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kodierverfahren das einen kürzeren code generieren könnte wenn die auftrittswahrscheinlichkeiten der symbole bekannt sind geschichte bearbeiten quelltext bearbeiten im jahre 1951 hatten david a huffman und seine klassenkameraden am mit im kurs informationstheorie die wahl zwischen einer seminararbeit und einer abschlussprüfung die seminararbeit betreut von professor robert m fano sollte die findung des effizientesten binären codes thematisieren huffman der nicht in der lage war die effizienz eines codes zu beweisen war nur knapp vor dem entschluss aufzugeben und sich für die abschlussprüfung vorzubereiten als er auf die idee stieß einen frequenzsortierten binärbaum zu verwenden und somit in kürzester zeit jene methode als effizienteste beweisen konnte auf diese weise übertraf huffman seinen professor fano der gemeinsam mit dem begründer der informationstheorie claude shannon einen ähnlichen code entwickelte indem huffman den baum von unten nach oben anstatt von oben nach unten erstellte vermied er die größte schwachstelle der suboptimalen shannon fano kodierung 4 algorithmus bearbeiten quelltext bearbeiten veranschaulichung einer huffman kodierung das quellalphabet ist x _ a b c d e displaystyle x _ a b c d e und das codealphabet ist c 0 1 displaystyle c 0 1 schritt 1 zeigt den originaltext die schritte 2 bis 6 erzeugen den baum der fertige baum in schritt 6 wird durchlaufen um das codebuch zu erzeugen schritt 7 zeigt das codebuch und schritt 8 den codierten text definitionen x displaystyle x ist das quellalphabet der zeichenvorrat aus dem die quellsymbole bestehen p x displaystyle p_ x ist die a priori wahrscheinlichkeit und relative häufigkeit des symbols x displaystyle x die relative häufigkeit c displaystyle c ist das codealphabet der zeichenvorrat aus dem die codewörter bestehen m displaystyle m ist die mächtigkeit c displaystyle vert c vert des codealphabetes c displaystyle c die anzahl der verschiedenen zeichen erzeugen des baumes ermittle für jedes quellsymbol die relative häufigkeit d h zähle wie oft jedes zeichen vorkommt und teile durch die anzahl aller zeichen erstelle für jedes quellsymbol einen einzelnen knoten die einfachste form eines baumes und notiere im knoten die häufigkeit wiederhole die folgenden schritte so lange bis nur noch ein einziger baum übrig ist wähle die m displaystyle m teilbäume mit der geringsten häufigkeit in der wurzel bei mehreren möglichkeiten die teilbäume mit der geringsten tiefe fasse diese bäume zu einem neuen teil baum zusammen notiere die summe der häufigkeiten in der wurzel konstruktion des codebuchs ordne jedem kind eines knotens eindeutig ein zeichen aus dem codealphabet zu lies für jedes quellsymbol blatt im baum das codewort aus beginne an der wurzel des baums die codezeichen auf den kanten des pfades von oben nach unten ergeben das zugehörige codewort kodierung lies ein quellsymbol ein ermittle das zugehörige codewort aus dem codebuch gib das codewort aus mittlere wortlänge bearbeiten quelltext bearbeiten die mittlere länge eines codeworts kann auf drei arten berechnet werden über die gewichtete summe der codewortlängen l x x p x l x displaystyle overline l sum _ x in x p_ x l_ x die summe aus der anzahl der schritte im baum multipliziert mit der häufigkeit eines symbols indem man die auftrittswahrscheinlichkeiten an allen zwischen knoten des huffman baums summiert bei ausschließlich gleicher häufigkeit der zu codierenden elemente ist die mittlere länge l log 2 m displaystyle l log _ 2 m mit m n displaystyle m in n als anzahl der zu codierenden elemente beispiel bearbeiten quelltext bearbeiten ein huffman baum die wurzel des baumes befindet sich rechts die blätter links das quellalphabet sei x a b c d displaystyle x a b c d als codealphabet wählen wir den binärcode c 0 1 displaystyle c 0 1 und m c 2 displaystyle m vert c vert 2 der text a a b a b c a b c d displaystyle aababcabcd soll komprimiert werden zuerst werden die relativen häufigkeiten bestimmt p a 0 4 p b 0 3 p c 0 2 p d 0 1 displaystyle begin aligned p_ a 0 4 p_ b 0 3 p_ c 0 2 p_ d 0 1 end aligned es wird ein huffman baum konstruiert und anschließend die codewörter an den kanten eingetragen siehe bild rechts daraus ergibt sich folgendes codebuch a 1 b 01 c 001 d 000 displaystyle begin aligned a rightarrow 1 b rightarrow 01 c rightarrow 001 d rightarrow 000 end aligned mit diesem codebuch wird der ursprüngliche text kodiert originaltext a a b a b c a b c d kodierter text 1 1 01 1 01 001 1 01 001 000 diese huffman kodierung kodiert jedes symbol mit durchschnittlich l 0 4 1 0 3 2 0 2 3 0 1 3 0 4 0 6 0 6 0 3 1 9 displaystyle overline l 0 4 cdot 1 0 3 cdot 2 0 2 cdot 3 0 1 cdot 3 0 4 0 6 0 6 0 3 1 9 bit das ist die mittlere codewortlänge bei einer naiven kodierung würde jedes der 4 symbole mit log 2 4 2 displaystyle log _ 2 4 2 bit kodiert die entropie liegt bei h x 0 4 log 2 0 4 0 3 log 2 0 3 0 2 log 2 0 2 0 1 log 2 0 1 0 529 0 521 0 464 0 332 1 85 bit je symbol displaystyle begin aligned h x 0 4 cdot log _ 2 0 4 0 3 cdot log _ 2 0 3 0 2 cdot log _ 2 0 2 0 1 cdot log _ 2 0 1 0 529 0 521 0 464 0 332 1 85 text bit je symbol end aligned bit pro symbol dadurch dass der informationsgehalt je quellsymbol keine ganze zahl ist verbleibt bei der kodierung eine rest redundanz dekodierung bearbeiten quelltext bearbeiten zur dekodierung eines huffman kodierten datenstroms ist beim klassischen verfahren das im kodierer erstellte codebuch notwendig grundsätzlich wird dabei umgekehrt als im kodierungsschritt vorgegangen der huffman baum wird im dekodierer wieder aufgebaut und mit jedem eingehenden bit ausgehend von der wurzel der entsprechende pfad im baum abgelaufen bis man an einem blatt ankommt dieses blatt ist dann das gesuchte quellsymbol und man beginnt mit der dekodierung des nächsten symbols wieder an der wurzel beispiel bearbeiten quelltext bearbeiten der dekodierer hat das codebuch a 1 b 01 c 001 d 000 displaystyle begin aligned a rightarrow 1 b rightarrow 01 c rightarrow 001 d rightarrow 000 end aligned und die empfangene nachricht 1101101001101001000 jetzt wird für jedes empfangene bit ausgehend von der wurzel der pfad im baum abgelaufen bis ein blatt erreicht wurde siehe abbildung sobald ein blatt erreicht wurde speichert der dekodierer das symbol des blattes und beginnt wieder bei der wurzel bis das nächste blatt erreicht wird daraus ergibt sich der dekodierte text kodierter text 1 1 01 1 01 001 1 01 001 000 dekodierter text a a b a b c a b c d programmierung bearbeiten quelltext bearbeiten die folgende beispielcode in der programmiersprache c zeigt eine implementierung der huffman kodierung als konsolenanwendung für den huffman baum wird ein min heap mit einer vorrangwarteschlange verwendet 5 6 code schnipsel include iostream include map include queue include vector using namespace std datentyp für die knoten des huffman tree struct minheapnode char symbol int frequency häufigkeit des symbols minheapnode left right linker und rechter kindknoten konstruktor minheapnode char symbol int frequency left right null this symbol symbol this frequency frequency deklariert einen vergleichsoperator für die konten des min heap struct compare bool operator minheapnode node1 minheapnode node2 return node1 frequency node2 frequency diese rekursive funktion erzeugt das codebuch für die huffman kodierung und speichert es in der variable dictionary void createdictionary struct minheapnode node string codeword map char string dictionary if node null return abbruchbedingung wenn kein linker oder rechter teilbaum vorhanden ist if node symbol wenn der knoten kein innerer knoten also ein blatt ist dictionary insert map char string value_type node symbol codeword fügt die kombination aus symbol und codewort dem codebuch hinzu createdictionary node left codeword 0 dictionary rekusiver aufruf für den linken teilbaum das codesymbol 0 für die linke kante wird angefügt createdictionary node right codeword 1 dictionary rekusiver aufruf für den rechten teilbaum das codesymbol 1 für die rechte kante wird angefügt diese funktion erzeugt einen huffman tree als min heap und gibt einen zeiger auf den wurzelknoten zurück die knoten des min heap werden in einer vorrangwarteschlange gespeichert minheapnode createhuffmantree char symbols int frequencies int symbolscount struct minheapnode left right top zeiger auf den linken kindknoten rechten kindknoten und elternknoten priority_queue minheapnode vector minheapnode compare minheap vorrangwarteschlange für den min heap fügt die knoten mit symbol und häufigkeit in die vorrangwarteschlange ein for int i 0 i symbolscount i minheap push new minheapnode symbols i frequencies i der huffmantree wird schrittweise erzeugt bis sich alle knoten einem baum befinden und nur noch der wurzelknoten in der vorrangwarteschlange ist while minheap size 1 solange die anzahl der knoten in der vorrangwarteschlange nicht 1 ist entfernt die zwei knoten mit der kleinsten häufigkeit aus der vorrangwarteschlange left minheap top minheap pop right minheap top minheap pop erzeugt einen neuen inneren knoten mit der summe der häufigkeiten der zwei knoten zur unterscheidung von den quellsymbolen in den blättern wird das symbol verwendet top new minheapnode left frequency right frequency fügt die zwei knoten mit der kleinsten häufigkeit als linken und rechten kindknoten des neuen inneren knoten in den baum ein top left left top right right minheap push top fügt den neuen knoten in die vorrangwarteschlange ein return minheap top gibt einen zeiger auf den wurzelknoten zurück hauptfunktion die das programm ausführt int main string inputtext cin inputtext eingabe des texts über die konsole vector char symbolsvector vektor für die verschiedenen symbole vector int frequenciesvector vektor für die häufigkeit der symbole die symbole und die entsprechenden häufigkeiten werden ermittelt und in den vektoren gespeichert for int i 0 i inputtext length i for schleife die die symbole des texts durchläuft char currentsymbol inputtext i bool isfound false int j 0 diese while schleife durchsucht den vektor nach dem symbol wenn das symbol gefunden ist bricht sie ab while isfound j symbolsvector size char symbol symbolsvector j if symbol currentsymbol wenn symbol gefunden frequenciesvector j häufigkeit um 1 erhöhen isfound true j if isfound wenn symbol nicht gefunden symbolsvector push_back currentsymbol symbol hinzufügen frequenciesvector push_back 1 häufigkeit 1 hinzufügen int symbolscount symbolsvector size char symbols new char symbolscount array für die verschiedenen symbole int frequencies new int symbolscount array für die häufigkeit der symbole speichert die elemente der vektoren in den arrays for int i 0 i symbolscount i symbols i symbolsvector i frequencies i frequenciesvector i map char string dictionary dictionary für das codebuch minheapnode huffmantree createhuffmantree symbols frequencies symbolscount funktionsaufruf für das erzeugen des huffman tree createdictionary huffmantree dictionary funktionsaufruf für das erzeugen des codebuchs for auto iterator dictionary cbegin iterator dictionary cend iterator for schleife die die elemente des codebuch dictionary durchläuft cout iterator first iterator second endl ausgabe des codebuch auf der konsole for int i 0 i inputtext length i cout dictionary inputtext i liest die codewörter für die einzelnen symbole aus dem codebuch dictionary aus und gibt den kodierten text auf der konsole aus cout endl optimalität bearbeiten quelltext bearbeiten für mittlere codewortlänge l displaystyle overline l eines huffman codes gilt 7 h x l h x 1 displaystyle mathrm h x leq overline l leq mathrm h x 1 das bedeutet im mittel benötigt jedes codesymbol mindestens so viele stellen wie sein informationsgehalt höchstens jedoch eine mehr l h x displaystyle overline l mathrm h x gilt genau dann wenn alle wahrscheinlichkeiten zweierpotenzen sind 2 m x m x n displaystyle 2 m_ x m_ x in mathbb n in dem fall sagt man die huffman kodierung sei optimal bezüglich der entropie fasst man n displaystyle n quellsymbole zu einem großen symbol y displaystyle y zusammen so gilt für die mittleren codesymbollängen l y displaystyle overline l _ y h n x l y h n x 1 n displaystyle mathrm h _ n x leq overline l _ y leq mathrm h _ n x frac 1 n das heißt mit zunehmender anzahl n displaystyle n gemeinsam kodierter quellsymbole geht die mittlere codewortlänge asymptotisch gegen die entropie die huffman kodierung ist asymptotisch optimal diese optimalität der huffman kodierung lässt sich mit vollständiger induktion beweisen 8 9 adaptive huffman kodierung bearbeiten quelltext bearbeiten die adaptive huffman kodierung aktualisiert laufend den baum der anfängliche baum wird erzeugt indem eine vorgegebene wahrscheinlichkeitsverteilung für alle quellsymbole angenommen wird bei völliger unkenntnis der quelle eine gleichverteilung mit jedem neuen quellsymbol wird dieser aktualisiert wodurch sich ggf auch die codesymbole ändern dieser aktualisierungsschritt kann im dekodierer nachvollzogen werden so dass eine übertragung des codebuchs nicht nötig ist mit dieser methode kann ein datenstrom on the fly kodiert werden er ist jedoch erheblich anfälliger für übertragungsfehler da ein einziger fehler zu einer ab der fehlerstelle komplett falschen dekodierung führt siehe auch bearbeiten quelltext bearbeiten arithmetisches kodieren bereichskodierung shannon fano kodierung tunstall kodierung asymmetric numeral systems context adaptive binary arithmetic coding literatur bearbeiten quelltext bearbeiten thomas m cover joy a thomas elements of information theory weblinks bearbeiten quelltext bearbeiten freie universität berlin institut für informatik präfixcodes und der huffman algorithmus swisseduc huffman code paul e black national institute of standards and technology huffman coding dictionary of algorithms and data structures huffman tree generator web application einzelnachweise bearbeiten quelltext bearbeiten d a huffman a method for the construction of minimum redundancy codes in proceedings of the i r e september 1952 s 1098 1101 compression ru pdf david wagner university of california berkeley data compression via huffman coding northeastern university priority queue heapsort huffman code profil david a huffman geeksforgeeks huffman coding rosetta code huffman coding strutz bilddatenkompression springervieweg 2009 university of california berkeley proof of optimality of huffman coding university of toronto proof of optimality of huffman codes abgerufen von https de wikipedia org w index php title huffman kodierung oldid 227868882 kategorien datenkompression kodierungstheorie versteckte kategorie wikipedia vorlagenfehler vorlage cite journal parameter language fehlt navigationsmenü meine werkzeuge nicht angemeldet diskussionsseite beiträge benutzerkonto erstellen anmelden namensräume artikel diskussion deutsch ansichten lesen bearbeiten quelltext bearbeiten versionsgeschichte weitere suche navigation 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