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ゆるゆる物理 ときどき数学 physics mathematics blog ゆるゆる物理 ときどき数学 いつかは標準模型を理解したいという野望を胸に 主に相対論と量子論を基礎からゆるゆると独習中 さびついた頭で 果たしてどこまでいけるのか 自分の理解のためだけに書いています 間違いや思い込み多数につき ご注意を 標準的な写像 標準的な写像 自然な写像 u を v の部分空間とするとき v v u の写像 pi v ni x mapsto bar x in v u を 標準的な写像 自然な写像 という 同値類に関する演算の定義から 線形写像である 商集合の定義から 全射である 標準的な写像 pi は 以下の性質を持つ 1 rm ker pi u 2 rm im pi v u 3 rm dim v u rm dim v rm dim u 証明 1 x in u leftrightarrow x 0 in u leftrightarrow bar x bar 0 leftrightarrow x in rm ker pi 2 v u の定義から全射である 3 核と像の性質 より rm dim v rm dim ker pi rm dim im pi 証明終了 参考文献 1 岩堀長慶編 線形代数学 裳華房 tweet ジャンル 学問 文化 芸術 テーマ 数学 数学 線形代数 コメント 0 2021 03 13 19 07 商空間 和空間は 生け花と掛け軸が似合いましたが 商空間は 洗練されたテーブルとチェアが並んでそうです 体 k 上の線形空間 v の部分空間 u があるとき x y in v に対して x y in u であることを x sim y と定めると sim は同値関係となる 証明 u が線形空間であることより 反射律 x x 0 in u 対称律 x y in u ならば y x x y in u 推移律 x y y z in u ならば x z x y y z in u 証明終了 この同値関係による商集合を v u bar v と書く x in v を含む類を bar x in v u と書き 類に関する演算を 1 bar x bar y overline x y 2 alpha bar x overline alpha x alpha in k と定義すると v u は線形空間となる v u を 商空間 と呼ぶ 証明 演算が well defined であること bar x bar x bar y bar y とする x y x y x x y y in u より overline x y overline x y alpha x alpha x alpha x x in u より overline alpha x overline alpha x 演算の結果は代表元の取り方によらない 線形空間であること bar x bar y bar z overline x y z overline x y z bar x bar y bar z bar x bar y overline x y overline y x bar y bar x bar x bar 0 overline x 0 bar x とその交換 より bar 0 が零ベクトル bar x overline x overline x x bar 0 とその交換 より overline x bar x 逆ベクトル alpha beta bar x overline alpha beta x overline alpha x beta x alpha bar x beta bar x alpha bar x bar y overline alpha x y overline alpha x alpha y alpha bar x alpha bar y alpha beta bar x overline alpha beta x overline alpha beta x alpha beta bar x 1 bar x overline 1x bar x 証明終了 参考文献 1 岩堀長慶編 線形代数学 裳華房 tweet ジャンル 学問 文化 芸術 テーマ 数学 数学 線形代数 コメント 0 2021 03 13 12 53 電磁場の量子化再論 11 光子の運動量 電磁場の運動量を生成消滅演算子で表す e と b の表式 bf e iv 1 2 sum_ k alpha sqrt hbar omega 2 epsilon_ k alpha a_ k alpha e i bf k cdot x a dagger_ k alpha e i bf k cdot x tag 1 bf b iv 1 2 sum_ k alpha c sqrt hbar 2 omega bf k times epsilon_ k alpha a_ k alpha e i bf k cdot x a dagger_ k alpha e i bf k cdot x tag 2 を用いて 電磁場の運動量 bf p frac 1 c int bf e times bf b d 3x tag 3 を計算する 周期的境界条件から得られる性質 v 1 int e i bf k bf k cdot bf x d 3x delta_ bf kk tag 4 を利用すると bf p sum_ k k sum_ alpha alpha frac hbar 2 epsilon times bf k times epsilon aa a dagger a dagger delta_ k k aa dagger a dagger a delta_ k k tag 5 となる ただし プライム記号については a a_ k alpha などと略記した ここで epsilon times bf k times epsilon bf k epsilon cdot epsilon epsilon epsilon cdot bf k tag 6 であり また 5 の の部分は bf k pm bf k のみ生き残ることを考慮すると epsilon cdot bf k pm epsilon cdot bf k 0 で 6 の第2項は消える 次に 6 の第1項については bf k bf k の時 epsilon cdot epsilon delta_ alpha alpha で bf k bf k の時 epsilon cdot epsilon pm delta_ alpha alpha α 1 2 で逆符号 である よって 5 の の部分の第1項については pm bf k a_ k alpha a_ k alpha と pm bf k a dagger_ k alpha a dagger_ k alpha の項で構成され k に関する奇関数となるため 最終的に k 空間全体で和を取ると消える 結局 5 の第2項と 6 の第1項の積から成る部分のみが残り bf p sum_ k alpha frac hbar 2 bf k a_ k alpha a dagger_ k alpha a dagger_ k alpha a_ k alpha tag 7 と整理される 光子数演算子を用いると bf p sum_ k alpha hbar bf k left n_ k alpha frac 1 2 right tag 8 と書ける ここで hbar bf k 2 の項は k 空間全体で和を取るとゼロになるので bf p sum_ k alpha hbar bf k n_ k alpha tag 9 となる すなわち k α で指定されるモードに入る光子一個あたりの運動量は hbar bf k であると考えられる 参考文献 1 j j sakurai advanced quantum mechanics tweet ジャンル 学問 文化 芸術 テーマ 自然科学 電磁場の量子化 コメント 0 2018 12 23 23 29 電磁場の量子化再論 10 電磁場の演算子による表示 電磁場を生成消滅演算子で表示する 電磁場のフーリエ表示 bf a bf x t v 1 2 sum_ bf k alpha epsilon_ k alpha left c_ k alpha t e i bf k cdot bf x c _ k alpha t e i bf k cdot bf x right tag 1 に生成消滅演算子の定義から得られる c と a の関係式 c_ k alpha c sqrt hbar 2 omega times a_ k alpha tag 2 を代入すると bf a bf x t v 1 2 sum_ bf k alpha c sqrt hbar 2 omega epsilon_ k alpha left a_ k alpha t e i bf k cdot bf x a dagger_ k alpha t e i bf k cdot bf x right tag 3 となる 生成消滅演算子の時間発展 a_ k alpha t a_ k alpha 0 e i omega t tag 4 1 a dagger_ k alpha t a dagger_ k alpha 0 e i omega t tag 4 2 を代入すると bf a bf x t v 1 2 sum_ bf k alpha c sqrt hbar 2 omega epsilon_ k alpha left a_ k alpha 0 e i bf k cdot bf x omega t a dagger_ k alpha 0 e i bf k cdot bf x omega t right tag 5 となる 次に bf e 1 c partial bf a partial t と bf b nabla times bf a を求める bf e iv 1 2 sum_ k alpha sqrt hbar omega 2 epsilon_ k alpha a_ k alpha 0 e i bf k cdot x omega t a dagger_ k alpha 0 e i bf k cdot x omega t tag 6 bf b iv 1 2 sum_ k alpha c sqrt hbar 2 omega bf k times epsilon_ k alpha a_ k alpha 0 e i bf k cdot x omega t a dagger_ k alpha 0 e i bf k cdot x omega t tag 7 tweet ジャンル 学問 文化 芸術 テーマ 自然科学 電磁場の量子化 コメント 0 2018 12 23 12 57 電磁場の量子化再論 9 生成消滅演算子の時間発展 ハミルトニアンを使って 生成消滅演算子の時間発展を調べる ハミルトニアンを用いると 生成消滅演算子の時間発展は dot a _ k alpha frac 1 i hbar a_ k alpha h tag 1 1 dot a dagger_ k alpha frac 1 i hbar a dagger_ k alpha h tag 1 2 と表せる ハミルトニアンは h sum_ k alpha hbar omega n_ k alpha tag 2 であるから a_ k alpha n_ k alpha delta_ kk delta_ alpha alpha a_ k alpha tag 3 1 a dagger_ k alpha n_ k alpha delta_ kk delta_ alpha alpha a dagger_ k alpha tag 3 2 を用いると 以下の時間発展の方程式が得られる dot a _ k alpha i omega a_ k alpha tag 4 1 dot a dagger_ k alpha i omega a dagger_ k alpha tag 4 2 これを解くと a_ k alpha t a_ k alpha 0 e i omega t tag 5 1 a dagger_ k alpha t a dagger_ k alpha 0 e i omega t tag 5 2 となる 参考文献 1 j j sakurai advanced quantum mechanics tweet ジャンル 学問 文化 芸術 テーマ 自然科学 電磁場の量子化 コメント 0 2018 12 16 18 08 home next アクセスカウンター 最近の記事 コメント は まだ書きかけの記事 標準的な写像 商空間 電磁場の量子化再論 11 光子の運動量 電磁場の量子化再論 10 電磁場の演算子による表示 電磁場の量子化再論 9 生成消滅演算子の時間発展 電磁場の量子化再論 8 光子のエネルギー エネルギー問題 電磁場の運動量 電磁場のエネルギー 再 e と d b と h の関係 媒質中のマックスウェル方程式 2 mksa 媒質中のマックスウェル方程式 1 へヴィサイド ローレンツ 球面調和関数 6 球面調和関数 5 球面調和関数 4 球面調和関数 3 球面調和関数 2 正規部分群 剰余群 群の準同型 同型 生成元 巡回群 元の位数 電磁場の量子化再論 8 光子のエネルギー no title コメント ありがとうございます ブログを放置していたため 大変遅くなり 申し訳ありません また 少しずつ更新していけたらと思っています よろしくお願いします dyne 研二さん 電磁場の量子化再論 8 光子のエネルギー no title アインシュタインの式が場の量子論で意味づけされたってことですね 最近更新されてない 待ってます 研二 3次ルンゲ クッタ法 鍵コメさんへ コメントありがとうございます 10 2 については y f x y f x y x ですから y は f を x で偏微分したもの fx と f を y で偏微分して fy さらに y dyne 鍵コメさん 逆関数の微分 no title お久しぶりです お返事が遅くなってしまい すみません 有用な情報をありがとうございました 最近 この系統の勉強をしていないため すぐに頭に入りませんが dyne いもむしさん 逆関数の微分 定理がある おひさです この問題の答えがありました ブラウワーの invariance of domain 定理と呼ばれています https en wikipedia org wiki invariance_of_domain いもむし p fmt_parent_tail p fmt_tail catch e p p error p 原因不明のエラーが発生しました p 作者に連絡すれば もしかすると対応できるかもしれません p が できないかもしれません p e description e description p e number e number p 最近の記事 標準的な写像 03 13 商空間 03 13 電磁場の量子化再論 11 光子の運動量 12 23 電磁場の量子化再論 10 電磁場の演算子による表示 12 23 電磁場の量子化再論 9 生成消滅演算子の時間発展 12 16 電磁場の量子化再論 8 光子のエネルギー 12 16 エネルギー問題 01 21 電磁場の運動量 01 06 電磁場のエネルギー 再 08 26 e と d b と h の関係 08 25 媒質中のマックスウェル方程式 2 mksa 08 25 媒質中のマックスウェル方程式 1 へヴィサイド ローレンツ 08 24 球面調和関数 6 05 11 球面調和関数 5 05 11 球面調和関数 4 04 24 球面調和関数 3 04 21 球面調和関数 2 04 19 正規部分群 剰余群 04 18 群の準同型 同型 04 15 生成元 巡回群 元の位数 04 15 最近のコメント dyne 研二さん 電磁場の量子化再論 8 光子のエネルギー 03 09 研二 電磁場の量子化再論 8 光子のエネルギー 02 12 dyne 鍵コメさん 3次ルンゲ クッタ法 07 05 dyne いもむしさん 逆関数の微分 04 19 いもむし 逆関数の微分 04 09 数式が小さくて読みにくい方へのヒント 当ブログでは 数式表示にmathjaxを利用しています 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08 4 2016 05 2 2016 04 9 2016 03 5 2016 02 6 2016 01 2 2015 12 2 2015 11 10 2015 10 15 2015 09 5 2015 08 8 2015 07 1 2015 06 10 2015 05 4 2015 04 6 2015 03 9 2015 02 12 2015 01 12 2014 12 15 2014 11 12 2014 10 17 2014 09 8 2014 08 5 2014 07 3 2014 06 4 2014 05 19 2014 04 31 2014 03 19 2014 02 24 2014 01 17 2013 12 10 2013 11 4 2013 10 10 2013 09 11 2013 08 11 2013 07 5 2013 06 7 2013 05 10 2013 04 6 2013 03 3 2013 02 3 2013 01 3 2012 12 4 2012 09 3 2012 08 1 2012 07 2 2012 06 3 2012 05 6 2012 04 5 2012 03 7 2012 02 5 2012 01 3 2011 12 3 2011 08 1 2011 07 1 2011 06 4 2011 05 5 2011 04 13 2011 03 3 2011 02 2 2010 04 1 2009 07 3 2009 03 1 2008 11 1 検索フォーム rssリンクの表示 最近記事のrss 最新コメントのrss 最新トラックバックのrss リンク 無断でリンクさせていただいているものを含みます ご支障がございましたら すぐに解除致しますので コメントにてお知らせください let s millcreek 本家ブログ ビートルズの新しい解析のページ 数理物理と昭和subculture アトムノート t_nakaの阿房ブログ fallen physicist rising engineer 雅楽多文書館 toshiの宇宙 ジャジャガッチブログ 新 加納裕のblogです まったりと生きる 鎌倉の石塔 周辺の風景 memorandum engine とね日記 竜太のブログ お父さんのメモ帳 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