Meta tags:
description=5 posts published by Dipak Dholakia during July 2017;

Headings (most frequently used words):

dipak, samachar, dholakia, spam, blocked, મહિનો, જુલાઇ, 2017, sceince, episode, 17, au, revoir, science, epiosde, 16, 45, years, of, simla, accord, mathematicians, 10, shrinivas, ramanujam, મેઇલ, દ્વારા, પોસ્ટનો, સંદેશ, મેળવો, તાજેતરના, લેખ, વિભાગ, પાનાંઓ, બ્લૉગના, મુલાકાતીઓ, શોધો, સંગ્રહ, તારીખીયું, bgbs03131, dholakiaa, લેખસંગ્રહ, blog, stats,

Text of the page (most frequently used words):
અને (166), હોય (64), હતા (48), માટે (45), એમને (44), એમણે (44), સંખ્યા (41), રામાનુજન (40), 2017 (37), પરંતુ (37), એટલે (35), નથી (34), જુલાઇ (29), ડિસેમ્બર (29), ઓક્ટોબર (28), નવેમ્બર (28), જાન્યુઆરી (28), બહુ (28), ઓગસ્ટ (27), કોઈ (27), હતી (27), આપણે (27), બન્ને (27), પછી (27), કરી (26), સપ્ટેમ્બર (26), સાથે (26), જૂન (25), 2016 (25), માર્ચ (24), એપ્રિલ (24), 2018 (24), 2019 (24), 2020 (24), 2021 (24), 2023 (24), 2024 (24), અહીં (24), હતો (23), 2012 (22), ફેબ્રુવારી (22), 2015 (22), નહીં (22), એમાં (22), કામ (22), કહે (20), પહેલાં (20), એમના (19), શું (19), બારી (18), 2013 (18), 2022 (18), આવી (18), રીતે (18), કરે (18), હવે (18), કરતાં (18), રામાનુજને (17), શકે (17), સુધી (17), છીએ (17), જવાબ (17), 2011 (16), dipak (16), ગણિત (16), વાર (16), તેમ (16), માત્ર (16), તરીકે (16), થાય (16), વાત (16), કર્યું (15), ગયા (15), કહ્યું (15), કેમ (15), મારી (14), 2014 (14), dholakia (14), ત્યારે (14), જાય (14), એમની (14), 2025 (13), એની (13), કારણ (13), હતું (12), લાગે (12), જેમ (12), એના (12), ત્રણ (12), શકાય (12), ત્યાં (12), આપી (11), હજી (11), સંખ્યાઓ (11), આવે (11), બીજી (11), સ્ટ્રિંગ (11), આજે (11), નવી (10), દ્વારા (10), કર્યો (10), કરીને (10), સમીકરણો (10), મળી (10), જોવા (10), આપણી (10), બની (10), શકો (10), વચ્ચે (10), પડી (10), વિશે (10), વધારે (10), થિઅરી (10), રહ્યા (10), હાર્ડીએ (10), નામ (9), પોતાની (9), પોતે (9), સરવાળો (9), લીધું (9), કાલ્પનિક (9), જુદા (9), વર્ગ (9), આગળ (9), ભાગ (9), નંબર (9), એટલું (9), વર્ષ (9), કારણે (9), ભારત (9), આવ્યા (9), સંદર્ભઃ (9), martyrs (8), indian (8), freedom (8), struggle (8), હાર્ડી (8), કરતા (8), મળ્યું (8), બાજુ (8), થયો (8), કરીએ (8), અથવા (8), થયું (8), એવું (8), સમજી (8), સંબંધ (8), એવી (8), છતાં (8), નહોતા (8), કંઈ (8), થયા (8), સમસ્યા (8), બધું (8), બીજા (8), ફોટો (8), સમજૂતી (8), ભારતે (8), ભુટ્ટો (8), સામાન્ય (7), તેમાં (7), એમનાં (7), પાછા (7), હતાં (7), દેખાય (7), સિદ્ધાંત (7), ઉપર (7), ઝીટા (7), સંકુલ (7), જોઈ (7), એનો (7), આપ્યો (7), મળે (7), એનું (7), આમાં (7), એને (7), ચાલે (7), કદાચ (7), રામાનુજનને (7), જોઈએ (7), હાર્ડીને (7), બધા (7), કરવાની (7), રામાનુજનના (7), ગયો (7), ગણિતમાં (7), છું (7), ટીબી (7), પ્રમેયો (7), પુસ્તક (7), આપે (7), બ્લૅક (7), શરૂ (6), કરો (6), like (6), uncategorized (6), સારું (6), ગયાં (6), અભ્યાસ (6), નહોતો (6), ગણિતશાસ્ત્રી (6), બહાર (6), મહાલનોબિસ (6), બધી (6), ફરી (6), ચિહ્ન (6), નું (6), હશે (6), ત્રીજી (6), સ્થિતિ (6), શ્રેણી (6), પડે (6), તમને (6), રામાનુજનનો (6), હું (6), ઉકેલ (6), પરિમાણ (6), પેદા (6), મોટા (6), વૈજ્ઞાનિકો (6), આના (6), પોતાના (6), સંમત (6), શિમલા (6), પ્રદેશ (6), વાતચીત (6), ખલેલ (6), com (5), ટિપ્પણી (5), પસંદ (5), શોધો (5), આવો (5), tags (5), categories (5), posted (5), author (5), loading (5), એમનું (5), દીધી (5), આવ્યો (5), સામે (5), આપ્યું (5), ગયું (5), કદી (5), નવા (5), રહી (5), લખી (5), લાગુ (5), વગેરે (5), કરવાનો (5), ફૉર્મ્યુલા (5), નીચે (5), જશે (5), વાસ્તવિક (5), જોતાં (5), ઉપયોગ (5), છેઃ (5), જાઓ (5), એવા (5), પૈસા (5), ફંક્શન (5), વિના (5), આનો (5), રિઈમન (5), ગણિતશાસ્ત્રીઓ (5), ખબર (5), સંશોધકોએ (5), નક્કી (5), પત્ર (5), એમનો (5), શોધતા (5), આખી (5), અલગ (5), તમે (5), બરાબર (5), મને (5), સૌથી (5), લંડનમાં (5), ઊભા (5), દરમિયાન (5), ઓછી (5), રહ્યો (5), ભોજનની (5), પાસે (5), મળ્યા (5), જીનિયસ (5), અંતે (5), પ્રોફેસર (5), જનરલ (5), પાકિસ્તાન (5), વડા (5), નિયંત્રણ (5), નેતાઓ (5), મારા (5), સૈનિકોને (5), ગાંધી (5), હોલ્સ (5), માદા (5), જરૂર (5), ચુંબકીય (5), ટિપ્પણીઓ (4), blocked (4), લિંક (4), spam (4), adventurous (4), subhashbabu (4), ક્ષેત્રમાં (4), પડ્યો (4), જેવી (4), જવાની (4), ઘરે (4), કરવા (4), આવ્યાં (4), ઘણી (4), લખવા (4), અનંત (4), અમે (4), નાની (4), એણે (4), જગ્યાએ (4), શક્યો (4), જાણતા (4), નાપાસ (4), તેવી (4), ખરું (4), દરેક (4), આને (4), દાખલા (4), માં (4), વર્ગમૂળ (4), નહોતું (4), અમુક (4), શકીએ (4), વિકાસ (4), જોઈને (4), તેના (4), જોયો (4), સમીકરણ (4), ગણિતની (4), દિશામાં (4), અર્થ (4), ઓછા (4), વખતે (4), જેવો (4), ક્વૉન્ટમ (4), આવું (4), બને (4), નિયમો (4), પરસ્પર (4), નવું (4), બળની (4), ફેરફાર (4), દૂર (4), પાનું (4), કૅમ્બ્રિજ (4), તરત (4), નહોતી (4), ભારતમાં (4), જેટલું (4), માગતા (4), કરવામાં (4), ઉપરાંત (4), ઘણું (4), સારો (4), જેવું (4), ફૉર્મ્યુલાઓ (4), રૂમમાં (4), નોકરી (4), કોણી (4), સંબંધો (4), simla (4), webgurjari (4), જમ્મુ (4), પ્રધાન (4), પક્ષો (4), પાકિસ્તાનના (4), કરાર (4), પેટા (4), એકબીજાની (4), શ્રીમતી (4), બંધ (4), science (4), samachar (4), વેબગુર્જરી (4), માદાઓ (4), વીજળી (4), અવાજ (4), this (3), wordpress (3), other (3), blog (3), મહિનો (3), લેખ (3), mathematicians (3), shrinivas (3), ramanujam (3), આવા (3), ગણિતના (3), જાણે (3), જાનકી (3), લંડન (3), આવતાં (3), સમય (3), થોડી (3), મૃત્યુ (3), રહેતા (3), એવાં (3), રામાનુજનનાં (3), સપનામાં (3), એમાંથી (3), લીધાં (3), માનતા (3), દેખાડી (3), જોતા (3), ગુણાકાર (3), કરવાથી (3), વાતો (3), રામાનુજનની (3), થતી (3), જેથી (3), આંકડો (3), અતિ (3), થશે (3), શક્યતા (3), જોયું (3), complex (3), વીડિયો (3), શરૂઆતમાં (3), જુદાં (3), પ્રભાવ (3), અડધું (3), હોઈ (3), પ્રકારની (3), જેમાં (3), કુદરતી (3), દુનિયામાં (3), વ્યવસ્થા (3), સંખ્યાને (3), આવ્યું (3), તેટલી (3), જઈએ (3), સંખ્યાની (3), મૂળ (3), મળશે (3), જેવાં (3), નજર (3), શક્યા (3), જાણવા (3), ભૂખ (3), સાદી (3), ભાષામાં (3), તેની (3), સંશોધન (3), બિંદુ (3), જતાં (3), ઓછામાં (3), પ્રયત્ન (3), થિટા (3), કેટલાંક (3), નકલ (3), થિઅરીમાં (3), પૂરી (3), બધાં (3), બીજાં (3), આમાંથી (3), નાના (3), વસ્તુ (3), જાણીએ (3), સ્પેસટાઇમ (3), વિરાટ (3), કંઈક (3), ગતિ (3), કહી (3), ગુરુત્વાકર્ષણ (3), ઉદાહરણ (3), ચાલતો (3), તરફ (3), પહેલા (3), ગણિતનો (3), છેક (3), મળ્યો (3), સંખ્યાના (3), લાંબી (3), વત્તા (3), ramanujan (3), દીધો (3), સાથી (3), યુનિવર્સિટીના (3), મનમાં (3), ૧૭૨૯ (3), ૧૯૧૩માં (3), બેઠા (3), લશ્કરી (3), પહેલી (3), દીધું (3), ખાસ (3), પૂછ્યું (3), બધો (3), છોડી (3), છેવટે (3), કર્યાં (3), સ્વીકારી (3), જ્યાં (3), રૉયલ (3), ચંદ્રશેખર (3), મોકલવા (3), ઘરમાં (3), પ્રખ્યાત (3), માણસ (3), સ્કૉલરશિપ (3), છોડવા (3), દબાણ (3), જુઓ (3), કેટલીક (3), પાછાં (3), મોકલી (3), મહા (3), કાગળો (3), મદદ (3), અય્યર (3), લાગ્યું (3), આપવા (3), રાવ (3), ચાલુ (3), વાપર્યા (3), વાંચવા (3), કાર (3), ૦૦૦ (3), પિતા (3), સૂર્ય (3), હોત (3), accord (3), ઉલ્લંઘન (3), કાશ્મીર (3), ભુટ્ટોના (3), પાકિસ્તાનમાં (3), અસર (3), મુખ્ય (3), બનાવી (3), માની (3), રાજદ્વારી (3), સ્થાપવા (3), મુદ્દો (3), પાકિસ્તાની (3), અંદર (3), પ્રમાણે (3), અમને (3), સભ્ય (3), માનવીય (3), પાછો (3), અધિકારીઓ (3), આવતા (3), સમાચાર (3), પરિક્રમા (3), નરો (3), ઇંસ્ટીટ્યૂટ (3), સાયન્સ (3), ગરમી (3), વૈજ્ઞાનિકોની (3), આયનો (3), બ્રહ્માંડમાં (3), revoir (3), અભિપ્રાય (3), રહે (3), સુગંધ (3), આવતી (3), site (2), required (2), લખો (2), રહ્યું (2), view (2), content (2), subscribed (2), સબ્સ્ક્રાઇબ (2), join (2), 180 (2), subscribers (2), 110 (2), 316 (2), લેખસંગ્રહ (2), વિંડોમાં (2), ખુલે (2), akismet (2), 855 (2), dholakiaa (2), બ્લૉગના (2), subjects (2), india (2), and (2), for (2), history (2), email (2), address (2), ક્રાન્તિકારી (2), પ્રતિભા (2), ઊજળું (2), પત્ની (2), પાર (2), રાખવાની (2), જ્ઞાન (2), છોકરો (2), બીમાર (2), હાલત (2), બીજે (2), છોકરાને (2), તબીયત (2), માંડ્યો (2), વિચારતા (2), અખતરા (2), પરિણામો (2), લોહી (2), તેને (2), કહેતા (2), હાથ (2), યાદ (2), સવારે (2), દેવી (2), શોધવામાં (2), દૃશ્ય (2), ચાલતા (2), ધાર્મિક (2), સંખ્યાઓની (2), સૂચવે (2), અનિશ્ચિત (2), કુલ (2), મર્યાદિત (2), રહેશે (2), મોટો (2), રિઇમને (2), number (2), ફૉર્મ્યુલામાં (2), જમણા (2), છેડે (2), દેખાડ્યો (2), વ્યાવહારિક (2), દેખાતી (2), સંખ્યામાં (2), સંખ્યાઓનો (2), અધિતર્ક (2), વ્યવહારમાં (2), લોકો (2), ઉચ્ચ (2), તીવ્રતા (2), જોડી (2), થયાં (2), બાળક (2), પાસ (2), લઈએ (2), ખરેખર (2), વ્યવસ્થામાં (2), દુનિયાની (2), સંખ્યાનો (2), થતાં (2), દુનિયાનું (2), જમાનામાં (2), આપવામાં (2), વપરાય (2), ધારો (2), સંખ્યાથી (2), વર્ગની (2), સંખ્યાનાં (2), વળી (2), ગુણો (2), સંખ્યાઓને (2), પાડી (2), થોડા (2), અર્ધો (2), આપણો (2), દરરોજ (2), આપણાં (2), સ્વાભાવિક (2), મહત્ત્વનું (2), ગણિતશાસ્ત્રીઓને (2), શોખ (2), નામના (2), આની (2), ભૌતિકશાસ્ત્ર (2), જાણી (2), શકાયું (2), તમારી (2), એવો (2), વહેમ (2), શક્ય (2), પ્રયાસ (2), કરનારા (2), સમજવાની (2), પહેલું (2), ભરી (2), સૃષ્ટિ (2), આપણને (2), સમતોલ (2), સમજાવવા (2), તાલીમ (2), કરું (2), મેં (2), પ્રભાવિત (2), ફંકશન (2), પરિમાણો (2), નીકળી (2), દેખાડ્યું (2), પાંચ (2), લખતા (2), કામનો (2), ઉદ્દેશ (2), આવાં (2), મોકલ્યાં (2), ફેર્માના (2), જોવાની (2), રીત (2), એકીકરણનો (2), ખરાં (2), દુનિયા (2), કણની (2), કલ્પનાને (2), લંબાઈ (2), નાનામાં (2), સ્તરે (2), તાર (2), સંગીત (2), જન્મી (2), જટિલ (2), જૂઓ (2), રિલેટિવિટી (2), પિંડને (2), સૂક્ષ્મ (2), પિંડોને (2), સિદ્ધાંતો (2), જૂએ (2), મૅકેનિક્સ (2), સ્પેસ (2), વધી (2), કણો (2), વીસમી (2), સદીના (2), મહાન (2), આઇન્સ્ટાઇને (2), ભારે (2), વાંકો (2), અનુભવીએ (2), ઊંચે (2), જ્યારે (2), ખાડો (2), નજીક (2), પડતાં (2), પદાર્થ (2), થયેલા (2), મૂળભૂત (2), બનેલી (2), આધુનિક (2), માને (2), ગણિતશાસ્ત્રીઓની (2), લાગતાં (2), અબ્દુસ્સલામ (2), ન્યૂટને (2), પાસાં (2), ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક (2), ઇલેક્ટ્રોવીક (2), લાગશે (2), રામાનુજનમાં (2), ધ્યાનમાં (2), આપણા (2), લૅબમાં (2), મર્યાદા (2), વધે (2), વખતથી (2), લાગ્યા (2), સરવાળા (2), પરિણામે (2), તેનાથી (2), જેટલા (2), જવાબો (2), તેવા (2), ગાણિતિક (2), કોઈને (2), આવશે (2), ત્રિકોણની (2), ચતુર્ઘાત (2), એટલી (2), પરથી (2), કૅન (2), ઑનો (2), વર્ષથી (2), પોતાને (2), આશ્ચર્ય (2), ખુલાસો (2), બનાવ્યા (2), મળતા (2), વર્ણવ્યો (2), મહાલનોબિસે (2), સવાલ (2), નંબરો (2), લખાવી (2), શોધી (2), અટક્યા (2), ઓળખાય (2), પ્રસંગ (2), સેનેટોરિયમમાં (2), મળવા (2), તેનો (2), ગોળીની (2), કિંમત (2), રૂપિયાના (2), આજના (2), લીધી (2), પ્રોગ્રેશન (2), જાગ્યું (2), આવવા (2), ફેબ્રુઆરી (2), તકલીફ (2), નામે (2), બન્યા (2), અંતિમ (2), રોજ (2), ઇંગ્લૅંડમાં (2), લખે (2), લંડનના (2), વર્ષના (2), તારણો (2), આપ્યાં (2), તેમાંથી (2), સાચાં (2), ગણિતને (2), જતા (2), સોસાઇટીના (2), થવાની (2), સ્વીકાર્યું (2), એકમાં (2), મહેનત (2), cambridge (2), university (2), ફોટા (2), દીધા (2), માતાએ (2), મદ્રાસ (2), રૂપિયાની (2), મદ્રાસમાં (2), સ્ટીફન (2), ધ્યાનથી (2), સ્તરના (2), કૉલેજ (2), પરિચિત (2), કર્યા (2), આભાર (2), લેખક (2), નમૂના (2), પાનાં (2), નામથી (2), થયેલી (2), પોતાનાં (2), બન્નેએ (2), અનુગામી (2), મોકલનાર (2), જોવાનું (2), હાથમાં (2), લેવા (2), તૈયાર (2), પોર્ટ (2), માસિક (2), નામની (2), એમનાથી (2), લગ્ન (2), ઘરની (2), જવાબદારી (2), ડેપ્યુટી (2), મોકલ્યા (2), રામચંદ્ર (2), રાખે (2), ૧૯૦૩માં (2), કરવી (2), પુસ્તકમાં (2), એલિપ્ટિકલ (2), ફંક્શન્સ (2), વિષયો (2), ઘણા (2), શબ્દો (2), સારી (2), મળેલી (2), દિવસમાં (2), ખાવાનું (2), કાળી (2), લખું (2), દેખાડે (2), મિત્રો (2), વર્ષની (2), લગભગ (2), જન્મ (2), કાં (2), પ્રક્રિયા (2), શ્રીનિવાસ (2), લખવાનું (2), પૂરતો (2), સીધો (2), years (2), maari (2), baari (2), ઝિયાએ (2), કાશ્મીરની (2), સંગઠનો (2), રાજકીય (2), વણલિખિત (2), સમજૂતીની (2), પરવા (2), એટલો (2), વચન (2), સદર (2), રાષ્ટ્રપતિ (2), સરકાર (2), કાશ્મીરના (2), સંતોષ (2), લેવાનું (2), રેખાનું (2), સમસ્યાનો (2), સ્વીકાર (2), કરવો (2), ઉકેલવા (2), કાનૂની (2), સરકારો (2), બન્નેને (2), કાયમી (2), શાંતિ (2), અગત્યનો (2), સૈન્યો (2), મતભેદો (2), ગણાય (2), ધમકી (2), મુદ્દા (2), દરેકમાં (2), લાવવા (2), હમણાં (2), ફેલાવો (2), બેનઝીર (2), સેક્રેટરી (2), ઊષા (2), ઊભાં (2), હક્સર (2), સાહેબ (2), લડકા (2), જગ્યા (2), માટેના (2), હજાર (2), વખત (2), પ્રદેશની (2), ભુટ્ટોએ (2), સૈનિકો (2), જરૂરી (2), ઇંદિરા (2), ઝુલ્ફિકાર (2), અલી (2), ભોજન (2), સમારંભ (2), જવા (2), બાકી (2), ટેબલ (2), epiosde (2), પ્રકાશવર્ષ (2), ગોકળગાય (2), નાખ્યાં (2), જૂથના (2), ફળની (2), શુક્રાણુને (2), સફળતા (2), ત્રણગણી (2), નરોને (2), ઍન્ડ (2), સ્માર્ટ (2), વિંડો (2), ઠંડીનું (2), જાતની (2), કિરણો (2), કરતી (2), રવીન્દ્રકુમાર (2), પ્લાઝ્મા (2), રીસર્ચ (2), સંભાળી (2), સરખામણી (2), સક્રિય (2), tifr (2), વૈજ્ઞાનિકોએ (2), લેખો (2), અંગત (2), થવા (2), sceince (2), episode (2), અખતરો (2), મીટર (2), ડ્રાઇવ (2), ઉડ્ડયન (2), ડ્રોન (2), ઘ્રાણ (2), પ્રયોગ (2), જાડા (2), નિયંત્રિત (2), mdr (2), બાળકોને (2), જાપાનના (2), કરવત (2), ધાર (2), પાંખની (2), design, with, વેબસાઇટ, ઇમેઇલ, લોડ, collapse, bar, સબ્સ્ક્રિપ્શન્સ, મેનેજ, reader, report, લોગ, સાઇન, ગોપનીયતા, already, have, account, log, now, sign, hits, stats, full, profile, bgbs03131, રવિ, શનિ, ગુરુ, બુધ, મંગળ, સોમ, તારીખીયું, સંગ્રહ, ક્લિક્સ, મુલાકાતીઓ, about, પાનાંઓ, 469, slavery, 139, વિભાગ, quit, gandhiji, oceanic, circle, 1942, તાજેતરના, enter, your, below, મેઇલ, પોસ્ટનો, સંદેશ, મેળવો, ચુસ્ત, પરંપરાવાદી, નિરાડંબરી, રોજરોજ, પાકે, કુદરતે, સર્જન, થકી, ભારતનું, બીમારીનો, ખ્યાલ, સ્નેહથી, બોલતા, પત્નીને, સાવધ, ૩૫ની, ઉંમર, પત્નીએ, હિંમત, જ્યોતિષનું, ઘણાં, સગાં, સંબંધી, મૂરત, કઢાવવા, પાડોશમાં, મરવા, સલાહ, સ્થળ, કાળના, સંયોગનો, દોષ, માબાપ, સુધરવા, લાગી, છોકરાની, માબાપે, નમતું, વારમાં, બાળકનું, તર્કબદ્ધ, વિચારે, કલ્પનાશીલ, સતત, રચ્યાપચ્યા, અદ્, ભુત, પહોંચતા, વડીલો, નૃસિંહ, ભગવાનનાં, ઉપાસક, ટપકતું, નૃસિંહની, કૃપા, માનતાં, લોહીનો, પ્રવાહ, વહેતો, ગણિતનાં, રામનુજનને, ઍલિપ્ટિકલ, જેનો, નામગિરિ, આવીને, નાખે, શૂન્યને, નિર્ગુણ, બ્રહ્મ, સરખાવતા, infinity, અપાર, શક્યતાઓ, theory, reality, શૂન્ય, અનંતનો, સાંત, અંતયુક્ત, જગતને, પાડતા, લાંબે, સમજાતી, માન્યતાઓ, જોશો, ગોઠવણીનો, તર્ક, સમજાશે, nની, કિંમતો, મૂકતા, સિગ્માની, મૂકેલા, મૂલ્ય, દેખાડવા, માગે, અનંતનું, મૂકેલું, સિગ્માના, જવાનું, સુધીનાં, પદોનો, કિમતો, ક્રમશઃ, લાલ, અક્ષરમાં, finite, વિધા, કરનાર, તપાસી, સંખ્યાનું, મિશ્રણ, xને, ડાબે, દેખાતું, ઝીટાનું, xનાં, મૂલ્યો, સામી, મૂકવાનું, સિગ્માનું, ગ્રીક, અક્ષરો, સિગ્મા, જગતમાં, વિજ્ઞાનમાં, ભલે, તમારે, ક્વૉન્ટિટી, શોધવાની, પહોંચવામાં, hypothesis, સાબીત, અસરકારક, પુરવાર, વિશેની, ક્યાં, વીજચુંબકીય, વીજતરંગની, ચુંબકશક્તિની, માપવાની, સ્કૂલમાં, બાળકો, આલેખ, બતાવવાથી, સમજવું, સરળ, આલેખમાં, બતાવી, દર્શાવી, અસ્તિત્વ, કહેવાતી, ઋણનું, ઋણનો, ભણ્યા, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ, 1ને, વર્ગમૂળનો, અધિકાર, જાણતું, imaginary, આથી, 1નો, જેટલી, ગુણી, ભાગી, ઉલટે, રસ્તે, ઘનમૂળ, વડે, નવો, 144, વધતા, નિઃશેષ, ભાગવી, પ્રાઇમ, મિશ્ર, compound, numbers, જેના, વધીએ, પોણો, અપૂર્ણાંકો, સવા, દોઢ, પૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંકનાં, મિશ્રણો, અનુભવ, બજારમાં, ખિસ્સાંમાંથી, બાદ, દુકાનદારના, ગલ્લામાં, ઉમેરીએ, થિઅરીનું, ઓજાર, રમાડવાનો, તેમને, ચાલતું, બર્નહાર્ટ, ૧૮૬૬, જર્મન, ગણિતશાસ્ત્રીએ, મદદથી, પહોંચી, પાછળ, ફંકશનનો, અલગથી, આપેલી, ફૉર્મ્યૂલાઓ, રિઇમન, રહેલું, રાખશો, સમજાવ્યું, ચાખવા, પૂરતું, ખૂલે, અડધુંપડધું, સમજ્યો, વિનંતિ, હદે, સમજવાનો, અદ્ભુત, ગણિતશાસ્ત્રીને, અંજલિ, સમાન, ગણાશે, બનાવ્યું, અટકળ, વીડિયોમાં, પદાવલીની, મૂકીને, તાળો, મેળવવામાં, સાવ, તુક્કો, ચર્ચામાં, ટક્યો, વિદ્વાનોને, રિઈમનનું, દેખાયું, સંખ્યાઓનું, સ્વરૂપ, સમજીએ, પગલું, ગળે, ઊતરે, આસપાસની, સમજાય, divergent, વધતી, આબેલ, ગૅલ્વામાં, સમીકરણની, થવી, ટૉપોલોજીમાં, પરિમાણમાં, આવેલાં, જગતના, પરિમાણોને, અનુસરતું, હોવું, થવું, મહિનાની, લેવી, ટ્યૂબ, દિશા, ખોલી, નિષ્કર્ષ, મૉક, થિટાની, જાણ, માંડ, સાત, મૃત્યુથી, મહિના, લખ્યો, બોસોન, સુપરસ્ટ્રિંગ, 1729, આપતી, કોયડાના, માનીને, બ્રહ્માંડ, ત્રિ, પરિમાણી, ખરી, આંબી, cernમાં, વિકસી, દાવો, સૃષ્ટિમાં, સિવાયનાં, દબાઈ, દુનિયાનાં, પ્રગટ, બદલાઈ, કલ્પના, કલ્પીએ, સ્ટ્રીંગ, નકારી, કાઢીને, વાળ, દુનિયાને, કેવી, સિતારનો, રણઝણે, ધ્વનિ, ખ્યાલમાંથી, અનેક, આંદોલિત, આનું, અત્યારે, વચ્ચેની, વિસ્તરે, સંકોચાય, ગુરુત્વબળને, જોડવું, કુદરતમાં, અનિયમિતપણે, વિચાર, ભૌતિકવિજ્ઞાનના, પાયે, પડતા, વિરોધી, સાચા, હોવા, જોડવા, વિચારવું, અગાધ, અંતર, નાનું, નિયમ, પડતો, ઘટનાઓ, આગાહી, સ્પેસમાં, બનવાની, પરમાણુની, અંદરના, આકાશી, પિંડો, વર્તતા, હિઝેનબર્ગે, અનિશ્ચિતતાનો, બેમાંથી, સ્પષ્ટતાથી, રિલેટિવિટીને, જોડવાની, ટાઇમ, સ્પેસ્ટાઇમ, રૂપે, દેખાડ્યાં, દળદાર, પિંડ, સ્પેસટાઇમને, વાળી, જવાને, સમજવા, સર્કસમાં, ઝૂલા, ખેલ, જાળ, બાંધી, કલાબાજ, કૂદે, જાળમાં, ખાડાની, ખાડામાં, સ્પેસટાઇમમાં, નજીકનો, ખેંચાઈ, પાર્ટીકલ, ઍક્સીલરેટરમાં, પ્રયોગો, સૃષ્ટિના, નિર્માણમાં, વપરાયેલી, ઈંટો, આટલે, એકીકરણ, વધવા, માગીએ, cern, matter, યુગોથી, માનીએ, નિશ્ચિત, તત્ત્વોની, જીનિવામાં, થિઅરીઃ, ઇચ્છા, શબ્દોમાં, સૂત્રમાં, સમજાવી, બળોને, ન્યૂટનથી, માંડીને, આઇન્સ્ટાઇન, બધાએ, હાજરી, સ્કૉટલૅંડના, ગણિતજ્ઞ, જેમ્સ, મૅક્સવેલે, ઇલેક્ટ્રોસ્ટૅટિક્સ, ચુંબકત્વ, વીજચુંબકત્વ, electromagnetism, નાં, 1984માં, સ્ટીવન, વેઇનબર્ગે, વીક, ન્યૂક્લિઅર, electroweak, બળનાં, રહ્યાં, પ્રોટોનને, ઝકડી, રાખનારું, સ્ટ્રોંગ, નવાઈ, થિઅરીનો, ૧૯૬૦ના, દાયકામાં, અવસાનને, દાયકાનો, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ, થિઅરીના, અંકુર, સાદામાં, કોશિશ, બ્રહ્માંડને, સમજવાના, પ્રયાસો, સૈદ્ધાંતિક, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, સીધા, પરીક્ષણ, સૄષ્ટિની, રચનાનાં, અનુમાનો, સમજાવે, ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને, સમક્ષના, નડે, તેઓ, કૅલ્ક્યુલસ, વિકસાવ્યું, ગુરુત્વાકર્ષણના, ઘડ્યા, સાપેક્ષતાનો, વિકસાવ્યો, સાડાત્રણસો, ૧૯૯૦માં, પાનાનાં, નીચેનાં, જણાશે, ઘાતવાળી, સરવાળાને, ઘનઘાતવાળી, નૈસર્ગિક, કોયડા, લાચાર, વાંચશું, ભેદ, ખુલશે, જઈને, અટકેલા, ભવિષ્યના, ભૌતિકશાસ્ત્રીય, વાંચો, pierre, fermat, પાયથાગોરસનું, પ્રમેય, બાજુઓમાંથી, બાકીની, બાજુઓના, વર્ગોનો, બાજુના, જેટલો, 3નો, 4નો, 5ના, 5નો, 12નો, 1૩નો, પંચઘાત, ઘાત, પદો, વગેરેનો, ઘાતની, ૧૬૩૭માં, પિયરે, ફેર્મા, સાભાર, https, plus, maths, org, યુનિવર્સિટીની, wren, libraryમાં, પેપરો, તપાસતા, ખૂણામાં, 1729નો, જોયેલાં, એનાં, ૧૦નો, ૧૨નો, કોઈક, જુદું, ત્રીસેક, વિશેનો, એક્સ્પર્ટ, માનું, andrew, granville, ઍન્ડ્ર્યૂ, ગ્રૅનવિલ, ken, ono, ૧૭૨૯ના, આંકડા, ગણિતજ્ઞો, ૨૦૧૫માં, એમોરી, ઊગ્યો, ઓચિંતો, આઝાદી, જવાહરલાલ, નહેરુએ, આયોજન, પંચની, રચના, સુપ્રસિદ્ધ, આંકડાશાસ્ત્રી, મહાલનોબિસને, ઉપાધ્યક્ષ, મિત્રતા, બંધાઈ, ભાગે, પ્રભુત્વનો, કિસ્સો, રૂમ, છાપું, વાંચતા, નાસ્તો, બનાવતા, છાપામાં, ઉખાણું, જોતર્યા, બ્રિટિશ, ઑફિસરો, પેરિસમાં, હોટેલમાં, રૂમો, રૂમના, રામનુજને, સાંભળીને, કડાઈમાં, તવેથો, હલાવતાં, સંબંધોવાળી, ક્ષણનાયે, વિલંબ, જાણનારા, શકશે, continued, fractionનું, ટૅક્સીકૅબ, ટૅક્સી, ઉપચાર, મગજ, લાગેલું, રહેતું, જાણીતો, પુનરાવર્તન, ટૅક્સીમાં, નીરસ, હસ્યા, મઝેદાર, સંખ્યાઓના, સપનું, ગલીમાં, ફેરિયો, પીપરમિંટની, ગોળીઓ, વેચતો, ૧૬મા, જૂનો, રૂપિયો, સાડાબાર, આટલો, ભાવ, ફેરિયાએ, ખરીદી, દિવસથી, ઍરિથમૅટિકલ, જ્યૉમીટ્રિકલ, હાર્મૉનિક, પ્રોગ્રેશનના, વિચારો, વાતમાંથી, અંદરનું, માંદગીથી, કંટાળ્યા, વિશ્વયુદ્ધના, દિવસો, ૨૭મી, ૧૯૧૯ના, લંડનથી, રવાના, વાતાવરણ, ખાવાની, લથડી, ખૂંપેલા, series, મોડેથી, નોટબુક, અચાનક, સંકલન, lost, notebookને, સંશોધનો, વિસ્તાર, ગ્રંથ, જીવનનો, કષ્ટમય, પીડા, ભોગવી, ૨૬મી, ઍપ્રિલ, ૧૯૨૦ના, અવધૂત, જીવ, અવસાન, શાકાહારી, આબોહવા, ફાવી, સારાં, વીત્યાં, દેખાડતા, કેટલીયે, રહેવું, પડ્યું, રહેવાસ, પેપર, પ્રકાશિત, જેમાંથી, હાર્ડીની, લખ્યાં, પેપરોનું, સંપાદન, રહીને, સઘન, પ્રૂફ, આપવાની, રીતો, ઘણાંખરાં, પડ્યાં, ખોટાં, નીકળ્યાં, વરેલા, ફૉર્મ્યુલાઓને, ખોટા, પડ્યા, ભૂલ, મળતાં, ખુશ, ગણિતજ્ઞોના, વર્તુળમાં, એટલા, આદરપાત્ર, ૨૮મી, ૧૯૧૮ના, ફેલો, બનાવવામાં, રજુ, કર્તાધર્તાઓએ, દરખાસ્તમાં, કોઈનું, સોસાઇટીએ, તેવું, બન્યું, નીલ્સ, બોહરને, બહુમાન, નવાં, ડઝન, બીમારી, ગાઉન, પહેરીને, ridiculous, અરસાના, ફોટામાં, ૧૯૩૭માં, મદ્રાસી, ભારતથી, ખૂબ, દેવીનું, તદ્દન, સાદા, રહેતાં, પાસપોર્ટ, કરેલા, ફોટાથી, ઓળખીએ, સુવાંગ, લેખની, twelve, lectures, suggested, his, life, work, press, 1940, ઇંગ્લૅંડ, તૈયારીઓ, પાઘડી, ધોતિયું, ચંપલ, કોટ, પાટલૂન, બન્યાં, પાઘડીની, હૅટ, દુઃખદ, ચોટલી, કપાવવી, ૧૯૧૪માં, પહોંચ્યા, અભિભૂત, આમંત્રણ, પ્રયત્નો, સમુદ્ર, વટલાઈ, બીજું, મહિનાથી, યુનિવર્સિટી, તરફથી, માન્યતા, રિચર્ડ, લિટલહેલ્સ, બીજાઓ, રજા, કૅમ્બ્રિજમાં, વૉલફ્રૅમ, હકીકતો, છૂટીછવાઈ, ભાગરૂપ, ચિત્રના, પ્રકારનો, કયા, કરનારો, સાચી, અનુભવી, નવાઈની, જતું, અલૌકિક, આશ્ચર્યજનક, કશુંક, કૅલ્ક્યુલસનાં, અવધારણાઓથી, કૅલ્ક્યુલસમાં, ક્યાંથી, વાહિયાત, શકશો, ૧૧મું, હસ્તાક્ષરમાં, વૉલ્ફ્રૅમ, સંચાલક, મૂક્યાં, ઉદ્દેશથી, વર્ધનના, ઉપયોગમાં, અનુમતિથી, syndics, library, http, stephenwolfram, who, was, કૅમ્બ્રિજના, કેઇલી, લેક્ચરર, કેઇલીના, ચેર, બેકર, ઍનાલિસ્ટ, ડબ્લ્યૂ, હૉબ્સન, કશી, દીધાં, બેકરના, મોકલાવ્યાં, પાનાંનો, ઉપરટપકે, નાખતાં, જણાયું, શોધાઈ, હિંદુસ્તાની, નકામી, ખોટી, લિટલવૂડ, ગાંડો, ચકાસી, ચેસ, અઢી, કલાકે, પ્રતીતિ, દિશાઓની, ચાવી, પત્રનું, ખોવાઈ, મહિને, રૂપિયા, કોઈનો, અહેસાન, ૧૯૧૨માં, ટ્રસ્ટમાં, ક્લાર્ક, પગારે, સંયોગવશાત્, ટ્રસ્ટના, ચેરમૅન, ફ્રાન્સિસ, સ્પ્રિંગ, કુશળ, ઇજનેર, મૅનેજર, વધ્યા, લીધો, આગ્રહ, ૧૯૦૯માં, કન્યા, પરણ્યા, ઇંડિયન, મૅથેમૅટિકલ, સોસાઇટી, સ્થાપક, કલેક્ટર, વિનંતી, અય્યરે, જોયાં, આશ્ચર્યમાં, ગરકાવ, જૂના, શિક્ષક, કુંભકોણમ, કૉલેજના, અધ્યાપક, શેષુ, રાવે, શ્રીમંત, પૈસેટકે, સુખી, જવાબદા, મૅટ્રિકની, પરીક્ષા, ફર્સ્ટ, ક્લાસ, મેળવ્યો, લીન, વાર્ષિક, પરીક્ષામાં, અંગ્રેજી, ફિઝિયોલૉજીમાં, વરસ, બગડ્યું, ચાર, પાચિયપ્પા, કૉલેજમાં, દાખલ, સિવાય, બધામાં, ફૉર્મ્યુલાઓની, ચકાસણી, પગથિયાંમાં, પૂર્ણ, બીજાઓએ, લોનીના, મુખ્યત્વે, ભૂમિતિ, કેલ્ક્યુલસ, variables, કશું, શીખવાનું, ઠીક, પરિચયમાં, કરેલાં, સંશોધનોએ, ગણિતશાસ્ત્રને, તબક્કામાં, પહોંચાડી, ભાષ્યકારો, કહેવાનો, હેતુ, પ્રચલિત, આર્થિક, હોવાથી, ઢગલાબંધ, બગાડવાનું, પોસાય, સ્લેટ, ગણતરી, નોટબુકમાં, લેતા, દિવસે, બનાવીને, ચલાવતા, કીર્તિ, ફેલાઈ, મિત્ર, ઓળખે, દેખાડીને, બનવામાં, સ્લેટમાં, લખેલું, ભુંસાડવા, ટીખળના, ગંભીર, મૂજી, માસ્તર, જીનિયસની, ઉંંમરે, છોકરા, પાસેથી, સિડની, લક્સ્ટન, લોની, sidney, luxton, loney, ૧૮૬૦, ૧૯૩૯, ત્રિકોણમિતિ, વિશેનું, તમિળનાડુમાં, લોનીનાં, પુસ્તકો, લોકપ્રિય, ઉંમરે

Text of the page (random words):
િશે એક જાણીતો પ્રસંગ છે પરંતુ એક ખાસ કારણે એનું પુનરાવર્તન કરું છું હાર્ડીએ જ આ પ્રસંગ વર્ણવ્યો છે હાર્ડી એક વાર એમને સેનેટોરિયમમાં મળવા ગયા એમણે રામાનુજનને કહ્યું કે હું જે ટૅક્સીમાં આવ્યો તેનો નંબર ૧૭૨૯ હતો આ બહુ નીરસ સંખ્યા છે રામાનુજન હસ્યા અને કહ્યું કે આ તો બહુ મઝેદાર સંખ્યા છે આ એક જ નાનામાં નાની સંખ્યા છે કે જે બે ઘન સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે બે રીતે દેખાડી શકાય છેઃ ૧૭૨૯ આજે હાર્ડી રામાનુજન નંબર અથવા ટૅક્સીકૅબ નંબર તરીકે ઓળખાય છે કારણ કે આ નંબર હાર્ડીએ ટૅક્સી પર જોયો હતો મહાલનોબિસ અને રામાનુજન ભારતમાં આઝાદી પછી જવાહરલાલ નહેરુએ આયોજન પંચની રચના કરી ત્યારે સુપ્રસિદ્ધ આંકડાશાસ્ત્રી પી સી મહાલનોબિસને સૌથી પહેલા ઉપાધ્યક્ષ બનાવ્યા ૧૯૧૩માં મહાલનોબિસ પણ લંડનમાં હતા અને રામાનુજન સાથે એમની મિત્રતા બંધાઈ હતી બન્ને રહેતા જુદા પણ મોટા ભાગે સાથે જ જોવા મળતા એમણે પણ સંખ્યા પર રામાનુજનના પ્રભુત્વનો એક કિસ્સો વર્ણવ્યો છે એક વાર બન્ને રામાનુજનના રૂમ પર બેઠા હતા મહાલનોબિસ છાપું વાંચતા હતા અને રામાનુજન નાસ્તો બનાવતા હતા મહાલનોબિસે છાપામાં એક ઉખાણું હતું તે જોયું એમને એનો જવાબ તો તરત મળી ગયો પણ એમણે રામાનુજનને પણ જોતર્યા સવાલ એ હતો કે બે બ્રિટિશ લશ્કરી ઑફિસરો પેરિસમાં એક હોટેલમાં રહ્યા એમના રૂમો અલગ હતા પણ રૂમના નંબરો વચ્ચે એક સંબંધ હતો તો એ નંબરો શું હશે રામનુજને આ સાંભળીને જે કડાઈમાં તવેથો હલાવતાં જ કહ્યું જવાબ લખો મહાલનોબિસ જવાબ લખવા લાગ્યા પહેલી સંખ્યા રામાનુજને લખાવી તે તો મહાલનોબિસે શોધી જ હતી પણ રામાનુજન ત્યાં સુધી અટક્યા નહીં અને આખી શ્રેણી લખાવી જો આવા સંબંધોવાળી સંખ્યાની આખી શ્રેણી હોય તો એમાં કઈ સંખ્યાઓ હોય તે એમણે ઊભા ઊભા જ ક્ષણનાયે વિલંબ વિના કહી દીધું ઉચ્ચ ગણિત જાણનારા સમજી શકશે કે આ continued fractionનું ઉદાહરણ હતું ૧૭૨૯ ની સંખ્યાનો ખુલાસો રામાનુજનના મનમાં ઓચિંતો જ ઊગ્યો આપણે આશ્ચર્ય અનુભવીએ કે રામાનુજનને હાર્ડીએ ૧૭૨૯ના આંકડા વિશે કહ્યું કે તરત એમણે કેમ જવાબ આપી દીધો રામાનુજન પર સંશોધન કરનારા ગણિતજ્ઞો પણ એમ જ માનતા હતા પરંતુ ૨૦૧૫માં એમોરી યુનિવર્સિટીના ગણિતશાસ્ત્રી કૅન ઑનો ken ono અને એમના સાથી ઍન્ડ્ર્યૂ ગ્રૅનવિલ andrew granville કૅમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટીની wren libraryમાં રામાનુજનનાં પેપરો તપાસતા હતા એમાં એમને એક પાનું મળ્યું જે અહીં આપ્યું છે એમાં છેક નીચે જમણા ખૂણામાં જૂઓ ત્યાં 1729નો આંકડો તો નથી પણ આપણે ઉપર જોયેલાં એનાં બે સમીકરણો છે જ ૯ નો ઘન ૧૦નો ઘન બરાબર ૧૨નો ઘન વત્તા ૧ નો ઘન એટલે કે ૧ આનો અર્થ એ કે રામાનુજન કોઈક જુદું સંશોધન કરતા જ હતા તેમાં આ સંખ્યા આવી ગઈ હતી એટલે એમણે હાર્ડીને તરત જ જવાબ આપી દીધો કૅન ઑનો કહે છે કે હું ત્રીસેક વર્ષથી પોતાને રામાનુજન વિશેનો એક્સ્પર્ટ માનું છું પણ મને આની ખબર નહોતી પાનું https plus maths org content ramanujan પરથી સાભાર તો રામાનુજન શું કરતા હતા પાયથાગોરસનું પ્રમેય છે કે ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓમાંથી એક લાંબી હોય તો બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો એ ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો થાય છે ધારો કે એક બાજુ 3 સે મી બીજી 4 સે મી અને ત્રીજી બાજુ 5 સે મી હોય તો 3નો વર્ગ વત્તા 4નો વર્ગ કરીએ તો એ 5ના વર્ગની બરાબર થાય એ જ રીતે ત્રિકોણની એક બાજુ 5 સે મી બીજી 12 સે મી અને ત્રીજી 13 સે મી હોય તો 5નો વર્ગ વત્તા 12નો વર્ગ બરાબર 1૩નો વર્ગ થાય આ તો વર્ગ થયો પણ ઘન હોય કે ચતુર્ઘાત કે પંચઘાત અથવા અનિશ્ચિત ઘાત n હોય તો આવાં પદો મળે કે કોઈ પણ બે સંખ્યાના ઘન ચતુર્ઘાત વગેરેનો સરવાળો કોઈ એટલી જ ઘાતની ત્રીજી સંખ્યાની બરાબર થાય ઈ સ ૧૬૩૭માં પિયરે દ ફેર્મા pierre de fermat એ કહ્યું કે આવી સંખ્યા નથી એ વખતથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ એવી સંખ્યા શોધવામાં લાગ્યા અને સાડાત્રણસો વર્ષ પછી એનો જવાબ છેક ૧૯૯૦માં મળ્યો છે પરંતુ આ જ પાનાનાં છેક નીચેનાં ત્રણ સમીકરણો જોતાં જણાશે કે એ પણ ઘન ઘાતવાળી સંખ્યાના સરવાળા જેવાં છે કદાચ રામાનુજન આનો જવાબ શોધતા હતા અને આવી બે ઘન સંખ્યાના સરવાળાને પરિણામે ઘનઘાતવાળી સંખ્યા આવે તેનાથી માત્ર ૧ અથવા ૧ જેટલા દૂર રહ્યા હતા તો શું રામાનુજનની નૈસર્ગિક પ્રતિભા ફેર્માના કોયડા સામે લાચાર બની ગઈ આગળ વાંચશું તો ભેદ ખુલશે ઉપર ૧ કે ૧ સુધી જઈને અટકેલા જવાબો એટલું જ કહે છે કે રામાનુજન પોતે પણ નહોતા જાણતા તેવા ભવિષ્યના ગાણિતિક અને ભૌતિકશાસ્ત્રીય નિયમો લખતા હતા કદાચ એ જાણતા પણ નહીં હોય કે એ કોઈને કામ આવશે કઈ રીતે આગળ વાંચો સ્ટ્રિંગ થિઅરી અને રામાનુજન નવાઈ લાગશે કારણ કે સ્ટ્રિંગ થિઅરીનો વિકાસ ૧૯૬૦ના દાયકામાં થયો એ વખતે રામાનુજનના અવસાનને ત્રણ દાયકાનો સમય થઈ ગયો હતો આમ છતાં હવે ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માને છે કે સ્ટ્રિંગ થિઅરીના પહેલા અંકુર રામાનુજનમાં દેખાય છે આપણે સ્ટ્રિંગ થિઅરી શું છે તે સાદામાં સાદી ભાષામાં સમજવાની કોશિશ કરીએ તે પહેલાં આપણે એક વાત ધ્યાનમાં રાખવાની છે કે આપણા બ્રહ્માંડને સમજવાના જુદા જુદા પ્રયાસો થયા છે આ બધું સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આવે છે એટલે કે એમાં લૅબમાં સીધા પરીક્ષણ વિના વૈજ્ઞાનિકો ગણિતનો ઉપયોગ કરીને સૄષ્ટિની રચનાનાં અનુમાનો સમજાવે છે ઘણી વાર ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને એમની સમક્ષના ગણિતની મર્યાદા નડે છે ત્યારે તેઓ ગણિતમાં ફેરફાર કરે છે અને આગળ વધે છે ન્યૂટને આના માટે કૅલ્ક્યુલસ વિકસાવ્યું ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમો ઘડ્યા આઇન્સ્ટાઇને સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો પરંતુ આ બધું છે ગણિત સ્ટ્રિંગ થિઅરી પણ ગણિત જ છે સ્ટ્રિંગ થિઅરીઃ વૈજ્ઞાનિકો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓની એક જ ઇચ્છા રહી છે કે બધું ઓછામાં ઓછા શબ્દોમાં કે એક જ સૂત્રમાં સમજાવી શકાય આના માટે જુદાં લાગતાં બળોને એક કરવાની દિશામાં એમણે કામ કર્યું એટલે કે ન્યૂટનથી માંડીને આઇન્સ્ટાઇન અને તે પછી અબ્દુસ્સલામ સુધી બધાએ એ જ દિશામાં કામ કર્યું ન્યૂટને ગુરુત્વાકર્ષણ બળની હાજરી દેખાડી સ્કૉટલૅંડના ગણિતજ્ઞ જેમ્સ મૅક્સવેલે દેખાડ્યું કે ઇલેક્ટ્રોસ્ટૅટિક્સ અને ચુંબકત્વ અલગ નથી પણ વીજચુંબકત્વ electromagnetism નાં બે પાસાં છે 1984માં અબ્દુસ્સલામ અને સ્ટીવન વેઇનબર્ગે કહ્યું કે ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક બળ અને વીક ન્યૂક્લિઅર બળ બન્ને ઇલેક્ટ્રોવીક electroweak બળનાં જ બે પાસાં છે હવે ત્રણ બળ રહ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણ ઇલેક્ટ્રોવીક અને પ્રોટોનને ઝકડી રાખનારું સ્ટ્રોંગ બળ આ થઈ બળની વાત પણ પદાર્થ matter નું શું આપણે યુગોથી માનીએ છીએ કે આખી સૃષ્ટિ નિશ્ચિત સંખ્યાનાં તત્ત્વોની બનેલી છે આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્ર પણ એમ જ માને છે અને હવે જીનિવામાં cern પાર્ટીકલ ઍક્સીલરેટરમાં થયેલા પ્રયોગો પછી એવું નક્કી થયું છે કે સૃષ્ટિના નિર્માણમાં વપરાયેલી ઈંટો માત્ર ૧૨ પ્રકારની છે એ મૂળભૂત કણો છે આટલે સુધી તો એકીકરણ થઈ ગયું છે પણ આપણે હજી વધારે આગળ વધવા માગીએ છીએ પહેલાં વીસમી સદીના બે મહાન સિદ્ધાંતો ક્વૉન્ટમ મૅકેનિક્સ અને રિલેટિવિટીને જોડવાની વાત થઈ આઇન્સ્ટાઇને સ્પેસ અને ટાઇમ ને એક સ્પેસ્ટાઇમ ના ભાગ રૂપે દેખાડ્યાં અને કહ્યું કે ભારે દળદાર પિંડ હોય તે સ્પેસટાઇમને વાંકો વાળી દે છે આપણે જે ગુરુત્વાકર્ષણ અનુભવીએ છીએ તે સ્પેસટાઇમ વાંકો થઈ જવાને કારણે છે સાદી ભાષામાં સમજવા માટે ઉદાહરણ લઈએ તો સર્કસમાં ઊંચે ઝૂલા પર ખેલ ચાલતો હોય ત્યારે નીચે જાળ બાંધી હોય છે કોઈ કલાબાજ જ્યારે નીચે કૂદે ત્યારે એ જગ્યાએ જાળમાં ખાડો પડી જાય છે હવે એ ખાડાની નજીક કોઈ વસ્તુ હોય તો એ ખાડામાં પડી જાય છે એવું જ છે મોટા પિંડને કારણે સ્પેસટાઇમમાં ખાડો પડતાં નજીકનો પદાર્થ એના તરફ ખેંચાઈ જાય છે રિલેટિવિટી અગાધ અંતર અને બહુ મોટા પિંડોને જૂએ છે પણ ક્વૉન્ટમ મૅકેનિક્સ કહે છે કે જેમ સ્પેસ નાનું કરતા જાઓ તેમ કોઈ નિયમ લાગુ નથી પડતો ઘટનાઓ આગાહી ન કરી શકાય એ રીતે બને છે જેમ નાના સ્પેસમાં જાઓ તેમ આવું બનવાની શક્યતા વધી જાય છે એટલે પરમાણુની અંદરના કણો કંઈ આકાશી પિંડો જેમ નથી વર્તતા હિઝેનબર્ગે તો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત આપ્યો કે તમે કણની સ્થિતિ અને ગતિ બેમાંથી એક જ વાત સ્પષ્ટતાથી કહી શકો હવે બે સિદ્ધાંત વચ્ચેની સમસ્યા જૂઓ રિલેટિવિટી કહે છે કે સ્પેસટાઇમ પિંડને કારણે વિસ્તરે કે સંકોચાય છે ક્વૉન્ટમ કહે છે કે સ્પેસટાઇમ બહુ સૂક્ષ્મ હોય તો આવું બને પણ ખરું ન પણ બને ક્વૉન્ટમ સાથે ગુરુત્વબળને કેમ જોડવું કુદરતમાં બધું અનિયમિતપણે થાય છે એ વિચાર જ ક્રાન્તિકારી છે ભૌતિકવિજ્ઞાનના જે નિયમો વિરાટ પિંડોને લાગુ પડે છે તે નાના પાયે લાગુ નથી પડતા આમ બન્ને પરસ્પર વિરોધી સિદ્ધાંતો સાચા હોવા છતાં એમને જોડવા હોય તો કંઈક નવું વિચારવું પડે આમાંથી સ્ટ્રિંગ થિઅરી આવી આપણે કણની કલ્પના કરીએ તો એને એક બિંદુ જેવો કલ્પીએ છીએ સ્ટ્રીંગ થિઅરી આ કલ્પનાને નકારી કાઢીને કહે છે કે કણ વાળ જેવો હોય તો તો એની લંબાઈ હોય એ એક પરિમાણ છે એટલે નાનામાં નાના સ્તરે આપણે દુનિયાને જોઈએ તો એ કેવી દેખાય તે આ પરિમાણ નક્કી કરે છે આ સ્ટ્રિંગ એટલે સિતારનો તાર એ રણઝણે અને સંગીત પેદા થાય બધા તાર જુદા જુદા ધ્વનિ પેદા કરે આ ખ્યાલમાંથી સ્ટ્રિંગ થિઅરી જન્મી છે કણ અને બળ અલગ વસ્તુ નથી એ અનેક રીતે આંદોલિત થયા કરે છે આનું ગણિત બહુ જટિલ છે આપણે એટલું જ જાણીએ કે અત્યારે એની લંબાઈ છે જે cernમાં પણ જોઈ શકાય એમ નથી આ થિઅરી હજી પૂરી વિકસી નથી પરંતુ એનો દાવો છે કે એ જ એકીકરણનો સિદ્ધાંત છે આ સિદ્ધાંત કહે છે કે સૃષ્ટિમાં ત્રણ પરિમાણ નથી દસ પરિમાણ છે ત્રણ સિવાયનાં બધાં પરિમાણ દબાઈ ગયાં છે પરંતુ એ છે ખરાં આમ આપણે માત્ર ત્રણ પરિમાણ જોઈ શકીએ છીએ દુનિયાનાં બીજાં પરિમાણો પ્રગટ થાય તો આખી દુનિયા જોવાની આપણી રીત પણ બદલાઈ જાય આ કામ તો ગણિત કરી શકે રામાનુજને એ દિશા ખોલી એમણે થિટા ફંકશન પર કામ કર્યું આમાં એક કરતાં વધારે પરિમાણો હોય તો શું નિષ્કર્ષ નીકળી શકે તે સમજી શકાય છે રામાનુજને દેખાડ્યું કે કેટલાંક પરિણામો થિટા ફંકશન જેવાં લાગે છે પણ છે નહીં એમને એમણે મૉક થિટા નામ આપ્યું એટલે કે થિટાની નકલ આ સમીકરણો સ્ટ્રિંગ થિઅરીમાં કામ આવે છે પણ એની જાણ માંડ પાંચ સાત વર્ષ પહેલાં થઈ રામાનુજન પોતે તો કંઈ લખતા નહોતા કે એમના કામનો ઉદ્દેશ શો હતો પરંતુ મૃત્યુથી એક મહિના પહેલાં એમણે હાર્ડીને પત્ર લખ્યો અને તેમાં આવાં ૧૭ સમીકરણો મોકલ્યાં આજે આ સમીકરણો બોસોન સ્ટ્રિંગ થિઅરી સુપરસ્ટ્રિંગ થિઅરી અને m થિઅરીમાં વપરાય છે એટલે 1729 વિશે જવાબ આપતી વખતે રામાનુજન માત્ર એ સંખ્યા વિશે જ નહીં આગળ વિચારતા હતા અને તે પણ ફેર્માના કોયડાના ઉકેલ સુધી પણ એમનો પ્રયત્ન મર્યાદિત નહોતો ખરેખર તો એ એમ માનીને ચાલતા હતા કે બ્રહ્માંડ ત્રિ પરિમાણી ન હોય તો એને જોવાની બીજી કોઈ રીત હોય ખરી રામાનુજન એકીકરણનો સિદ્ધાંત શોધતા હતા પણ મૃત્યુ એમને આંબી ગયું 1 2 3 4 n 1 12 રામાનુજનનો આ જવાબ આપણે ગળે તો ઊતરે તેમ નથી કારણ કે એ આપણી જેમ માત્ર આપણી આસપાસની સૃષ્ટિ નહોતા જોતા આપણને સમજાય તેવી વાત એ જ છે કે આ શ્રેણી divergent શ્રેણી છે એનો અર્થ એ કે સરવાળો કરતા જાઓ તેમ એ સંખ્યા વધતી જ રહેશે આપણે આ પહેલાં આબેલ અને ગૅલ્વામાં પણ જોયું છે કે સમીકરણની બન્ને બાજુ કોઈ એક બિંદુ પર સમતોલ થવી જોઈએ ટૉપોલોજીમાં પણ જુદા જુદા પરિમાણમાં આવેલાં બિંદુ એક થઈ જતાં હોય છે સમીકરણ પણ વાસ્તવિક જગતના પરિમાણોને અનુસરતું હોવું જોઈએ એટલે એણે સમતોલ થવું જ જોઈએ આ સમીકરણ સમજાવવા માટે ઓછામાં ઓછા છ મહિનાની તાલીમ લેવી પડે એમ છે એટલે હું એ પ્રયત્ન પણ અહીં નહીં કરું મેં આનો પ્રભાવિત કરે એવો ઉકેલ યુ ટ્યૂબ પર i જોયો છે અડધુંપડધું સમજ્યો એવો વહેમ પણ પડ્યો આવો વહેમ તમને પડે છે કે નહીં તે લિંક પર જઈ વીડિયો જોઈને નક્કી કરવા વિનંતિ છે આમ છતાં શક્ય તેટલી હદે શક્ય તેટલી સાદી ભાષામાં સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ તે આ અદ્ભુત ગણિતશાસ્ત્રીને અંજલિ સમાન ગણાશે ખરું જોતાં રામાનુજને આ સમીકરણ કેમ બનાવ્યું તેની અટકળ કરવાનો જ આ વીડિયોમાં પ્રયાસ થયો છે એમાં મૂળ પદાવલીની નીચે કુદરતી સંખ્યાઓ મૂકીને તાળો મેળવવામાં આવ્યો છે પરંતુ સાવ જ આવો તુક્કો ગણિતની ચર્ચામાં ટક્યો કેમ એનું કારણ એ કે રામાનુજન પર સંશોધન કરનારા વિદ્વાનોને એમાં રિઈમનનું ઝીટા ફંક્શન દેખાયું એ શું છે આપણે પહેલાં સંખ્યાઓનું સ્વરૂપ સમજીએ કે જેથી રિઈમન અને રામાનુજનને સમજવાની દિશામાં પહેલું પગલું ભરી શકીએ એટલું યાદ રાખશો કે અહીં જે સમજાવ્યું છે તે માત્ર ચાખવા પૂરતું છે કદાચ તેના પછી વધારે જાણવા માટે તમારી ભૂખ પણ ખૂલે ઝીટા ફંક્શન નંબર થિઅરીનું મહત્ત્વનું ઓજાર છે જે ગણિતશાસ્ત્રીઓને સંખ્યાઓને રમાડવાનો શોખ હોય તેમને એના વિના ચાલતું નથી આનો વિકાસ બર્નહાર્ટ રિઈમન મૃત્યુ ૧૮૬૬ નામના જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીએ કર્યો એટલે એને રિઈમન ઝીટા ફંક્શન કહે છે આની મદદથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ આપણી નજર સામે ન હોય તેવી દુનિયામાં પહોંચી શક્યા છે ભૌતિકશાસ્ત્ર એની પાછળ ચાલે છે રામાનુજને પણ રિઈમન ઝીટા ફંકશનનો ઉપયોગ કર્યો છે પરંતુ એમને રિઈમન ઝીટા ફંક્શન વિશે ખબર હતી કે કેમ તે અલગથી જાણી શકાયું નથી એમણે આપેલી ફૉર્મ્યૂલાઓ જોઈને સંશોધકોએ નક્કી કર્યું કે એમાં રિઇમન ઝીટા ફંક્શન રહેલું છે સંખ્યા શું છે સંખ્યાઓની દુનિયામાં જઈએ તો 1 2 3 વગેરે કુદરતી અથવા સ્વાભાવિક સંખ્યાઓ છે જે આપણે સમજી શકીએ છીએ એ શ્રેણી અનંત છે એ બધી ધન સંખ્યાઓ છે પરંતુ આપણો અનુભવ ઋણ સંખ્યાઓનો પણ છે દરરોજ બજારમાં જઈએ છીએ ત્યારે આપણાં ખિસ્સાંમાંથી પૈસા બાદ કરીએ છીએ અને દુકાનદારના ગલ્લામાં ઉમેરીએ છીએ આમ માત્ર ધન નહીં ઋણ સંખ્યાઓ પણ છે એટલું જ નહીં અર્ધો પોણો એવા અપૂર્ણાંકો પણ છે અને સવા દોઢ જેવાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંકનાં મિશ્રણો પણ છે હવે થોડા આગળ વધીએ આપણી સંખ્યા વ્યવસ્થામાં મિશ્ર સંખ્યાઓ compound numbers પણ છે જેના ભાગ પાડી શકાય છે દાખલા તરીકે 12 એટલે 3 x 2 x 2 અમુક સંખ્યા એવી છે કે એના ભાગ ન પડી શકે એના નિઃશેષ ભાગ કરવા માટે એ જ સંખ્યાથી ભાગવી પડે દાખલા તરીકે 3 5 7 11 13 17 19 આવી સંખ્યાઓને પ્રાઇમ નંબર કહે છે વળી સંખ્યાઓ વચ્ચે સંબંધ પણ છે દરેક સંખ્યાને એ જ સંખ્યા વડે ગુણો એટલે નવો સંબંધ મળશે દાખલા તરીકે 2 2 4 12 12 144 આને વર્ગ કહે છે એ જ રીતે ત્રણ વાર ગુણો તો ઘન મળે એમ આગળ વધતા જાઓ ઉલટે રસ્તે જઈએ તો વર્ગમૂળ વર્ગની સંખ્યાની મૂળ સંખ્યા મળે આમ દરેક સંખ્યાનાં વર્ગમૂળ કે ઘનમૂળ વગેરે પણ છે જ ધન સંખ્યાને જેટલી વાર ધારો તેટલી વાર એ જ સંખ્યાથી ગુણી શકો તે જ રીતે ભાગી પણ શકો ધન સંખ્યા સાથે એમ કરી શકો તો ઋણ સંખ્યા સાથે પણ કરી શકો આથી 1નો વર્ગ થઈ શકે 1 1 1 એ જ રીતે એનું વર્ગમૂળ પણ છેઃ 1 1 1 પરંતુ આ 1 ધન સંખ્યા છે 1 હોય તો એનું વર્ગમૂળ હોઈ શકે ગણિતશાસ્ત્રીઓએ 1ને પણ વર્ગમૂળનો અધિકાર આપ્યો છે 1 પરંતુ આ સંખ્યા શું તે કોઈ જાણતું નહોતું એટલે આ સંખ્યાને એ જમાનામાં કાલ્પનિક imaginary નામ આપવામાં આવ્યું એના માટે i વપરાય છે આમ 1 i એટલે કે i x i 1 પરંતુ કોઈ પણ બે ઋણ સંખ્યાનો ગુણાકાર કરો તો ઋણનું ચિહ્ન આવી જ ન શકે બે ઋણનો ગુણાકાર થતાં એ ધન બની જાય આમ કેમ કારણ કે આપણે જે ગણિત ભણ્યા છીએ તે આ દુનિયાનું સામાન્ય ગણિત છે કોઈ નવી દુનિયામાં નવી સંખ્યા વ્યવસ્થા ન હોય ખરું જોતાં આ કાલ્પનિક સંખ્યા ખરેખર કાલ્પનિક નથી એનું અસ્તિત્વ છે માત્ર આપણી સંખ્યા વ્યવસ્થામાં નથી એ જુદા પ્રકારની સંખ્યા શ્રેણી છે અને એની દરેક સંખ્યા જોડી છે જેમાં એક કુદરતી આપણી દુનિયાની સંખ્યા છે અને બીજી સંખ્યા આ કહેવાતી કાલ્પનિક સંખ્યા છે આને સંકુલ સંખ્યા complex number કહે છે દાખલા તરીકે a bi આમાં a વાસ્તવિક સંખ્યા છે જ પરંતુ bi માં b વાસ્તવિક અને i કાલ્પનિક સંખ્યા છે a ib ને આલેખ પર બતાવવાથી સમજવું સરળ થાય છે અહીં આલેખમાં a 2 અને b 1 હોય તેવી સંખ્યા 2 i બતાવી છે તે જ રીતે 3 3i પણ દર્શાવી છે આવી સંખ્યા ક્યાં જોવા મળે વીજચુંબકીય ક્ષેત્રમાં અહીં આપણે વીજતરંગની તીવ્રતા અને ચુંબકશક્તિની તીવ્રતા માપવાની હોય છે આ જોડી છે આમ પણ આપણે કાલ્પનિક સંખ્યાઓ નો ઉપયોગ આપણી રીતે કરીએ જ છીએ સ્કૂલમાં 18 5 બાળકો નાપાસ થયાં કોઈ અડધું બાળક હોઈ શકે અથવા કોઈ એક બાળક અડધું પાસ થયું હોય અને અડધું નાપાસ થયું હોય એવું બની શકે પરંતુ આપણે સમજી લઈએ છીએ કે સ્થિતિ શી છે આમ સંકુલ સંખ્યાઓ છે અને વ્યાવહારિક જગતમાં એ ન દેખાતી હોય તો પણ વિજ્ઞાનમાં ઘણી જગ્યાએ એનો પ્રભાવ દેખાય છે ભલે ને તમારે ક્વૉન્ટિટી વાસ્તવિક સંખ્યામાં શોધવાની હોય પરંતુ એ સંખ્યા સુધી પહોંચવામાં કાલ્પનિક સંખ્યા બહુ કામ આવે છે રિઇમને સંકુલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને એક અધિતર્ક hypothesis આપ્યો જે આજ સુધી સાબીત નથી થઈ શક્યો પરંતુ વ્યવહારમાં એ બહુ અસરકારક પુરવાર થયો છે આ અધિતર્ક વિશેની ફૉર્મ્યુલા જે લોકો ઉચ્ચ ગણિત જાણતા હોય એમના માટે અહીં આપી છે ફૉર્મ્યુલામાં જમણા છેડે જોતાં xને 1 કરતાં મોટો દેખાડ્યો છે ડાબે છેડે શરૂઆતમાં દેખાતું ζ ચિહ્ન ઝીટાનું છે એ xનાં જુદાં જુદાં મૂલ્યો સામી બાજુ મૂકવાનું કહે છે σ આ સિગ્માનું ચિહ્ન છે આ બન્ને ગ્રીક અક્ષરો છે સિગ્મા સરવાળો સૂચવે છે વગેરે nની કિંમતો મૂકતા જવાની છે સિગ્માની ઉપર મૂકેલા ચિહ્ન સુધી સરવાળો કરવાનો હોય તો x નું મૂલ્ય શું હોય એ આ ફૉર્મ્યુલા દેખાડવા માગે છે અહીં અનંતનું ચિહ્ન મૂકેલું છે સિગ્માના ચિહ્ન નીચે n છે તે સૂચવે છે કે કોઈ અનિશ્ચિત સંખ્યા સુધી જવાનું છે અહીં માત્ર 1 સુધીનાં પદોનો સરવાળો કરવાનો છે આ રીતે કરતાં x ની ધન કિમતો માટે જેમ કે x 1 2 3 સંખ્યાઓ ક્રમશઃ 1 કરતાં નાની થતી જશે ઉપર લાલ અક્ષરમાં છે તેમ જેથી કુલ સરવાળો મર્યાદિત finite રહેશે પણ જો x ઋણ આંકડો હશે તો સરવાળો અતિ મોટો થશે દા ત x 2 હોય તો ζ 2 1 4 8 એમ અનંત સુધી જાય પરંતુ ઝીટા વિધા પર બહુ કામ કરનાર રિઇમને ત્રીજી શક્યતા પણ તપાસી એણે x સંકુલ આંકડો હોય તો શું થાય તે પણ જોયું આપણે ઉપર જોઈ લીધું છે કે સંકુલ એટલે complex number વાસ્તવિક સંખ્યા અને કાલ્પનિક સંખ્યાનું મિશ્રણ હોય છે કાલ્પનિક સંખ્યા એટલે શું તે પણ આપણે ઉપર જોઈ લીધું છે રામાનુજનની ફૉર્મ્યુલામાં પણ આ જ જોવા મળ્યું હવે ઉપર લિંક આપી છે તે વીડિયો રામાનુજન ફરી જોશો તો એમાં સંખ્યાઓની ગોઠવણીનો તર્ક પણ સમજાશે રામાનુજનની ધાર્મિક માન્યતાઓ રામાનુજન માનતા કે એમને નામગિરિ દેવી સપનામાં આવીને સમીકરણો દેખાડી જાય છે અને પોતે તો માત્ર લખી નાખે છે એ શૂન્યને નિર્ગુણ બ્રહ્મ સાથે સરખાવતા અને અનંત infinity ને અપાર શક્યતાઓ તરીકે જોતા હતા મહાલનોબિસ કહે છે કે એમને theory of reality શોધવામાં રસ હતો અને કહે...