れ線グラフ で示した函数 同上 棒グラフ版 与えられた函数 f x y displaystyle f colon x to y のグラフとは 形式的な集合 g x f x x x textstyle g x f x x in x のことである よくある場合として x および y が 実数 全体 あるいはその特定の部分集合 例えば 区間 など の部分集合となっているとき 実数の組 x y g displaystyle x y in g を二次元の座標系 例えば デカルト平面 英語版 において座標 x y を持つ点と同一視することができる このような函数 の一部分 の表示法の一環として プロット図 を書くことができる こういったプロット図もまた 函数のグラフ として至る所で良く用いられる また違った座標系を使って函数の図示をすることもできる 例えば平方函数 x x 2 のグラフは座標 x x 2 x ℝ を持つ点の全体で 直交座標系に表せばよく知られたように 放物線 になる これをもし 極座標系 を用いて 極座標 r θ x x 2 を持つ点をプロットしたならば この場合のグラフは フェルマー螺旋 英語版 になる 値の表 編集 詳細は 数表 を参照 引数のとる値と函数のとる値を表の形に書きならべることに依って函数を表現することもできる 定義域が有限ならば このやり方で函数を完全に特定することができる 例えば 掛け算をする函数 f 1 5 2 r f x y x y displaystyle f colon 1 ldots 5 2 to mathbb r f x y xy は馴染みの 積表 x y 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25 によって表すことができる しかし 定義域が連続的な場合には 定義域の特定の値に対する函数の値しか表には表示することができない 中間の値が必要となったときには 補間を使って函数の値を評価することは可能である 例えば正弦函数の小数第6位までで丸めた値を並べた数表の一部を以下のように与えることができる x sin x 1 289 0 960557 1 290 0 960835 1 291 0 961112 1 292 0 961387 1 293 0 961662 計算機や電卓の登場以前には 対数や三角函数などの函数に対するこのような数表がしばしば編纂され出版されていた 棒グラフ 編集 詳細は 棒グラフ を参照 有限集合 あるいは 自然数 または 整数 全体で定義された函数を表示するのに 棒グラフもまたよく用いられる この場合 各元 x は x 軸上の区間を表しており 函数の値は x の表す区間を底辺とする高さ f x の 長方形 として表現できる 解析学 編集 17世紀にはじまった函数の概念は 新しい 無限小解析 の基礎付けとなった 函数概念の歴史 英語版 を参照 当時は 実変数 の 実数値関数 しか考えられておらず どの函数も 滑らかな関数 であることが仮定されていたが 直に 多変数複素関数 に定義が拡張されていった 19世紀後半には数学的に厳密な函数の定義が導入され 任意の定義域および終域を持つ函数も扱われ始めた いまや函数は数学のあらゆる分野において用いられる 初歩の 基礎解析学 では単に 函数 といえば一変数の実数値函数の意味である より一般の定義が導入され厳密な設定のもとで函数を扱うようになるのは 実解析 や 複素解析 においてであろう 実函数 編集 実解析 も参照 一次函数のグラフ 多項式函数 ここでは二次函数 のグラフ 二つの三角函数 正弦と余弦 のグラフ 実函数とは 実変数 実数値 の函数 つまり実数全体の成す集合を終域とし実数からなる適当な 区間 を含む部分集合を定義域とする函数を言う 以下本節では そのような函数を単に函数と呼ぶことにする 数学及びその応用分野において最もよく扱われる函数はさらに適当な正則性条件 連続 や 微分可能関数 あるいは 解析関数 など が課せられる このような正則性があることによって 函数はそのグラフを用いてよく視覚化することができる 以下 適当な区間上で微分可能であるような函数だけを扱う 函数は 点ごとの演算 が備わっている つまり 函数 f g に対して それらの和 差 積を f g x f x g x f g x f x g x f g x f x g x displaystyle begin aligned f g x f x g x f g x f x g x f cdot g x f x cdot g x end aligned で定義すれば f g の定義域の交わりを定義域とする函数が得られる 同様にこれらの商を f g x f x g x displaystyle frac f g x frac f x g x と定義することができるが この場合定義域は f g の定義域の交わりから g の 関数の零点 を除いたものになる 多項式 からは実数全体で定義された 多項式函数 が定まる これには 定数関数 一次函数 二次函数などが含まれる ふたつの多項式函数の商である有理函数は ゼロ除算 が起きないように 補有限 の実数を定義域とする もっとも単純な有理函数 x 1 x のグラフは 双曲線 で 0 を除く 実数直線 全体を定義域に持つ 実可微分函数の導函数もまた実函数である 実連続函数の原始函数はもとの函数が連続となる任意の開区間上で可微分な実函数を与える 例えば逆数函数 x 1 x は正の実数全体の成す集合上で連続 さらに微分可能 であるから その原始函数で x 1 において零となるもの 自然対数 函数 は正の実数全体の成す集合上で微分可能である 実函数 f がある区間上で 単調写像 となるのは 平均の変化率 f x f y x y textstyle frac f x f y x y の符号が その区間内の点 x y の選び方に依らず一定であるときである その函数がその区間で微分可能ならば その区間上で微分係数の符号が一定であるときに単調となる 実函数 f が区間 i において単調であるならば f の逆函数が f i から i への函数として定まる このような方法で 逆三角函数は三角函数が単調となる区間上で三角函数の逆函数として与えられる あるいはまた 自然対数函数は正の実軸上で単調で 値域 は実数直線全体となるから その逆函数である指数函数は実数全体から正の実数全体への 全単射 であることが分かる 他にも多くの実函数が 陰函数定理 逆函数は陰函数の特別の場合 から あるいは 微分方程式 の解として 定義される 例えば正弦函数 sin や余弦函数 cos は 線型微分方程式 y y 0 textstyle y y 0 の解として初期条件 sin 0 0 cos 0 1 sin x x 0 1 cos x x 0 0 displaystyle sin 0 0 cos 0 1 quad frac partial sin x partial x 0 1 frac partial cos x partial x 0 0 から定まる ベクトル値函数 編集 詳細は ベクトル値函数 および ベクトル場 を参照 終域の元がベクトル となっているような函数はベクトル値函数と呼ばれる ベクトル値函数は 例えば物理的性質をモデル化するような 応用において特に有用で 例えば流束の各点においてその点での 速度 ベクトルを割り当てる函数はベクトル値函数になる ℝ n あるいは 多様体 のように ℝ n と似た幾何学的または位相的性質を持つ空間 上で定義されたベクトル値函数を考えることもできて そのようなベクトル値函数はベクトル場と呼ばれる 関数空間 編集 詳細は 関数空間 および 関数解析学 を参照 解析学 あるいはより具体的に 関数解析学 において 特定の性質を共有する スカラー場 またはベクトル値の函数からなり 線型位相空間 を成すような集合を 関数空間 と呼ぶ 例えば 関数の台 付き つまり 適当な コンパクト空間 の外側では常に零となる 滑らかな実函数全体の成す集合は シュワルツ超函数 論の基盤となる函数空間を成す 函数空間ではその代数的および位相的性質を利用して函数の性質を調べることができるようになるから より進んだ解析学において函数空間は基本的な役割を果たすことになる 例えば 常微分方程式 や 偏微分方程式 における解の存在や一意性を言うすべての定理は函数空間を調べることで得られた結果である 多変数関数と多価関数 編集 複数の変数によって値が決定される関数を 多変数関数 という これは複数の数の集合たちの 直積集合 から数の集合への写像であると解釈される ベクトルの集合を 定義域 とする独立変数をもつ関数と解釈することもある n 個の変数で決まる関数であれば n 変数関数とも呼ばれ y f x 1 x 2 x n displaystyle y f x_ 1 x_ 2 ldots x_ n のように書かれる 例えば y x 1 2 x 2 2 displaystyle y x_ 1 2 x_ 2 2 は二変数関数である 一つの入力に複数の出力を返すような対応規則を 多価関数 multi valued function という 現代の厳密な関数の定義 写像 においては 一つの入力に対して出力は ただ一つ でなければならないため 多価関数は厳密な意味では関数ではない しかし 複素解析などの分野では歴史的な経緯や便利さから このような対応関係を 多価関数 と呼び 従来 一価 の関数を特に 一価関数 single valued function と呼んで区別することがある 常に n 個の出力を得る多価関数は n 価であるといい その n を多価関数の 価数 と呼ぶ 例えば正の実数にその平方根を与える操作は正と負の二つ値を持つので 二価関数とみなせる 多変数関数は独立変数がベクトルに値をとるものと解釈できるということを上に述べたが 逆に従属変数がベクトルの値を持つような写像も考えられ それを ベクトル値関数 という ベクトル値関数が与えられたとき 像のベクトルに対してその各成分をとり出す写像を合成することにより 通常の一価関数が複数得られる つまり 定義域を共有するいくつかの関数を一つのベクトルとしてまとめて扱ったものがベクトル値関数であるということができる 一つの例として 実数体 r displaystyle mathbb r で定義された二価の関数 f x 1 x 2 displaystyle f x pm sqrt 1 x 2 はベクトル値関数 f r r 2 x f x 1 x 2 1 x 2 displaystyle f colon mathbb r to mathbb r 2 x to f x sqrt 1 x 2 sqrt 1 x 2 として扱うことができる また 定義域の コピー を作って定義域を広げてやることで その拡張された定義域上の一価の関数 f a b r a b r displaystyle f colon a sqcup b to mathbb r quad a b mathbb r f x 1 x 2 x a 1 x 2 x b displaystyle f x begin cases sqrt 1 x 2 x in a sqrt 1 x 2 x in b end cases と見なすこともある 複素変数の対数関数 log は素朴には無限多価関数であるが これを log の リーマン面 上の一価関数と見なすなど 定義域を広げて一価にする手法は解析的な関数に対してしばしば用いられる 陽表式と陰伏式 編集 多変数方程式がいくつかの関数関係を定義することもある 例えば f x y 0 displaystyle f x y 0 のような式が与えられているとき x と y は独立に別々の値をとることはできない x に勝手な値を与えるならば y は x の値によってとりうる値の制約を受けるからである このことを以って 独立変数 x と従属変数 y が対応付けられると考えるとき 方程式 f x y 0 は x の関数 y を 陰 implicit に定めるといい y を x の 陰伏関数 または 陰関数 implicit function という これに対して y f x と表されるような関数関係を y は x の 陽関数 explicit function である あるいは y は x で 陽 explicit に表されているなどと言い表す 陰伏的な関数関係が f x y 0 によって与えられていて 陽な関数関係 y f x が適当な集合 d を定義域として f x f x 0 を満たすなら この陽関数 y f x は d 上で関係式 f x y 0 から陰伏的に得られるという 関数の概念を広くとらず 一価で連続である場合や一価正則な場合などに考察を限ることはしばしば行われることであるが そのような仮定のもとでは陰関数から陰伏的に得られる陽関数は一つとは限らず 一般に一つの陰関数は 定義域や値域でより分けることにより 複数の陽関数に分解される このとき 陰伏的に得られた個々の陽関数をもとの陰関数の 枝 という また 陰関数の複数の枝を総じて扱うならば 陰関数の概念から多価関数の概念を得ることになる 例えば 方程式 y 2 x 2 1 displaystyle y 2 x 2 1 が定める陰関数 y は全域で 2 つの一価連続な枝 f 1 x 1 x 2 displaystyle f_ 1 x sqrt 1 x 2 f 2 x 1 x 2 displaystyle f_ 2 x sqrt 1 x 2 をもつ二価関数である また 媒介変数 を導入して関係式を分解し 各変数を媒介変数の陽関数として表すことによって 陰関数を表すこともある 例えば 方程式 2 x 3 y 0 は 媒介変数 t を導入して x 3 t y 2 t displaystyle begin cases x 3t y 2t end cases と表すことができるが これによって y と x の陰伏的な関数関係が表されていると考えるのである 特殊化と一般化 編集 数列 編集 有限集合からの関数は実質的に数の組あるいは 数列 と呼ばれるものになる 適当な演算をいれてベクトルと見ることもできる それはつまり 集合の各元に序列を与えて 1 2 n と並べるとき k 1 2 n に対して x k x k を対応付ける関数 x を x 1 x 2 x n r n displaystyle x_ 1 x_ 2 ldots x_ n in mathbb r n のかたちに表すのである これは有限列であるが 無限列 s n n n r n displaystyle s_ n _ n in mathbb n in mathbb r mathbb n を考えれば それは各自然数 n に対して 数 s n を対応させる s n r n s n displaystyle s colon mathbb n to mathbb r n mapsto s_ n という関数を考えていることに他ならない もっと一般に数の 族 を考慮に入れれば 通常の実関数 f f x を x を添字に持つ実数の族 f x x r r r displaystyle f_ x _ x in mathbb r in mathbb r mathbb r と読みかえることができる 汎関数 編集 詳細は 汎函数 を参照 関数を変数に取る関数はとくに 汎関数 functional と呼ばれる 特にある集合上の関数の作る ベクトル空間 から係数体への 線型写像 を 線型汎函数 linear functional という 文脈によっては単に汎関数といえば線型汎関数を指すこともある たとえば積分 f f f x d x displaystyle f f int _ infty infty f x dx は可積分関数 f を変数と見なして様々に取り替えることによって汎関数 f を与える 積分は 線型性 を持つから f は線型汎関数である 有限個の変数の組を考えることも関数の一種であったから 汎関数 f f f f x displaystyle mathcal f f mathcal f f x はひとつまたは複数のパラメータで添字付けられる一般には無限個の変数をもつ関数の一種 f f x x r displaystyle mathcal f left f_ x _ x in mathbb r right と見なすことができる また 有限次元ベクトル空間は 基底 を固定することにより その 座標 で表される係数体の 加群の直和 と 同型写像 であるから そこからの汎関数は多変数関数 f x 1 x 2 x 3 x n displaystyle f x_ 1 x_ 2 x_ 3 ldots x_ n と同一視できる 関数に対して数を対応付けるという汎関数の概念は さらに関数に関数を対応付ける 作用素 の概念に一般化される 超関数 編集 詳細は 超関数 を参照 シュワルツの超関数 分布 英 distribution の理論は 汎関数の一種 コンパクトな台を持つ無限階微分可能関数の作る空間上の連続線型汎関数 として 超関数 を定義する 通常の局所可積分関数に測度を掛けて積分作用素として見ると この意味で超関数と見なされる この様な連続線型汎関数を用いた定式化の方向で distribution よりも大きいクラスとしては 超分布 ultradistribution が知られている 一方 佐藤超関数 英 hyperfunction は 層係数コホモロジー 等の代数的手法を用いて定義される この代数的手法の解析学への導入により 線型微分方程式系の代数化である d 加群の理論等 代数解析学と呼ばれる分野が開かれた 以上の超関数のクラスは局所化可能 言い換えれば層を成すという事が重要である 脚注 編集 脚注の使い方 注釈 編集 数学の多くの文脈では函数 function と写像 map は同じ意味で用いられる 1 例えば serge lang 2 などは function を 終域 が数の集合 すなわち 実数 体 r や 複素数 体 c などの 体 の部分集合 となる写像を指す場合に限り より一般の場合には mapping を用いている 但し 1958年の中学校学習指導要領では用語として 一次関数 一次函 かん 数 と併記しており 関数 のみになるのは1969年の中学校学習指導要領である ここでいう 初等的 は必ずしも日常会話的な意味で初等的とは限らない 初等的な数学において遭遇するほとんどの函数は初等函数だが 例えば高次多項式の根を含むなどして日常的な意味で初等的ではないような初等函数も存在する 例えば 単位円 の方程式 x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 は実数全体の成す集合上の二項関係を定める 1 x 1 ならば y として二つの値が可能で 一方は正他方は負である x 1 のときは二つの値はともに 0 になる それ以外では y は値を持たない このことから この方程式は 1 1 を定義域とするふたつの陰函数を定義し それらの値域はそれぞれ 0 および 0 である この例では方程式は y について解くことができて y 1 x 2 displaystyle y pm sqrt 1 x 2 と陽に書けるが より複雑な例ではこのようなことが不可能なものも出てくる 例えば方程式 y 5 x 1 0 displaystyle y 5 x 1 0 は y を 超冪根 と呼ばれる x の陰函数としてさだめる 定義域 値域ともに r 超冪根は四則演算と冪根をとる操作によって表すことができない 出典 編集 松坂 1968 p 28 a b が一般の集合である場合にも a から b への写像を a から b への 関数 中略 ということがある lang serge 1971 linear algebra 2nd ed addison wesley p 83 馮 立升 代微積拾級 の日本への伝播と影響について 数学史研究 第162号 日本数学史学会 1999年9月 15 28 doi 10 11501 3202759 issn 0386 9555 2022年11月2日閲覧 1 2 公田藏 近代日本における 函数の概念とそれに関連したことがらの受容と普及 数学史の研究 数理解析研究所講究録 第1787巻 京都大学数理解析研究所 2012年4月 265 279頁 crid 1050282810743929856 hdl 2433 172764 issn 1880 2818 1 2 片野 善一郎 数学用語の由来 明治図書出版 1988年 isbn 4 18 543002 7 1 2 3 4 片野 善一郎 数学用語と記号ものがたり 裳華房 2003年 isbn 4 7853 1533 4 譯語會記事 東京數學會社雑誌 第62号 數學會社假事務所 9頁 doi 10 11429 sugakukaisya1877 1884 62_8 譯語會記事 東京數學會社雑誌 第64号 數學會社假事務所 14頁 doi 10 11429 sugakukaisya1877 1884 64_14 菊池大麓 雜録 東京數學會社雑誌 第61号 數學會社假事務所 1頁 doi 10 11429 sugakukaisya1877 1883 61_1 菊池大麓 雜録 東京數學會社雑誌 第63号 數學會社假事務所 1頁 doi 10 11429 sugakukaisya1877 1884 63_1 この経緯については 島田茂 1981 学校数学での用語と記号 福原満州雄他 数学と日本語 共立出版 isbn 4 320 01315 8 pp 135 169 に詳しい 一松信 1999 当用漢字による書き替え 数学セミナー編集部編 数学の言葉づかい100 日本評論社 isbn 4 535 60613 7 p 5 1 2 小松勇作 関数 数学100の慣用語 数学セミナー1985 年9月増刊 数学セミナー編集部編 数学の言葉づかい100 日本評論社 isbn 4 535 60613 7 p 58 に再録 志賀浩二 数学が生まれる物語 第4週 座標とグラフ 岩波書店 70頁 1992年 美国 羅密士撰 代微積拾級 巻十 英国 偉烈亜力口訳 清 李善蘭筆述 1859年 1丁裏頁 東北大学附属図書館林文庫蔵 東北大学和算資料データベース で 代微積拾級 を検索することにより 画像ファイルを見ることができる 1 2 飯島徹穂編著 数の単語帖 共立出版 2003年 関数 より isbn 9...