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description=# 前記 本記事は[競技科学people Advent Calendar 2025](htt????/adventar.org/calendars/12222)のDay14です． 証明など，忙しすぎてかなり略しているため，追って追記していきます． # はじめに ども，Weskです．2日連続の記事ですね． 本記事にて，幾何を解く際に留意しておくと便利な格言を幾つかまとめようと思います． 余談なんですが，そもそも数学に格言ってあるんですかね．僕もいまいち全貌を把握していないんですが，中1の幾何の担当であった某先生によるとあるらしいです．凄いですね． #形式説明 閑話休題．ここからは，記事の形式について，簡単に補足して行きます． &&& 重要度：(黒星が多ければ多いほど頻出かつ有用性が高いです．なお僕調べ) 一口コメント：(簡単なコメントがここにくっついていることがあります) &&& &&&ex (問題名，押すとその問題に飛ぶことができます) (問題文．OMCや自作問題を除き，リンクのみ掲載している場合は省略) &&& &&&exc (問題名，押すとその問題に飛ぶことができます) (問題文．OMCや自作問題を除き，リンクのみ掲載している場合は省略) &&& ##その1 「中線は2倍に延長せよ」 &&& 重要度：★★★★☆ 一口コメント：こっそり隠れていることが多い構図です． &&& まずは例題を解いてみましょう． &&&ex [JJMO2023yo-12](htt????/www.imojp.org/archive/mo2023/jjmo/problems/jjmo21yqa.html) 省略(著作権に配慮し，リンクのみの掲載) &&& JJMOyoの高難易度幾何枠ですね，本番なら，よっぽど幾何に自信がない限り取り組まない人が多いに違いないです． $AM$をどのように求めるのか，その手法から逆算して考えてみましょう． 三平方の定理は刺さらなそうだし，めぼしい相似も見つからないし，うーん． スチュワートの定理を知っていれば多少見通しは良くなるのですが，まぁまぁマイナーなので……中線定理くらいかなぁとなります(なるんです). ここで格言「中線は2倍に延長せよ」． $PM$は$BC$の中線ですから，試しに$M$について$P$と対称な点$P $を取ってみます．こうすれば中線定理が刺さりそうですね．後は$AP $を求めれば終いです． 四角形$PBP’C$は平行四辺形なので，$∠DPE=∠CP’B$です． 四角形$ADPE$∽四角形$ACP B$が角度追跡などから容易にわかるので，$AP:AP =DE:CB$ですね，後は与えられている長さを代入すれば，答えを得られます． ……と，あっという間に解くことができてしまいました． この手法のいい所は，平行四辺形が必ず登場してくれる，という点． 平行四辺形は対辺の長さが等しいかつ平行となる，など中々嬉しい性質を持っているので，特に求値幾何で刺さりやすいテクニックです． JMOyoからも一問，例題を置いておきます． &&&exc [JMO2022yo-12](htt????/www.imojp.org/archive/mo2022/jmo2022/problems/jmo32yq.html) 省略(著作権に配慮し，リンクのみの掲載2) &&& ##その2「回転相似を忘れずに」 &&& 重要度：★★★☆☆ 一口コメント：回転相似，舐められすぎでは？？？(魂の叫び) &&& &&&ex [OMC086-E](htt????/onlinemathcontest.com/contests/omc086/tasks/2748) $∠A=∠B=∠C 90°$なる凸四角形$ABCD$において, 直線$AB$と直線$CD$の交点を$E$とします. $AD=20,DE=22$のとき,$AE$の長さを求めてください． &&& とりあえず図を書いてみましょう． ……うーん，補助点を取らないと解けなさそうですね． このように，同じ角度を上手いこと扱いたい……という時，たまに使えるかもしれません． 「回転相似を忘れずに」． $ED$が$EC$にくっつくように三角形$EDA$を相似拡大してみます． $A$の相似拡大先を$A $とすると，$B,C,A $は一直線上にあります． 以下，$EB=EC=k$，$BC$の中点を$M$と置きます． $∠BEC=∠A’EC$から，$EC:EA’=BC:CA’,BC=\dfrac 10 11 k$ですね． $\cos∠AED=\cos∠BEC=2(\cos∠MEC)^2-1=2(\dfrac \sqrt 96 11 )^2-1=\dfrac 71 121 $ですから，$△AED$で余弦定理を用いることで答えを得ます． ……この場合の格言は所謂， 図形をくっつける というものです． nmoonさんが記事を出しているので，深堀りしたい方は参照ください． [小学生でもわかる！初等幾何のテクニック/図形と図形を“くっつける”－nmoon](htt????/mathlog.info/articles/BJ8O9M4dI3BwLpiaAIW8) 問題もそちらに多数あります．僕からも三問載せておきます． &&&exc [OMC268B](htt????/onlinemathcontest.com/contests/omc268/tasks/16239) 三角形$ABC$について，$∠BAC$の二等分線と線分$BC$の交点を$D$とし，線分$AB,AC$上にそれぞれ点$E,F$を$∠ADE=∠ACB,∠ADF=∠ABC$となるように取ったところ，$BC=8,EF=5,AD=2\sqrt 6 $が成立しました． この時三角形$ABC$の面積を求めてください． &&& &&&exc [OMC065F](htt????/onlinemathcontest.com/contests/omc065/tasks/1916) 正方形$ABCD$において，対角線$BD$上の点$E,F$が$∠EAF=45°$をみたしており，$B,E,F,D$の順に並んでいます．三角形$AEF$の外接円と辺$AB,AD$の交点をそれぞれ$P,Q$としたとき，$PB=12,QD=5$が成立しました． この時$ABCD$の一辺の長さを求めてください． &&& &&&exc [OMCB034F](htt????/onlinemathcontest.com/contests/omcb034/tasks/7534) $Ω$を外接円に持つ三角形$ABC$は$∠BAC=120°$を満たしています．また円$γ$は$Ω$に$A$で内接し，さらに辺$BC$に接しています．$Ω$の半径が$121$,$γ$の半径が$21$である時三角形$ABC$の内接円の半径を求めてください． &&& ##その3「平行線に相似比を移せ」 &&& 重要度：★★★★★ 一口コメント：超基本テクニック． &&& &&&ex [JMO2019yo-4](htt????/www.imojp.org/archive/mo2019/jmo2019/problems/jmo29yq.html) 省略(著作権に配慮し，リンクのみの掲載3) &&& このままだと中々解きにくいので，どこかしらに補助点が欲しいです． どこに取りましょうか． 正五角形なので，$AF:FC$は既知の値です．これを踏まえて，次の格言． 「平行線に相似比を移せ」 $CD$と平行な直線で$A$を通るものを考えてみます． これと$GH$の交点$I$を取ると，三角形$AFI$と三角形$CFH$は相似で，その相似比は既知です． また$BF//CHかつBF=CH$より，三角形$AGI$と三角形$BGF$も相似です． よってあとは，三角形の相似比と既知の長さを用いれば答えを出せます． 実際，$BF=a,FE=b$とすると，$AI:CH=AF:FC=a:b,AI=\dfrac 5a b $となります． また，$AI:BF=AG:GB,AG=\dfrac 20 b $となります． $AG+GB=EF$より$\dfrac 20 b +4=b$，これを解いて$b=2+2\sqrt 6 $とわかるので，$AG=\dfrac 20 2+2\sqrt 6 =2\sqrt 6 -2$です． このテクニックは典型ですが，かなり強いので覚えておきましょう． 問題は置きません．問題のfirststepとして使っていけば覚えられると思います． ##その4「ゴリ押すべきは三角関数」 問題云々というよりかは公式を羅列したほうが早い気がするので，羅列します．証明を略している(或いは書いていない)ものは証明を試みてみてください.結構力がつくかと思います. ところで先輩の記事で，これに関するものがあったので，どうぞ． [三角関数で解く幾何―imabc](htt????/mathlog.info/articles/Lf8QaKPklfv156yuq309) &&&def ・三角形$ABC$について頂点$A,B,C$の対辺の長さを$a,b,c$で表し，角$BAC=A……$としています． ・面積を$S$，$\dfrac a+b+c 2 =s$．外接円，内接円，A-傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とします． ・内心，外心，A-傍心をそれぞれ$I,O,I_A$とします． ・$A,B,C$から対辺へ下ろした垂足を$D,E,F$としていることがあります． &&& ・$cos(\dfrac A 2 )=\sqrt \dfrac s(s-a) bc ,sin(\dfrac A 2 )=\sqrt \dfrac (s-b)(s-c) bc $ &&&prf 角の二等分線を引き余弦定理を用いることで示せる． &&& ・$S=2R^2sinAsinBsinC=\dfrac abc 4R $ &&&prf 後者のみ示す． 前者は後者に正弦定理を用いれば得られる． 正弦定理から$sinA=\dfrac a 2R $,$S=\dfrac bc\times sinA 2 $より，代入すれば示せた． &&& ・内接四角形$ABCD$で，$sinBAD:sinCAD=sinB\times BD:sinC\times CD$ &&&prf 工事中． &&& ・内接四角形$ABCD$で，$AB\times sinBAC+AD\times sinCAD=AC\times sin BAD$(Trigonometric Ptolemy) &&&prf 船旅を参照せよ． &&& ・点$A$と共線である点$B,C,D$で，$\dfrac sinBAC AD +\dfrac sinCAD AB =\dfrac sinBAD BD $(Trigonometric Colinearity) &&&prf 三角形の面積公式より容易に示せる． &&& ・$BC$上の点$P$，弧$BC$上の点$Q$で$∠CAQ=∠BAP$なら$AP\times AQ=bc$(Isogonal Lines Lemma) &&&prf $∠BAP=∠CAQ$より，$∠ABP=∠AQC=∠B$であるから，$△ABP∽△AQC⇒\dfrac b AP =\dfrac AQ c ⇒AP\times AQ=bc$. &&& ・$AI\times AI_ A =bc$(Isogonal Lines Lemmaの系) &&&prf 上とほぼ似た議論をすればよい． &&& ・A-medianの長さは$\sqrt \dfrac 2b^2+2c^2-a^2 4 $ &&&prf 中線定理を変形するだけである． &&& ・$A$から下ろした垂線の長さは$c\times sinB=\dfrac bc\times sinA a =\dfrac bc 2R $,垂線の足を$D$として，$BD=\dfrac a^2+c^2-b^2 2a $ &&&prf 前者から示す．求める値を$h$と置く． 正弦定理より，$\dfrac sinB h =\dfrac sin90° c ⇒h=c\times sinB$ また，三角形$ABC$の面積に着目して，$\dfrac ah 2 =\dfrac bc\times sinA 2 ⇒h=\dfrac bc\times sinA a $ また上について，正弦定理より$\dfrac a sinA =R$から，$h=\dfrac bc 2R $. 続いて後者． $\dfrac sin(90°-B) BD =\dfrac sinB c $より$BD=c\times cosB$ 余弦定理より$cosB=\dfrac a^2+c^2-b^2 2ac $ゆえ，$BD=\dfrac a^2+c^2-b^2 2a $. &&& ・$AH=2R\times cosA,HD=2R\times cosB\times cosC$ &&&prf 前者から示す． $HECD$は内接四角形より，$AH\times AD=AE\times AC$ $AD=b\times sinC,AE=c\times cosA$から，$AH=a\times cotA$ ゆえに正弦定理より，$AH=2R\times cosA$である． 続いて後者． $HECD$は内接四角形より，$∠BHD=∠C$である． 三角形$BHD$について正弦定理を用い，かつ$BH=b\times cotB$から，$HD=b\times cotB\times cosC$. よって正弦定理より，所望の式を得る． &&& ・$EF=a\times cosA$ &&&prf 簡単な角度追跡から$△ADE∽△ABC$より，$\dfrac DE a =\dfrac AE c =cos A⇒DE=a\times cosA$. &&& ・内角の二等分線の長さは，$\dfrac 2bc b+c \times cos(\dfrac A 2 )$，外角だと$\dfrac 2bc b-c \times sin(\dfrac A 2 )$ &&&prf スチュワートの定理より容易に示せる． &&& ・$AI=\dfrac bc\times cos(\dfrac A 2 ) s =\dfrac r sin(\dfrac A 2 ) =\dfrac s-a cos(\dfrac A 2 ) $ &&&prf 角の二等分線定理を変形することで1つ目は容易に示せる． 内接円と$AB$の接点$U$を取ると，$IU⊥BC$かつ$IU=r$であるので，$r$でまとめれば2つ目も示せる． ところで$AU=s-a$であったので，これを用いて変形すれば3つ目も示せる． &&& ・弧$BAC$の中点を$M $，弧$BC$の中点を$M$とすると$AM=\dfrac b+c 2bc\times cos(\dfrac A 2 ) ,AM =\dfrac b-c 2bc\times sin(\dfrac A 2 ) $ &&&prf Isogonal Lines Lemma より，$AU\times AM=bc$から$AM$は求められる． $AM $も同様に，外角の二等分線と$BC$の交点を取りIsogonal Lines Lemmaを用いれば求められる． &&& ・$MB=MC=MI=\dfrac a 2cos(\dfrac A 2 ) $ &&&prf 上の結果と，トリリウムの定理・トレミーの定理より示せる． &&& ・$AI_ A =\dfrac bc\times cos(\dfrac A 2 ) s-a =\dfrac r_ A sin(\dfrac A 2 ) =\dfrac s cos(\dfrac A 2 ) ,AI_ B =\dfrac r_ B cos(\dfrac A 2 ) $ &&&prf 内心時と似た議論をすればよい． &&& ・$r_ A =\dfrac S s-a $ &&&prf 船旅を参照せよ．相似拡大を考えれば終わりである． &&& ・$sin BIC=\dfrac BC II_A $ &&&prf 工事中． &&& ・任意の点$A,B,C,D$で$\dfrac \sin BAD \sin CAD =\dfrac \sin ABD \sin ACD \times \dfrac BD CD =\dfrac \sin ABD \sin ACD \times\dfrac \sin BCD \sin CBD $(Quadrilateral Ratio Formula) &&&prf 工事中． &&& ・$A$からの垂足を$D$,同様に$E,F$を定め，$AO$と$BC$の交点を$K$とすると，$DE:DF=KC:KB$ &&&prf 工事中． &&& もっと式はあるので，ぜひ自分で作ったり探したりしてみてください． 問題を二つほど置いておきます． &&&exc [OMC246D](htt????/onlinemathcontest.com/contests/omc246/tasks/12627) 三角形$ABC$の外心，内心をそれぞれ$O,I$とします．この時，$IO⊥AO,AB・AC=777,OI=11$が成り立ちました． $AO^2$を求めてください． &&& &&&exc [OMC258D](htt????/onlinemathcontest.com/contests/omc258/tasks/7619) $AB AC$なる鋭角三角形$ABC$において，$A$から辺$BC$に下ろした垂線の足を$D$とします．また線分$DC$上に点$E$を取り，$B$から線分$AE$に下ろした垂線の足を$F$とすると，直線$CF$は辺$AB$の中点を通りました． $BD=CE,DF=24,AF-EF=42$が成り立つ時，$\dfrac AB BC $を求めてください． &&& #さいごに まず，ちょっと消化不良ぎみになってしまい，ごめんなさい． 幾何が苦手だというそこの貴方．青diff程度なら，簡単な手法を覚えていれば解けるはずです．絶対に解けます．絶対に． 詰まったらぜひ，この記事の内容を思い出してもらえると嬉しいです． 誤植があれば，教えてください． ではまた，どこかで．;
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dfrac (69), times (38), sin (16), cos (12), abc (11), 三角形 (8), sqrt (8), sina (6), #格言を勉強しようの会 (5), とすると (5), とします (5), cosa (5), sinb (5), abcd (5), 工事中 (4), lines (4), 2bc (4), bac (4), 一口コメント (4), 重要度 (4), weskdohn (3), mathlog (3), において (3), の交点を (3), ai_ (3), isogonal (3), の中点を (3), cosb (3), 上の点 (3), sincad (3), 著作権に配慮し (3), 四角形 (3), 読み込み中 (2), 2025 (2), unknown (2), 取得中 (2), アクセス日 (2), fri (2), jan (2), 2026 (2), を求めてください (2), に下ろした垂線の足を (2), この時 (2), bad (2), abd (2), acd (2), 船旅を参照せよ (2), lemma (2), を取ると (2), ade (2), cotb (2), cosc (2), bhd (2), である (2), は内接四角形より (2), hecd (2), 続いて後者 (2), sinc (2), 前者から示す (2), 正弦定理より (2), abp (2), aqc (2), bap (2), caq (2), trigonometric (2), sinbac (2), sinbad (2), 内接四角形 (2), となります (2), と三角形 (2), 平行線に相似比を移せ (2), の半径が (2), 121 (2), が成立しました (2), について (2), aed (2), bec (2), ですね (2), 回転相似を忘れずに (2), うーん (2), 中線は2倍に延長せよ (2), 問題文 (2), omcや自作問題を除き (2), リンクのみ掲載している場合は省略 (2), 問題名 (2), 押すとその問題に飛ぶことができます (2), コメントはありません, 他の人のコメント, コメント, follow, followers, skg65, 数研チーフ, 競数界隈から暫く消えます, 3250, 投稿者, バッジはありません, この記事に送られたバッジ, 高評価したユーザはいません, この記事を高評価した人, 更新日, 投稿日, 参考文献, ではまた, どこかで, 誤植があれば, 教えてください, 詰まったらぜひ, この記事の内容を思い出してもらえると嬉しいです, 幾何が苦手だというそこの貴方, 青diff程度なら, 簡単な手法を覚えていれば解けるはずです, 絶対に解けます, 絶対に, ちょっと消化不良ぎみになってしまい, ごめんなさい, さいごに, が成り立つ時, の中点を通りました, から線分, を取り, 上に点, また線分, から辺, なる鋭角三角形, omc258d, が成り立ちました, 777, の外心, 内心をそれぞれ, omc246d, 問題を二つほど置いておきます, もっと式はあるので, ぜひ自分で作ったり探したりしてみてください, を定め, 同様に, からの垂足を, quadrilateral, ratio, formula, cad, bcd, cbd, 任意の点, bic, ii_a, 相似拡大を考えれば終わりである, 内心時と似た議論をすればよい, 上の結果と, トリリウムの定理, トレミーの定理より示せる, 2cos, の交点を取りisogonal, lemmaを用いれば求められる, も同様に, 外角の二等分線と, は求められる, であったので, これを用いて変形すれば3つ目も示せる, ところで, でまとめれば2つ目も示せる, であるので, の接点, 内接円と, 角の二等分線定理を変形することで1つ目は容易に示せる, スチュワートの定理より容易に示せる, 外角だと, 内角の二等分線の長さは, 簡単な角度追跡から, よって正弦定理より, 所望の式を得る, について正弦定理を用い, ゆえに正弦定理より, cota, 2ac, 余弦定理より, また上について, の面積に着目して, sin90, と置く, 求める値を, として, 垂線の足を, から下ろした垂線の長さは, 中線定理を変形するだけである, medianの長さは, 上とほぼ似た議論をすればよい, lemmaの系, であるから, 三角形の面積公式より容易に示せる, colinearity, と共線である点, ptolemy, 代入すれば示せた, 正弦定理から, 前者は後者に正弦定理を用いれば得られる, 後者のみ示す, 2sinasinbsinc, 角の二等分線を引き余弦定理を用いることで示せる, としていることがあります, から対辺へ下ろした垂足を, i_a, 傍心をそれぞれ, r_a, 外接円, 内接円, 傍接円の半径をそれぞれ, 面積を, としています, で表し, の対辺の長さを, について頂点, 三角関数で解く幾何, imabc, ところで先輩の記事で, これに関するものがあったので, どうぞ, 問題云々というよりかは公式を羅列したほうが早い気がするので, 羅列します, 証明を略している, 或いは書いていない, ものは証明を試みてみてください, 結構力がつくかと思います, その4, ゴリ押すべきは三角関数, 問題は置きません, 問題のfirststepとして使っていけば覚えられると思います, このテクニックは典型ですが, かなり強いので覚えておきましょう, とわかるので, これを解いて, よってあとは, 三角形の相似比と既知の長さを用いれば答えを出せます, も相似です, bgf, agi, chかつbf, は相似で, その相似比は既知です, cfh, afi, の交点, これと, を通るものを考えてみます, と平行な直線で, は既知の値です, これを踏まえて, 次の格言, 正五角形なので, どこに取りましょうか, このままだと中々解きにくいので, どこかしらに補助点が欲しいです, リンクのみの掲載3, jmo2019yo, 超基本テクニック, その3, の内接円の半径を求めてください, である時三角形, に接しています, で内接し, さらに辺, を満たしています, また円, 120, を外接円に持つ三角形, omcb034f, の一辺の長さを求めてください, としたとき, の交点をそれぞれ, の外接円と辺, aef, の順に並んでいます, をみたしており, eaf, 対角線, 正方形, omc065f, の面積を求めてください, この時三角形, となるように取ったところ, acb, adf, 上にそれぞれ点, の二等分線と線分, omc268b, 問題もそちらに多数あります, 僕からも三問載せておきます, 小学生でもわかる, 初等幾何のテクニック, 図形と図形を, くっつける, nmoon, nmoonさんが記事を出しているので, 深堀りしたい方は参照ください, この場合の格言は所謂, 図形をくっつける, というものです, で余弦定理を用いることで答えを得ます, ですから, mec, と置きます, は一直線上にあります, の相似拡大先を, を相似拡大してみます, eda, にくっつくように三角形, このように, 同じ角度を上手いこと扱いたい, という時, たまに使えるかもしれません, 補助点を取らないと解けなさそうですね, とりあえず図を書いてみましょう, の長さを求めてください, のとき, と直線, なる凸四角形, omc086, 回転相似, 舐められすぎでは, 魂の叫び, その2, リンクのみの掲載2, jmo2022yo, jmoyoからも一問, 例題を置いておきます, 平行四辺形は対辺の長さが等しいかつ平行となる, など中々嬉しい性質を持っているので, 特に求値幾何で刺さりやすいテクニックです, この手法のいい所は, 平行四辺形が必ず登場してくれる, という点, あっという間に解くことができてしまいました, 後は与えられている長さを代入すれば, 答えを得られます, が角度追跡などから容易にわかるので, acp, adpe, dpe, は平行四辺形なので, pbp, を求めれば終いです, を取ってみます, こうすれば中線定理が刺さりそうですね, と対称な点, の中線ですから, 試しに, ここで格言, スチュワートの定理を知っていれば多少見通しは良くなるのですが, まぁまぁマイナーなので, 中線定理くらいかなぁとなります, なるんです, 三平方の定理は刺さらなそうだし, めぼしい相似も見つからないし, をどのように求めるのか, その手法から逆算して考えてみましょう, jjmoyoの高難易度幾何枠ですね, 本番なら, よっぽど幾何に自信がない限り取り組まない人が多いに違いないです, リンクのみの掲載, jjmo2023yo, まずは例題を解いてみましょう, こっそり隠れていることが多い構図です, その1, 簡単なコメントがここにくっついていることがあります, 黒星が多ければ多いほど頻出かつ有用性が高いです, なお僕調べ, 閑話休題, ここからは, 記事の形式について, 簡単に補足して行きます, 形式説明, 余談なんですが, そもそも数学に格言ってあるんですかね, 僕もいまいち全貌を把握していないんですが, 中1の幾何の担当であった某先生によるとあるらしいです, 凄いですね, 本記事にて, 幾何を解く際に留意しておくと便利な格言を幾つかまとめようと思います, weskです, 2日連続の記事ですね, はじめに, 証明など, 忙しすぎてかなり略しているため, 追って追記していきます, のday14です, 競技科学people, advent, calendar, 本記事は, latexエクスポート, 674, omc, 文献あり, 競技数学, 新規作成,

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格言を勉強しようの会 mathlog 新規作成 格言を勉強しようの会 格言を勉強しようの会 10 weskdohn 競技数学 解説 文献あり 格言を勉強しようの会 omc 10 0 674 0 latexエクスポート 前記 本記事は 競技科学people advent calendar 2025 のday14です 証明など 忙しすぎてかなり略しているため 追って追記していきます はじめに ども weskです 2日連続の記事ですね 本記事にて 幾何を解く際に留意しておくと便利な格言を幾つかまとめようと思います 余談なんですが そもそも数学に格言ってあるんですかね 僕もいまいち全貌を把握していないんですが 中1の幾何の担当であった某先生によるとあるらしいです 凄いですね 形式説明 閑話休題 ここからは 記事の形式について 簡単に補足して行きます 重要度 黒星が多ければ多いほど頻出かつ有用性が高いです なお僕調べ 一口コメント 簡単なコメントがここにくっついていることがあります 問題名 押すとその問題に飛ぶことができます 問題文 omcや自作問題を除き リンクのみ掲載している場合は省略 問題名 押すとその問題に飛ぶことができます 問題文 omcや自作問題を除き リンクのみ掲載している場合は省略 その1 中線は2倍に延長せよ 重要度 一口コメント こっそり隠れていることが多い構図です まずは例題を解いてみましょう jjmo2023yo 12 省略 著作権に配慮し リンクのみの掲載 jjmoyoの高難易度幾何枠ですね 本番なら よっぽど幾何に自信がない限り取り組まない人が多いに違いないです am をどのように求めるのか その手法から逆算して考えてみましょう 三平方の定理は刺さらなそうだし めぼしい相似も見つからないし うーん スチュワートの定理を知っていれば多少見通しは良くなるのですが まぁまぁマイナーなので 中線定理くらいかなぁとなります なるんです ここで格言 中線は2倍に延長せよ pm は bc の中線ですから 試しに m について p と対称な点 p を取ってみます こうすれば中線定理が刺さりそうですね 後は ap を求めれば終いです 四角形 pbp c は平行四辺形なので dpe cp b です 四角形 adpe 四角形 acp b が角度追跡などから容易にわかるので ap ap de cb ですね 後は与えられている長さを代入すれば 答えを得られます と あっという間に解くことができてしまいました この手法のいい所は 平行四辺形が必ず登場してくれる という点 平行四辺形は対辺の長さが等しいかつ平行となる など中々嬉しい性質を持っているので 特に求値幾何で刺さりやすいテクニックです jmoyoからも一問 例題を置いておきます jmo2022yo 12 省略 著作権に配慮し リンクのみの掲載2 その2 回転相似を忘れずに 重要度 一口コメント 回転相似 舐められすぎでは 魂の叫び omc086 e a b c 90 なる凸四角形 abcd において 直線 ab と直線 cd の交点を e とします ad 20 de 22 のとき ae の長さを求めてください とりあえず図を書いてみましょう うーん 補助点を取らないと解けなさそうですね このように 同じ角度を上手いこと扱いたい という時 たまに使えるかもしれません 回転相似を忘れずに ed が ec にくっつくように三角形 eda を相似拡大してみます a の相似拡大先を a とすると b c a は一直線上にあります 以下 eb ec k bc の中点を m と置きます bec a ec から ec ea bc ca bc dfrac 10 11 k ですね cos aed cos bec 2 cos mec 2 1 2 dfrac sqrt 96 11 2 1 dfrac 71 121 ですから aed で余弦定理を用いることで答えを得ます この場合の格言は所謂 図形をくっつける というものです nmoonさんが記事を出しているので 深堀りしたい方は参照ください 小学生でもわかる 初等幾何のテクニック 図形と図形を くっつける nmoon 問題もそちらに多数あります 僕からも三問載せておきます omc268b 三角形 abc について bac の二等分線と線分 bc の交点を d とし 線分 ab ac 上にそれぞれ点 e f を ade acb adf abc となるように取ったところ bc 8 ef 5 ad 2 sqrt 6 が成立しました この時三角形 abc の面積を求めてください omc065f 正方形 abcd において 対角線 bd 上の点 e f が eaf 45 をみたしており b e f d の順に並んでいます 三角形 aef の外接円と辺 ab ad の交点をそれぞれ p q としたとき pb 12 qd 5 が成立しました この時 abcd の一辺の長さを求めてください omcb034f ω を外接円に持つ三角形 abc は bac 120 を満たしています また円 γ は ω に a で内接し さらに辺 bc に接しています ω の半径が 121 γ の半径が 21 である時三角形 abc の内接円の半径を求めてください その3 平行線に相似比を移せ 重要度 一口コメント 超基本テクニック jmo2019yo 4 省略 著作権に配慮し リンクのみの掲載3 このままだと中々解きにくいので どこかしらに補助点が欲しいです どこに取りましょうか 正五角形なので af fc は既知の値です これを踏まえて 次の格言 平行線に相似比を移せ cd と平行な直線で a を通るものを考えてみます これと gh の交点 i を取ると 三角形 afi と三角形 cfh は相似で その相似比は既知です また bf chかつbf ch より 三角形 agi と三角形 bgf も相似です よってあとは 三角形の相似比と既知の長さを用いれば答えを出せます 実際 bf a fe b とすると ai ch af fc a b ai dfrac 5a b となります また ai bf ag gb ag dfrac 20 b となります ag gb ef より dfrac 20 b 4 b これを解いて b 2 2 sqrt 6 とわかるので ag dfrac 20 2 2 sqrt 6 2 sqrt 6 2 です このテクニックは典型ですが かなり強いので覚えておきましょう 問題は置きません 問題のfirststepとして使っていけば覚えられると思います その4 ゴリ押すべきは三角関数 問題云々というよりかは公式を羅列したほうが早い気がするので 羅列します 証明を略している 或いは書いていない ものは証明を試みてみてください 結構力がつくかと思います ところで先輩の記事で これに関するものがあったので どうぞ 三角関数で解く幾何 imabc 三角形 abc について頂点 a b c の対辺の長さを a b c で表し 角 bac a としています 面積を s dfrac a b c 2 s 外接円 内接円 a 傍接円の半径をそれぞれ r r r_a とします 内心 外心 a 傍心をそれぞれ i o i_a とします a b c から対辺へ下ろした垂足を d e f としていることがあります cos dfrac a 2 sqrt dfrac s s a bc sin dfrac a 2 sqrt dfrac s b s c bc 角の二等分線を引き余弦定理を用いることで示せる s 2r 2sinasinbsinc dfrac abc 4r 後者のみ示す 前者は後者に正弦定理を用いれば得られる 正弦定理から sina dfrac a 2r s dfrac bc times sina 2 より 代入すれば示せた 内接四角形 abcd で sinbad sincad sinb times bd sinc times cd 工事中 内接四角形 abcd で ab times sinbac ad times sincad ac times sin bad trigonometric ptolemy 船旅を参照せよ 点 a と共線である点 b c d で dfrac sinbac ad dfrac sincad ab dfrac sinbad bd trigonometric colinearity 三角形の面積公式より容易に示せる bc 上の点 p 弧 bc 上の点 q で caq bap なら ap times aq bc isogonal lines lemma bap caq より abp aqc b であるから abp aqc dfrac b ap dfrac aq c ap times aq bc ai times ai_ a bc isogonal lines lemmaの系 上とほぼ似た議論をすればよい a medianの長さは sqrt dfrac 2b 2 2c 2 a 2 4 中線定理を変形するだけである a から下ろした垂線の長さは c times sinb dfrac bc times sina a dfrac bc 2r 垂線の足を d として bd dfrac a 2 c 2 b 2 2a 前者から示す 求める値を h と置く 正弦定理より dfrac sinb h dfrac sin90 c h c times sinb また 三角形 abc の面積に着目して dfrac ah 2 dfrac bc times sina 2 h dfrac bc times sina a また上について 正弦定理より dfrac a sina r から h dfrac bc 2r 続いて後者 dfrac sin 90 b bd dfrac sinb c より bd c times cosb 余弦定理より cosb dfrac a 2 c 2 b 2 2ac ゆえ bd dfrac a 2 c 2 b 2 2a ah 2r times cosa hd 2r times cosb times cosc 前者から示す hecd は内接四角形より ah times ad ae times ac ad b times sinc ae c times cosa から ah a times cota ゆえに正弦定理より ah 2r times cosa である 続いて後者 hecd は内接四角形より bhd c である 三角形 bhd について正弦定理を用い かつ bh b times cotb から hd b times cotb times cosc よって正弦定理より 所望の式を得る ef a times cosa 簡単な角度追跡から ade abc より dfrac de a dfrac ae c cos a de a times cosa 内角の二等分線の長さは dfrac 2bc b c times cos dfrac a 2 外角だと dfrac 2bc b c times sin dfrac a 2 スチュワートの定理より容易に示せる ai dfrac bc times cos dfrac a 2 s dfrac r sin dfrac a 2 dfrac s a cos dfrac a 2 角の二等分線定理を変形することで1つ目は容易に示せる 内接円と ab の接点 u を取ると iu bc かつ iu r であるので r でまとめれば2つ目も示せる ところで au s a であったので これを用いて変形すれば3つ目も示せる 弧 bac の中点を m 弧 bc の中点を m とすると am dfrac b c 2bc times cos dfrac a 2 am dfrac b c 2bc times sin dfrac a 2 isogonal lines lemma より au times am bc から am は求められる am も同様に 外角の二等分線と bc の交点を取りisogonal lines lemmaを用いれば求められる mb mc mi dfrac a 2cos dfrac a 2 上の結果と トリリウムの定理 トレミーの定理より示せる ai_ a dfrac bc times cos dfrac a 2 s a dfrac r_ a sin dfrac a 2 dfrac s cos dfrac a 2 ai_ b dfrac r_ b cos dfrac a 2 内心時と似た議論をすればよい r_ a dfrac s s a 船旅を参照せよ 相似拡大を考えれば終わりである sin bic dfrac bc ii_a 工事中 任意の点 a b c d で dfrac sin bad sin cad dfrac sin abd sin acd times dfrac bd cd dfrac sin abd sin acd times dfrac sin bcd sin cbd quadrilateral ratio formula 工事中 a からの垂足を d 同様に e f を定め ao と bc の交点を k とすると de df kc kb 工事中 もっと式はあるので ぜひ自分で作ったり探したりしてみてください 問題を二つほど置いておきます omc246d 三角形 abc の外心 内心をそれぞれ o i とします この時 io ao ab ac 777 oi 11 が成り立ちました ao 2 を求めてください omc258d ab ac なる鋭角三角形 abc において a から辺 bc に下ろした垂線の足を d とします また線分 dc 上に点 e を取り b から線分 ae に下ろした垂線の足を f とすると 直線 cf は辺 ab の中点を通りました bd ce df 24 af ef 42 が成り立つ時 dfrac ab bc を求めてください さいごに まず ちょっと消化不良ぎみになってしまい ごめんなさい 幾何が苦手だというそこの貴方 青diff程度なら 簡単な手法を覚えていれば解けるはずです 絶対に解けます 絶対に 詰まったらぜひ この記事の内容を思い出してもらえると嬉しいです 誤植があれば 教えてください ではまた どこかで 参考文献 1 unknown 取得中 mathlog アクセス日 fri jan 23 2026 2 unknown 取得中 mathlog アクセス日 fri jan 23 2026 投稿日 2025 年 12 月 14 日 更新日 1 月 23 日 この記事を高評価した人 高評価したユーザはいません この記事に送られたバッジ バッジはありません 投稿者 weskdohn 33 3250 skg65 数研チーフ 競数界隈から暫く消えます 23 followers 30 follow コメント 他の人のコメント コメントはありません 読み込み中 読み込み中 weskdohn 格言を勉強しようの会