Meta tags:

Headings (most frequently used words):

edytuj, kod, historia, średniowieczne, narzędzia, dla, innych, trygonometria, spis, treści, zobacz, też, przypisy, bibliografia, menu, nawigacyjne, egipt, babilon, starożytna, grecja, indie, świat, islamu, chiny, renesansowa, europa, analizy, trygonometrycznej, osobiste, przestrzenie, nazw, widok, szukaj, nawigacja, czytelników, wikipedystów, drukuj, lub, eksportuj, projektach, językach,

Text of the page (most frequently used words):
teoria (31), sin (26), edytuj (25), history (19), mathematics (19), dla (16), cos (15), #trygonometria (13), ang (13), funkcji (13), tablice (13), sinus (13), tfrac (13), kod (12), trygonometrycznych (12), displaystyle (12), nie (11), dostęp (11), the (11), sprawdź (11), autora (11), wieku (10), się (9), matematyka (9), 2009 (9), sinusa (9), historia (8), matematyki (8), analiza (8), boyer (8), 1991 (8), trójkątów (8), twierdzenie (8), oraz (8), kąta (8), zobacz (7), archive (7), trygonometryczne (7), jego (7), przez (7), trygonometrii (7), jako (6), tego (6), mactutor (6), and (6), plimpton (6), 322 (6), twierdzenia (6), roku (6), używał (6), wzór (6), później (6), także (6), prawdopodobnie (6), matematycy (6), innych (5), line (5), madhava (5), joseph (5), 2000 (5), mathworld (5), stworzył (5), tangensa (5), cosinus (5), dziele (5), średniowieczne (5), cięciwy (5), okręgu (5), ptolemeusza (5), cięciw (5), kątów (5), wikipedii (4), pierwsze (4), matematyczna (4), elementarna (4), zarchiwizowane (4), adresu (4), sangamagramma (4), needham (4), connor (4), robertson (4), sinusów (4), wzorów (4), też (4), szeregi (4), znalazł (4), rozwinięcie (4), cosinusa (4), było (4), choć (4), dzięki (4), dzieła (4), hipparcha (4), twierdzeń (4), jest (4), 360 (4), części (4), długości (4), łuku (4), beta (4), alpha (4), autorstwa (3), nazw (3), wikipedia (3), org (3), trigonometria (3), encyklopedia (3), nauki (3), rachunek (3), algebraiczna (3), miary (3), algebra (3), 2002 (3), 1986 (3), science (3), civilization (3), china (3), isbn (3), crest (3), peacock (3), gauchet (3), 109 (3), przy (3), funkcje (3), taylora (3), tym (3), również (3), prace (3), europie (3), analizy (3), użył (3), pierwszy (3), swoim (3), używali (3), który (3), aryabhaty (3), zostały (3), jakkolwiek (3), jak (3), sferycznej (3), dokładnością (3), miejsc (3), dziesiętnych (3), dokładne (3), din (3), głównie (3), związku (3), sformułował (3), sferycznych (3), wiadomo (3), left (3), delta (3), right (3), dzisiaj (3), ptolemeusz (3), księga (3), wzoru (3), trójkąta (3), każdy (3), jednak (3), kąt (3), wersja (2), tylko (2), informacje (2), warunkach (2), commons (2), tych (2), 2022 (2), english (2), norsk (2), bahasa (2), беларуская (2), utwórz (2), książkę (2), lub (2), tej (2), zmiany (2), narzędzia (2), wikipedystów (2), zgłoś (2), błąd (2), artykuł (2), autorzy (2), dyskusja (2), kategoria (2), https (2), pwn (2), arytmetyka (2), położenia (2), różniczkowa (2), analityczna (2), stereometria (2), dyskretna (2), działy (2), ian (2), pearce (2), 2006 (2), books (2), george (2), wyd (2), 691 (2), 00659 (2), non (2), european (2), roots (2), note (2), sur (2), trigonométrie (2), sphérique (2), kouo (2), cheou (2), king (2), 1996 (2), trigonometric (2), functions (2), bibliografia (2), 2008 (2), mikołaj (2), kopernik (2), 158 (2), 168 (2), 166 (2), 167 (2), 159 (2), eleanor (2), robson (2), evert (2), bruins (2), pythagorean (2), babylonian (2), 2021 (2), przypisy (2), dotyczących (2), cosinusów (2), znane (2), dziś (2), ten (2), rozwinięcia (2), wszystkich (2), sześciu (2), miały (2), james (2), nieskończone (2), euler (2), tang (2), eulera (2), około (2), obliczył (2), szeregiem (2), miejscami (2), znaczącymi (2), podał (2), szereg (2), były (2), trygonometrycznej (2), postaci (2), interpolacyjny (2), isaac (2), newton (2), prostokątnych (2), zamiast (2), została (2), triangulis (2), 1595 (2), raz (2), słowa (2), wprowadził (2), jej (2), napisał (2), renesansowa (2), europa (2), przetłumaczone (2), okresie (2), czy (2), wczesne (2), kiedy (2), geometrii (2), przykład (2), matematyk (2), 1231 (2), 1316 (2), guo (2), shoujing (2), dynastii (2), chiny (2), czterech (2), cyfr (2), stopnia (2), wartości (2), wszystkie (2), zapewne (2), xiii (2), nasir (2), tusi (2), różnych (2), abu (2), wafa (2), zauważył (2), matematyków (2), chuwarizmi (2), świat (2), islamu (2), approx (2), vii (2), wyprowadził (2), leqslant (2), tablic (2), został (2), formie (2), między (2), połową (2), versus (2), które (2), przetrwały (2), aryabhata (2), indie (2), ani (2), czasów (2), jedno (2), euklidesa (2), sumy (2), różnicy (2), księgi (2), odpowiedniki (2), płaszczyźnie (2), kąty (2), menelaos (2), 180 (2), astronomii (2), sphaerica (2), podziału (2), pełnego (2), stopni (2), hipparch (2), starożytnej (2), kątowych (2), arystarcha (2), samos (2), dotyczące (2), archimedesa (2), circ (2), operatorname (2), cięciwa (2), starożytnym (2), boków (2), crd (2), theta (2), starożytna (2), grecja (2), egipt (2), babilon (2), łac (2), przejdź (2), web (2), sep (2), komunikat, temat, ciasteczek, statystyki, deweloperów, mobilna, korzystasz, własną, odpowiedzialność, polityka, prywatności, tekst, udostępniany, możliwością, obowiązywania, dodatkowych, ograniczeń, szczegółowe, korzystania, licencji, creative, uznanie, samych, stronę, ostatnio, edytowano, cze, linki, žemaitėška, yorùbá, ייִדיש, winaray, walon, võro, tiếng, việt, vèneto, اردو, українська, türkmençe, türkçe, тоҷикӣ, ไทย, తెలుగు, татарча, tatarça, taclḥit, தமிழ், tagalog, svenska, suomi, srpskohrvatski, српскохрватски, српски, srpski, کوردی, soomaaliga, slovenščina, slovenčina, simple, සිංහල, sicilianu, shqip, seeltersk, scots, русский, русиньскый, runa, simi, română, qaraqalpaqsha, português, piemontèis, ភាសាខ្មែរ, patois, پنجابی, ਪੰਜਾਬੀ, oʻzbekcha, ўзбекча, ଓଡ଼ିଆ, occitan, nynorsk, bokmål, nordfriisk, 日本語, नेपाल, भाषा, नेपाली, nederlands, မြန်မာဘာသာ, melayu, مصرى, მარგალური, मराठी, മലയാളം, македонски, magyar, lombard, luganda, lingua, franca, nova, limburgs, lietuvių, latviešu, latina, ລາວ, кыргызча, kurdî, kriyòl, gwiyannen, kiswahili, қазақша, ქართული, kabɩyɛ, jawa, עברית, italiano, íslenska, interlingua, indonesia, ilokano, ido, hrvatski, हिन्दी, հայերեն, 한국어, ગુજરાતી, galego, gaeilge, français, føroyskt, فارسی, euskara, estremeñu, esperanto, español, emiliàn, rumagnòl, ελληνικά, eesti, deutsch, dansk, cymraeg, corsu, chishona, čeština, чӑвашла, català, brezhoneg, bosanski, български, bikol, central, тарашкевіца, башҡортса, bân, lâm, বাংলা, azərbaycanca, asturianu, অসমীয়া, aragonés, العربية, አማርኛ, alemannisch, afrikaans, językach, wikimedia, projektach, druku, pobierz, pdf, drukuj, eksportuj, element, wikidanych, cytowanie, artykułu, stronie, link, wersji, strony, specjalne, prześlij, plik, linkowanych, linkujące, ostatnie, pomoc, zasady, ogłoszenia, portal, kroki, wspomóż, wikipedię, kontakt, pliku, czytelników, częste, pytania, faq, najlepsze, artykuły, kategorie, artykułów, losuj, strona, główna, nawigacja, szukaj, więcej, źródłowy, czytaj, widok, polski, przestrzenie, zaloguj, konto, edycje, jesteś, zalogowany, osobiste, menu, nawigacyjne, ukryta, szablon, cytuj, sprawdzenia, źródło, index, php, title, oldid, 67447337, 0148217, catalana, 4203511, брэ, treccani, topic, trigonometry, britannica, 3989519, internetowa, 987007548881205171, j9u, ph126744, nkc, 20799, bncf, 119384742, bnf, 00570153, ndl, sh85137519, lccn, dziedzina, kontrola, autorytatywna, rekreacyjna, filozofia, dydaktyka, powiązane, dyscypliny, gier, statystyka, inne, wielodyscyplinarne, głosowań, ubezpieczeniowa, finansowa, społeczne, sterowania, informacji, kryptologia, techniczne, fizyka, biomatematyka, przyrodnicze, stosowana, probabilistyka, różnicowy, grafów, kombinatoryka, pozostałe, warkoczy, węzłów, ogólna, mnogościowa, geometryczna, homotopii, topologia, ergodyczna, katastrof, chaosu, układów, dynamicznych, teoretyczna, liczb, wykreślna, syntetyczna, skończona, rzutowa, obliczeniowa, nieprzemienna, sferyczna, hiperboliczna, eliptyczna, nieeuklidesowa, konforemna, kombinatoryczna, fraktalna, planimetria, euklidesowa, afiniczna, absolutna, geometria, złożoności, obliczalności, obliczeń, opisowa, mnogości, kategorii, metalogika, metamatematyka, typów, rekursji, modeli, dowodu, mereologia, logika, podstawy, potencjału, dystrybucji, wariacyjny, różniczkowy, całkowy, zespolona, wektorowa, rzeczywista, numeryczna, niestandardowa, harmoniczna, funkcjonalna, reprezentacji, uniwersalna, homologiczna, liego, grup, galois, przemienna, abstrakcyjna, wieloliniowa, liniowa, szczegółówe, wyższa, czysta, ogólne, dziedziny, kostecki, krótka, taipei, caves, ltd, tom, sciences, heavens, earth, londyn, penguin, 1917, carl, second, edition, john, wiley, sons, inc, 471, 54397, cosine, cotangent, tangent, sine, secant, marca, 2012, niem, nikolaus, kopernikus, straße, maja, astronomia, kosmos, 151, 108, princeton, university, press, 285, 286, 164, 162, 163, american, mathematical, monthly, 105, 120, words, pictures, new, light, math, 206, 2001, neither, sherlock, holmes, nor, babylon, reassessment, sumer, 1951, 117, 121, triads, errors, koninklijke, nederlandse, akademie, van, wetenschappen, proceedings, 1949, 629, 632, numbers, 383, 384, online, przydatne, rozwiązywaniu, zadań, tangensów, wzory, redukcyjne, lista, najważniejszych, tożsamości, odwrotne, związane, tematem, multimedia, publikację, wikibooks, liceum, wikisłowniku, hasło, następnie, badali, ostatni, aproksymacje, duże, znaczenie, polu, colina, maclaurina, brook, taylor, gregory, 1748, stworzyło, grunt, analitycznego, traktowania, definiując, wprowadzając, skrótów, zbliżonych, dzisiejszych, cosec, sec, cot, leonharda, introductio, analysin, infinitorum, 1400, podwaliny, odkrywając, badał, koncepcje, pewnego, szeregu, nazwanego, cotangensa, używając, aproksymacji, potęgowy, rozwijane, następców, szkoły, astronomicznej, xvi, kerala, szeregów, potęgowych, matematycznej, 1770, reprezentację, ułamka, łańcuchowego, johann, heinrich, lambert, xvii, stworzyli, newtona, stirlinga, stirling, 1665, 1734, iloczyn, nieskończony, leonhard, pierwszą, definicją, terminach, okręgów, jednostkowych, praca, dokończona, studenta, rheticusa, 1596, valentina, otho, retyka, opus, palatinum, terminu, sive, solutione, triangulorum, tractatus, brevis, perspicuus, heidelberg, bartłomiej, pitiscus, 1555, zapisu, 1583, finck, określeń, 1620, 1624, oznaczenie, 1636, słowo, 1590, françois, viète, complementi, cosi, tan, cotangens, edmund, gunter, sekans, tangens, francesco, maurolico, funkcję, secans, 1543, arabscy, już, revolutionibus, orbium, coelestium, był, pierwszym, europejskim, matematykiem, traktował, trygonometrię, oddzielną, dyscyplinę, matematyczną, 1464, tabulae, directionum, omnimodus, regiomontanus, umieszczone, klasycznym, skompilowanym, 718, chińczycy, celowali, dziedzinach, takich, formy, rozpowszechniły, tak, szybko, przypadku, greków, hindusów, muzułmanów, powoli, stan, zaczął, zmieniać, 960, 1279, chińscy, zaczęli, kłaść, większy, nacisk, potrzeby, 1031, 1095, rozwiązywania, problemów, matematycznych, cięciwami, łukami, twierdzą, historycy, inny, kalkulacjach, kalendarzowych, astronomicznych, shen, kuo, song, kaiyuan, zhan, jing, chiński, xiv, sześćdziesiątkowych, odpowiednik, każdego, dodatkowymi, poprawkami, obliczania, każdej, minuty, kątowej, wiek, sięgające, uług, beg, ghijas, kaszi, wyniki, powstawały, pracami, astronomicznymi, traktaty, wyłącznie, opublikowali, udowodnił, sklasyfikował, sześć, przypadków, bhāskara, acārya, islamscy, secansem, cosecansem, włącznie, pracy, krokiem, tożsamość, hinduskich, rozszerzone, świecie, muzułmańskim, arabskich, perskich, historii, muhammad, ibn, musa, sportretowany, znaczku, pocztowym, radzieckim, pozwolił, stablicowanie, tzw, brahmagupty, końcu, brahmagupta, 16x, qquad, pozwalający, przybliżone, obliczanie, ostrego, bez, błędem, mniejszym, bhaskara, inni, hinduscy, rozwinęli, pracę, varahamihira, kolejny, istotny, postęp, dokonany, indyjski, astronom, 476, 550, zdefiniował, znanej, arcus, zawierają, najwcześniejsze, wartościami, znaczących, nazwy, stały, podstawą, używanych, definicja, jednostkowym, etymologia, siddhanta, indiach, posąg, współczesnych, wzmiankom, autorów, wątpliwości, istniały, wyników, stworzenia, one, wyprowadzone, rozbudował, koncepcję, trzynasta, była, znaczącą, starożytną, pracą, dziedzinie, szczególny, przypadek, pojawia, propozycji, xciii, prowadzi, równoważnika, oczywiście, wyrażonych, języku, ekwiwalent, almagestu, almagest, klaudiusz, 100, trzy, pod, tytułem, księdze, nieposiadające, odpowiednika, euklidesowej, mówiące, dwa, trójkąty, sferyczne, jeśli, odpowiednie, ich, mają, równe, utożsamiał, symetryczne, wersje, suma, wewnętrznych, sferycznego, zawsze, większa, dotyczyła, zastosowań, iii, zawierała, menelausa, przystające, aleksandrii, dokładnie, zaczęto, używać, przypuszczalnie, nastąpiło, wkrótce, napisaniu, 260, gdyż, mierzył, ułamkach, prostego, podział, spopularyzował, tablicy, mógł, podchwycić, ideę, takiego, wcześniej, dzielił, dobę, wzorując, astronomach, podzielona, roczny, cykl, dni, można, otrzymać, dzieląc, znak, dekan, używanemu, sześćdziesiątkowemu, stopień, podzielony, każda, minuta, sekund, minut, systemowi, liczbowemu, babilonii, dekanów, znaków, zodiaku, ekliptyka, babilońskich, hipsikla, hipparchowi, rozmiarach, odległościach, słońca, księżyca, skompilowane, 125, ułożył, odpowiadających, sobie, dziełach, ścisłym, znaczeniu, zaprezentowane, geometrycznej, stanowią, pewnych, praw, propozycje, xii, tożsame, odpowiednio, rozwartych, ostrych, natomiast, zastosowaniem, zaś, odpowiednikiem, celów, obliczeniowych, mówiącego, współczesnej, notacji, wzorem, elementów, znali, pojęcie, danego, która, przecina, okrąg, końcach, mieszczącego, wewnątrz, koła, przechodzi, środek, dzieli, łuk, samym, pół, połowa, jednostkowego, połowy, czyli, wiele, znanych, grekom, odpowiedników, operujących, długościami, łuków, miarami, stosunkami, mbox, symetralna, odcinka, prostą, grecji, przedstawienie, klaudiusza, utworzonego, dany, niektórzy, badacze, uważają, starożytni, babilończycy, zapisali, tabliczce, powstałej, 1800, 1900, lat, tablicę, sekansów, jednakże, według, interpretacji, mogły, być, albo, rozwiązanie, równania, kwadratowego, trójek, pitagorejskich, pismem, klinowym, wieków, znano, stosunków, społeczeństwa, przed, grekami, wynalazły, idei, konsekwencji, badały, boki, podobnych, babilonie, egipcie, tabliczka, spis, treści, τρίγωνον, τρίγωνος, trójrożny, trójkątny, γωνον, gōnon, γωνία, róg, spokr, γόνυ, kolano, μετρεῖν, mierzyć, μέτρον, miara, kij, pręt, mierniczy, dział, którego, przedmiotem, badań, związki, miarowe, bokami, kątami, powstała, rozwinęła, zagadnieniami, pomiarów, powierzchni, ziemi, potrzebami, żeglugi, morskiej, określenia, kierunku, pomocy, rozwój, wpływ, badania, astronomiczne, ciał, niebieskich, metron, metrein, metria, gónu, gōnia, trigōnos, neutr, trigōnon, trigonum, mogą, zostać, geometrycznie, skonstruowane, odniesieniu, środkiem, punkcie, wyszukiwania, nawigacji, wolnej, encyklopedii, wayback, machine, http, 20221014150332, wiki, timestamps, about, this, capture, fail, success, 2023, nov, oct, 2003, apr, 2026, captures, wolna,

Text of the page (random words):
kąt średniowieczne przedstawienie klaudiusza ptolemeusza matematycy starożytnej grecji znali pojęcie cięciwy dla danego okręgu i jego części łuku cięciwa jest prostą która przecina okrąg na końcach łuku symetralna odcinka cięciwy mieszczącego się wewnątrz koła przechodzi przez jego środek i dzieli łuk i tym samym kąt na pół połowa długości cięciwy to dla okręgu jednostkowego sinus połowy kąta czyli crd θ 2 sin θ 2 displaystyle mbox crd theta 2 sin tfrac theta 2 wiele z twierdzeń trygonometrycznych było znanych starożytnym grekom jednak w postaci odpowiedników operujących długościami łuków i cięciw a nie miarami kątów i stosunkami długości boków trójkąta 8 jakkolwiek w dziełach euklidesa i archimedesa nie było trygonometrii w ścisłym tego słowa znaczeniu są jednak twierdzenia zaprezentowane w geometrycznej formie które stanowią odpowiedniki pewnych trygonometrycznych praw i wzorów 2 na przykład propozycje xii i xiii z księgi ii elementów są tożsame ze wzorem cosinusów odpowiednio dla kątów rozwartych i ostrych twierdzenia dotyczące długości cięciw są natomiast zastosowaniem wzoru sinusów jedno z twierdzeń archimedesa jest zaś odpowiednikiem wzoru na sinus sumy i różnicy kątów 2 matematycy za czasów arystarcha z samos dla celów obliczeniowych używali m in twierdzenia mówiącego iż we współczesnej notacji sin α sin β α β tg α tg β displaystyle tfrac sin alpha sin beta tfrac alpha beta tfrac operatorname tg alpha operatorname tg beta dla 0 β α 90 displaystyle 0 circ beta alpha 90 circ 9 pierwsze tablice trygonometryczne zostały prawdopodobnie skompilowane przez hipparcha 180 125 p n e 10 hipparch jako pierwszy ułożył tablice odpowiadających sobie długości cięciwy i łuku dla różnych kątów 10 11 jakkolwiek nie wiadomo dokładnie kiedy zaczęto używać podziału kąta pełnego na 360 stopni przypuszczalnie nastąpiło to wkrótce po napisaniu przez arystarcha z samos dzieła o rozmiarach i odległościach słońca i księżyca ok 260 p n e gdyż mierzył on kąty w ułamkach kąta prostego 9 prawdopodobnie podział kąta pełnego na 360 stopni spopularyzował się głównie dzięki hipparchowi i jego tablicy cięciw hipparch mógł podchwycić ideę takiego podziału u hipsikla który wcześniej dzielił dobę na 360 części zapewne wzorując się na babilońskich astronomach 10 w starożytnej astronomii ekliptyka została podzielona na 12 znaków zodiaku lub 36 dekanów roczny cykl około 360 dni można było otrzymać dzieląc każdy znak na 30 części i każdy dekan na 10 części 12 to dzięki używanemu w babilonii sześćdziesiątkowemu systemowi liczbowemu każdy stopień został podzielony na 60 minut kątowych a każda minuta na 60 sekund kątowych 12 menelaos z aleksandrii ok 100 n e napisał trzy księgi pod tytułem sphaerica w księdze i sformułował dla trójkątów sferycznych odpowiedniki twierdzeń dotyczących trójkątów na płaszczyźnie 8 sformułował również twierdzenie nieposiadające odpowiednika na płaszczyźnie euklidesowej mówiące że dwa trójkąty sferyczne są przystające jeśli odpowiednie ich kąty mają równe miary utożsamiał przy tym symetryczne wersje trójkątów sferycznych 8 menelaos zauważył także że suma kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180 8 księga ii sphaerica dotyczyła zastosowań geometrii sferycznej do astronomii księga iii zawierała twierdzenie menelausa 8 później klaudiusz ptolemeusz ok 90 ok 168 n e rozbudował w swoim dziele almagest koncepcję cięciw na okręgu hipparcha trzynasta księga almagestu była znaczącą starożytną pracą w dziedzinie trygonometrii 13 jedno z jej twierdzeń jest dziś znane jako twierdzenie ptolemeusza szczególny przypadek twierdzenia ptolemeusza pojawia się także w propozycji xciii dzieła euklidesa twierdzenie ptolemeusza prowadzi do równoważnika wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy choć oczywiście wyrażonych w języku cięciw a nie funkcji ptolemeusz wyprowadził później ekwiwalent wzoru sin 2 x 2 1 cos x 2 displaystyle sin 2 tfrac x 2 tfrac 1 cos x 2 ptolemeusz używał tych wyników do stworzenia tablic trygonometrycznych choć nie wiadomo czy nie były one wyprowadzone z dzieła hipparcha 13 ani tablice hipparcha ani ptolemeusza nie przetrwały do czasów współczesnych choć dzięki wzmiankom u innych autorów nie ma wątpliwości że istniały 14 średniowieczne indie edytuj edytuj kod posąg aryabhaty kolejny istotny postęp w trygonometrii został dokonany w indiach indyjski matematyk i astronom aryabhata 476 550 n e w swoim dziele aryabhata siddhanta po raz pierwszy zdefiniował sinus w znanej dzisiaj formie związku między połową kąta i połową cięciwy a także cosinus sinus versus i arcus sinus jego dzieła zawierają najwcześniejsze tablice trygonometryczne które przetrwały do dzisiaj z wartościami funkcji sinus i sinus versus co 3 75 stopnia od 0 do 90 z dokładnością do czterech miejsc znaczących jego nazwy na sinus i cosinus stały się podstawą nazw używanych dzisiaj zobacz definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw funkcji trygonometrycznych inni hinduscy matematycy rozwinęli później pracę aryabhaty w vi wieku n e varahamihira używał wzorów sin 2 x cos 2 x 1 displaystyle sin 2 x cos 2 x 1 sin x cos π 2 x displaystyle sin x cos left tfrac pi 2 x right 1 cos 2 x 2 sin 2 x displaystyle tfrac 1 cos 2x 2 sin 2 x w vii wieku bhaskara i stworzył wzór pozwalający na przybliżone obliczanie sinusa dla kąta ostrego bez tablic z błędem mniejszym od 1 9 sin x 16 x π x 5 π 2 4 x π x 0 x π 2 displaystyle sin x approx tfrac 16x pi x 5 pi 2 4x pi x qquad 0 leqslant x leqslant tfrac pi 2 w końcu vii wieku brahmagupta wyprowadził wzór 1 sin 2 x cos 2 x sin 2 π 2 x displaystyle 1 sin 2 x cos 2 x sin 2 left tfrac pi 2 x right oraz tzw wzór interpolacyjny brahmagupty f a x h f a x δ f a δ f a h 2 x 2 δ 2 f a h 2 displaystyle f a xh approx f a x left tfrac delta f a delta f a h 2 right tfrac x 2 delta 2 f a h 2 który pozwolił mu na stablicowanie wartości sinusa 15 świat islamu edytuj edytuj kod al chuwarizmi sportretowany na radzieckim znaczku pocztowym prace matematyków hinduskich zostały później przetłumaczone i rozszerzone w świecie muzułmańskim przez arabskich i perskich matematyków w ix wieku muhammad ibn musa al chuwarizmi obliczył dokładne tablice sinusa i cosinusa i pierwsze w historii tablice tangensa w x wieku islamscy matematycy używali wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych z secansem i cosecansem włącznie co wiadomo dzięki pracy autorstwa abu al wafa abu al wafa stworzył tablice sinusa z krokiem 0 25 i dokładnością 8 cyfr dziesiętnych a także dokładne tablice tangensa zauważył również tożsamość sin 2 x 2 sin x cos x displaystyle sin 2x 2 sin x cos x wszystkie te wczesne wyniki trygonometryczne powstawały głównie w związku z pracami astronomicznymi pierwsze traktaty wyłącznie o trygonometrii opublikowali zapewne bhāskara acārya i nasir ad din tusi w xiii wieku nasir ad din tusi sformułował i udowodnił twierdzenie sinusów sklasyfikował też sześć różnych przypadków prostokątnych trójkątów sferycznych w xiv wieku ghijas ad din kaszi stworzył tablice sinusa z dokładnością do czterech cyfr sześćdziesiątkowych odpowiednik 8 miejsc dziesiętnych dla każdego stopnia z dodatkowymi poprawkami do obliczania wartości dla każdej minuty kątowej uług beg xv wiek także podał dokładne tablice sinusa i tangensa sięgające 8 miejsc dziesiętnych średniowieczne chiny edytuj edytuj kod guo shoujing 1231 1316 tablice sinusów aryabhaty zostały przetłumaczone na chiński i umieszczone w klasycznym dziele kaiyuan zhan jing skompilowanym w 718 roku w okresie dynastii tang 16 jakkolwiek chińczycy celowali w innych dziedzinach matematyki takich jak stereometria czy algebra to wczesne formy trygonometrii nie rozpowszechniły się tak szybko jak w przypadku greków hindusów i muzułmanów 17 powoli ten stan zaczął się zmieniać w okresie dynastii song 960 1279 kiedy chińscy matematycy zaczęli kłaść większy nacisk na potrzeby geometrii sferycznej 16 na przykład shen kuo 1031 1095 używał funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania problemów matematycznych z cięciwami i łukami 16 jak twierdzą historycy l gauchet i joseph needham inny matematyk guo shoujing 1231 1316 używał trygonometrii sferycznej w kalkulacjach kalendarzowych i astronomicznych 18 16 renesansowa europa edytuj edytuj kod regiomontanus był prawdopodobnie pierwszym europejskim matematykiem który traktował trygonometrię jako oddzielną dyscyplinę matematyczną napisał w 1464 de triangulis omnimodus a później tabulae directionum funkcję secans w europie wprowadził mikołaj kopernik w dziele de revolutionibus orbium coelestium 1543 19 choć arabscy matematycy używali jej prawdopodobnie już w ix wieku 20 francesco maurolico w 1555 używał zapisu sinus 21 w 1583 j finck użył określeń tangens 22 oraz sekans 20 edmund gunter w 1620 roku użył słowa cotangens 23 w 1624 roku wprowadził oznaczenie sin x 21 oraz tan x 22 a w 1636 cosi x oraz słowo cosinus zamiast complementi sinus 24 françois viète w 1590 znalazł wzór na cos n x displaystyle cos nx 24 w 1595 bartłomiej pitiscus użył po raz pierwszy terminu trygonometria w swoim dziele trigonometria sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus 1595 heidelberg opus palatinum de triangulis autorstwa retyka było prawdopodobnie pierwszą definicją funkcji trygonometrycznych w terminach trójkątów prostokątnych zamiast okręgów jednostkowych ta praca została dokończona przez valentina otho studenta rheticusa w roku 1596 isaac newton w 1665 znalazł rozwinięcie funkcji sinus 21 i cosinus 24 w szereg a leonhard euler w 1734 rozwinięcie funkcji sinus w iloczyn nieskończony 21 w xvii wieku isaac newton i james stirling stworzyli wzór interpolacyjny newtona stirlinga dla funkcji trygonometrycznych w 1770 johann heinrich lambert znalazł reprezentację tangensa w postaci ułamka łańcuchowego 22 historia analizy trygonometrycznej edytuj edytuj kod madhava około roku 1400 stworzył podwaliny analizy matematycznej funkcji trygonometrycznych odkrywając rozwinięcie funkcji w szeregi nieskończone badał on koncepcje szeregów potęgowych oraz pewnego szeregu nazwanego później w europie szeregiem taylora i obliczył rozwinięcia sinusa cosinusa tangensa i cotangensa używając aproksymacji sinusa i cosinusa szeregiem taylora stworzył tablice sinusa z 12 miejscami znaczącymi i cosinusa z 9 miejscami znaczącymi podał także rozwinięcie π w szereg potęgowy jego prace były rozwijane przez jego następców ze szkoły astronomicznej w kerala aż do xvi wieku 25 26 introductio in analysin infinitorum leonharda eulera z 1748 roku stworzyło grunt dla analitycznego traktowania funkcji trygonometrycznych w europie definiując je jako nieskończone szeregi i wprowadzając wzór eulera euler używał skrótów zbliżonych do dzisiejszych sin cos tang cot sec i cosec james gregory a następnie brook taylor badali szeregi znane dziś jako szeregi taylora ten ostatni znalazł rozwinięcia i aproksymacje wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych duże znaczenie na tym polu miały również prace colina maclaurina zobacz też edytuj edytuj kod zobacz hasło trygonometria w wikisłowniku zobacz publikację matematyka dla liceum trygonometria w wikibooks zobacz multimedia związane z tematem trygonometria funkcje odwrotne do trygonometrycznych tożsamości trygonometryczne lista najważniejszych wzorów trygonometryczne wzory redukcyjne twierdzenie sinusów twierdzenie cosinusów twierdzenie tangensów twierdzenia przydatne przy rozwiązywaniu zadań dotyczących trójkątów przypisy edytuj edytuj kod trygonometria w encyklopedia pwn online dostęp 2021 09 15 a b c boyer a history of mathematics 1991 s 158 159 sprawdź autora 1 joseph the crest of the peacock non european roots of mathematics 2000 s 383 384 sprawdź autora 1 evert m bruins on plimpton 322 pythagorean numbers in babylonian mathematics koninklijke nederlandse akademie van wetenschappen proceedings 52 1949 s 629 632 evert m bruins pythagorean triads in babylonian mathematics the errors on plimpton 322 sumer 11 1951 s 117 121 eleanor robson neither sherlock holmes nor babylon a reassessment of plimpton 322 historia math 28 3 s 167 206 2001 ang eleanor robson words and pictures new light on plimpton 322 american mathematical monthly 109 2 s 105 120 2002 ang a b c d e boyer a history of mathematics 1991 s 163 sprawdź autora 1 a b boyer a history of mathematics 1991 s 159 sprawdź autora 1 a b c boyer a history of mathematics 1991 s 162 sprawdź autora 1 j j o connor e f robertson trigonometric functions w mactutor history of mathematics archive 1996 dostęp 2008 04 12 ang a b boyer a history of mathematics 1991 s 166 167 sprawdź autora 1 a b boyer a history of mathematics 1991 s 164 166 sprawdź autora 1 boyer a history of mathematics 1991 s 158 168 sprawdź autora 1 george g joseph the crest of the peacock princeton university press 2000 s 285 286 isbn 0 691 00659 8 a b c d needham science and civilization in china t 3 1986 s 109 sprawdź autora 1 needham science and civilization in china t 3 1986 s 108 109 sprawdź autora 1 gauchet note sur la trigonométrie sphérique de kouo cheou king s 151 sprawdź autora 1 astronomia i kosmos mikołaj kopernik dostęp 2009 03 19 zarchiwizowane z tego adresu 3 maja 2008 nikolaus kopernikus straße dostęp 2009 03 19 zarchiwizowane z tego adresu 7 marca 2012 niem a b mathworld history of secant dostęp 2009 01 10 ang a b c d mathworld history of sine dostęp 2009 01 10 ang a b c mathworld history of tangent dostęp 2009 01 10 ang mathworld history of cotangent dostęp 2009 01 10 ang a b c mathworld history of cosine dostęp 2009 01 10 ang j j o connor e f robertson madhava of sangamagramma w mactutor history of mathematics archive on line 2000 ang ian g pearce madhava of sangamagramma w mactutor history of mathematics archive on line 2002 dostęp 2009 03 24 zarchiwizowane z tego adresu 2006 05 05 ang bibliografia edytuj edytuj kod carl b boyer a history of mathematics wyd second edition john wiley sons inc 1991 isbn 0 471 54397 7 j j o connor e f robertson madhava of sangamagramma w mactutor history of mathematics archive on line 2000 ang j j o connor e f robertson trigonometric functions w mactutor history of mathematics archive on line 1996 ang l gauchet note sur la trigonométrie sphérique de kouo cheou king 1917 george g joseph the crest of the peacock non european roots of mathematics wyd 2 londyn penguin books 2000 isbn 0 691 00659 8 joseph needham science and civilization in china tom 3 mathematics and the sciences of the heavens and the earth taipei caves books ltd 1986 ian g pearce madhava of sangamagramma w mactutor history of mathematics archive on line 2002 dostęp 2009 03 24 zarchiwizowane z tego adresu 2006 05 05 ang r p kostecki krótka historia matematyki p d e dziedziny matematyki działy ogólne matematyka czysta matematyka dyskretna matematyka elementarna matematyka wyższa działy szczegółówe algebra elementarna liniowa i wieloliniowa abstrakcyjna algebra przemienna teoria galois teoria grup teoria liego homologiczna uniwersalna teoria reprezentacji analiza matematyczna analiza funkcjonalna analiza harmoniczna analiza niestandardowa analiza numeryc...