Meta tags:
Headings (most frequently used words):
位相幾何学, 目次, 歴史, 主要な概念, 主要な話題, 応用, 脚注, 参考文献, 関連文献, 関連項目, 外部リンク, 集合上の位相, 連続写像と同相写像, 多様体, 一般位相, 代数的位相幾何学, 微分位相幾何学, 幾何学的位相幾何学, 一般化, センサーネットワークの被覆問題, アモルファスの構造解析とパーシステント図, 注釈, 出典,
Text of the page (most frequently used words):
topology (35), isbn (28), 位相幾何学 (17), 英語版 (14), および (11), and (10), トポロジー (10), 978 (8), the (7), general (7), 詳細は (7), を参照 (7), 位相空間 (7), 共立出版 (6), 幾何学的位相幾何学 (6), #微分位相幾何学 (6), 代数的位相幾何学 (6), mathematics (5), 朝倉書店 (5), 岩波書店 (5), ndljp (5), geometric (5), analysis (5), situs (5), 幾何学 (4), introduction (4), 254 (4), 河田敬義 (4), 位相数学 (4), 2006 (4), 位相空間論 (4), 一般位相 (4), である (4), 開集合 (4), と呼ばれる (4), 多様体 (4), 非表示 (4), サイドバーに移動 (4), コモンズ (3), wikipedia (3), 集合論 (3), press (3), 320 (3), 日本評論社 (3), 培風館 (3), verlag (3), 1982 (3), コトバンク (3), 例えば (3), 連結性 (3), コンパクト性 (3), 109 (2), 個の言語版 (2), 目次の表示 (2), 非表示を切り替え (2), カテゴリ (2), https (2), data (2), ポータル (2), 国際産業数理 (2), 数学史 (2), グラフ理論 (2), 偏微分方程式 (2), 代数学 (2), atlas (2), course (2), geometry (2), topological (2), elementary (2), com (2), ウィキメディア (2), 外部リンク (2), パーシステントホモロジー (2), 位相的データ解析 (2), クラインの壺 (2), 関連項目 (2), 535 (2), 安藤哲哉 (2), northcott (2), シュプリンガー (2), 431 (2), 563 (2), 菅原正博 (2), 中岡稔 (2), 12405045 (2), michael (2), dover (2), publications (2), 486 (2), provides (2), möbius (2), 2000 (2), groupoids (2), spaces (2), 387 (2), springer (2), john (2), james (2), north (2), holland (2), 444 (2), pure (2), 関連文献 (2), 参考文献 (2), cambridge (2), university (2), point (2), 2002 (2), what (2), 521 (2), algebraic (2), prentice (2), hall (2), ライプニッツ (2), あるいは (2), アモルファスの構造解析とパーシステント図 (2), センサーネットワークの被覆問題 (2), と呼ぶ (2), ホモトピー (2), 結び目 (2), 一般化 (2), 四次元 (2), を扱う分野である (2), とも近しい関係にあり (2), これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される (2), 微分幾何学 (2), 可微分写像 (2), 可微分多様体 (2), ホモロジー群 (2), ホモトピー群 (2), 距離空間 (2), 主要な話題 (2), はそうでない (2), と呼ばれ (2), トーラス (2), であるとは (2), これは (2), 同相写像 (2), 連続写像と同相写像 (2), 集合上の位相 (2), 主要な概念 (2), カントール (2), ポアンカレ (2), リーマン (2), オイラー (2), について研究する (2), も含まれる (2), を意味する (2), 履歴を表示 (2), ツール (2), english (2), norsk (2), bahasa (2), беларуская (2), ログイン (2), アカウント作成 (2), ヘルプ (2), メインメニュー (2), 話題を追加, モバイルビュー, cookieに関する声明, 開発者, 行動規範, 法律および安全に関する連絡先, 免責事項, ウィキペディアについて, プライバシー, ポリシー, テキストは, のもとで利用できます, 追加の条件が適用される場合があります, 詳細については, を参照してください, 利用規約, クリエイティブ, 継承ライセンス, ページは, によってレンダリングされました, parsoid, 最終更新, 2026年9月17日, 日時は, で未設定ならば, utc, 個人設定, 隠しカテゴリ, 日本語版記事がリダイレクトの仮リンクを含む記事, curlieリンクを使用している記事, 参照方法, 書きかけの節のある項目, isbnマジックリンクを使用しているページ, 数学に関する記事, から取得, org, index, php, title, oldid, 111045311, yale, lux, その他, イスラエル, ラトビア, チェコ, bnf, フランス, アメリカ, ドイツ, 国立図書館, fast, 典拠管理データベース, エポニム, 数学者, 数学記号, 数学定数, ステクロフ数学研究所, cimat数学研究センター, クレイ研究所, オーバーヴォルファッハ数学研究所, アンリ, ポアンカレ研究所, 統計数理研究所, 明治大学先端数理科学インスティテュート, 京都大学数理解析研究所, 研究所, 人の最大の力を競う算数, 数学の大会, 近畿大学数学コンテスト, 広中杯, 日本ジュニア数学オリンピック, 日本数学オリンピック, 国際数学オリンピック, 数学教育協議会, 日本数学会, 日本応用数理学会, ロンドン数学会, ヨーロッパ数学会, siam, アメリカ数学会, 応用数理評議会, 応用数理会議, 国際数学連合, 国際数学者会議, 偏微分方程式の数値解法, 常微分方程式の数値解法, 数値線形代数, 計算機援用証明, 精度保証付き数値計算, 数値解析, 囲碁と数学, 折紙の数学, 情報理論, クレイ研究賞, ヨーロッパ数学会賞, 数学ブレイクスルー賞, アーベル賞, ショウ賞, ウルフ賞, スティール賞, フィールズ賞, コール賞, モルガン, メダル, 主要賞, 数学教育, 未解決問題, 数理哲学, トピックス, 三角法, 制御理論, 数理統計学, 確率論, 計算理論, 数理最適化, 最適化問題, ゲーム理論, 数理物理学, 組合せ数学, 力学系, 積分微分方程式, 常微分方程式, 複素微分方程式, 線型微分方程式, 微分方程式, リー理論, 表現論, 代数的位相, 行列解析, 関数解析学, 微分積分学, 解析学, 多重線型, 数理論理学, 主要分野, bastian, rieck, meets, machine, learning, using, euler, characteristic, transform, notices, ams, aug, 2025, ホモロジー群と基本群について, 幾何学ii, utokyo, opencourseware, historical, essay, hassler, whitney, 2006年10月6日アーカイブ分, ウェイバックマシン, moscow, 1935, moving, towards, america, glossary, aisling, mccluskey, brian, mcmaster, lecture, notes, center, zoo, curlie, viro, ivanov, netsvetaev, kharlamov, first, 2001, 1994, ems, encyclopedia, nlab, weisstein, eric, mathworld, wolfram, ウィキブックスに, 関連の解説書, 教科書があります, コモンズには, に関連するメディアがあります, 位相幾何学者の正弦曲線, アレクサンダーの角付き球面, カラビ, ヤウ多様体, 阿原一志, 計算で身につくトポロジー, 2013年7月15日, 11039, 寺澤順, トポロジーへの招待, 2012年4月25日, 78574, ホモロジー代数学, 数学書房, 2010年3月10日, 903342, ホモロジー代数入門, 2010年2月25日, 01916, 森下昌紀, 結び目と素数, ジャパン, 2009年4月2日, これは数論的位相幾何学の本, 10052, 北田韶彦, 位相空間とその応用, 2007年1月25日, 11762, 佐久間一浩, トポロジー集中講義, オイラー標数をめぐって, 2006年7月20日, 00365, 服部晶夫, 多様体のトポロジー, 2003年8月26日, 005646, コホモロジー, 2002年7月20日, 78353, 枡田幹也, 代数的トポロジー, 2002年2月25日, 11595, 小宮克弘, 位相幾何入門, 裳華房, 2001年10月25日, 7853, 1528, veblen, ヴェブレンの位相幾何学, 森北出版, 1970年5月25日, 河内明夫, 線形代数からホモロジーへ, 2000年4月26日, 00284, ボット, トゥー著, 三村護, 微分形式と代数トポロジー, フェアラーク東京, 1996年11月1日, 70707, 一樂重雄, 1993年12月1日, 11438, fomenko, fuchs, gutenmacher, ホモトピー論, 幻想の世界から位相幾何学へ, 1989年6月25日, 01420, 1977年11月10日, 田村一郎, 岩波全書276, 1972年4月27日, ホモロジー論, 1970年3月10日, 松坂和夫, 位相入門, 1968年6月10日, 大口邦雄, 1967年8月30日, 11656, 小松醇郎, 1967年6月22日, 005027, 1965年9月28日, ウォーレス, 位相幾何学入門, 共立全書522, 1961年1月5日, 吉田耕作, 岩村聯, 位相解析の基礎, 1960年2月29日, 1956年6月30日, フランク, ギブニー, 改訂版, 1984年, 125, 128頁, ndl, info, pid, tbsブリタニカ, ブリタニカ国際大百科事典, 和書も挙げる, gemignani, 1990, 1967, 2nd, inc, 66522, popular, thunder, mouth, 56025, 826, strip, august, marvelous, band, games, literature, art, technology, cosmology, pickover, clifford, wacław, sierpiński, 41148, well, motivated, account, shows, use, discussing, orbit, covering, van, kampen, theorem, booksurge, http, pages, bangor, mas010, topgpds, html, 4196, 2722, brown, ronald, 1975, 90125, kelley, breitenberger, johann, benedict, listing, 82375, history, addison, wesley, 1966, elements, bourbaki, ryszard, engelking, heldermann, sigma, series, december, 1989, 88538, 006, 井関清志, 近代数学, 現代数学の黎明期, 1982年, 12608098, 近藤基吉, 数学の流れ30講, 20世紀数学の広がり, 第24講, 第25講, 2009年, 志賀浩二, 記事の, にご協力をお願いいたします, 2013年4月, 信頼性向上, は列挙するだけでなく, などを用いて, してください, どの記述の情報源であるかを明記, 大林一平, 位相的データ解析の現在, 数理解析研究所講究録, 2017年, 第2057巻, 飯野穣, センサネットワークと制御理論, 計測と制御, 2008年, 第47巻, 649, 656, 1962, harvard, dept, 0208, 48701, zbl, grothendieck, topologies, artin, 1983, bulletin, american, mathematical, society, pointless, johnstone, peter, sher, daverman, 82432, handbook, budney, ryan, 2011年, 2013年12月29日閲覧, mathoverflow, net, lee, 95448, smooth, manifolds, allen, hatcher, xii, 544, 79540, 79160, adams, colin, conrad, robert, david, franzosa, applied, pearson, 2008, munkres, vol, upper, saddle, river, 古田幹雄, トポロジーとその, の可能性, 応用数理, 第15巻第1号, 2005年, 52頁, 11540, bjsiam, 1_49, doi, 315, 1969年, 2935183, 469, 世界の名著, 中央公論社, スピノザ, 65f, 316, 日本大百科全書, ニッポニカ, define, dictionary, oxford, dictionaries, 世界大百科事典, 第iii部, 20世紀の数学, 数学講座, 1975年, 12608865, 554n, 筑摩書房, 村田全, の語は, 複数の異なる意味で用いられるので文脈に注意すべきである, もっとも狭義には, 空間内に, の概念を導入する概念である, より広義には本項で言う, の意味で用いられ, また位相幾何学の同義語として, も用いられるが, 最も広義には, 位相幾何学を展開する基礎付けを与える, を指して用いられる, これを, 位置と形相, の学問という意味で, と訳したのは, 氏であり, いくつかの訳語の中からこの訳語を選んだのは, 氏である, 高木貞治, 中村幸四郎, 脚注の使い方, 各原子とそれぞれの点に貼り付けられた半径rの円は, アルファ複体を形成している, 最近接の３原子, si１つと酸素原子２つ, からなる構造, birth, も早いがその分死亡, death, も早い, これがガラスの短距離構造である, 対して, si７個と酸素原子７個からなる構造は誕生が早いのに対して死亡は遅い, これがガラスの中距離構造である, このようにして, リングの誕生と死亡までの時間によりガラスなどのアモルファスの構造を記述できるのである, パーシステントホモロジーにおける手法であるフィルトレーションを用いると, 穴の発生と消滅までの時間という２つの情報, パーシステント図, 短距離, 中距離の構造を抽出することができる, ガラスなどのアモルファス構造は, 結晶とは異なり原子配列に周期性を持たないことから, 構造を適切に表現する記述法として満足なものが得られていなかった, 従来の手法では, 各原子の近傍に関する短距離構造について調べることは可能であったが, アモルファスの構造を理解するには, より広範囲の原子で構成される中距離構造を理解する必要性が報告されていた, 各センサーの被覆や接続情報などの局所的な情報と, 対象領域, の被覆情報であるホモロジー群はリップス複体, rips複体, を形成している, displaystyle, mathcal, ghristの発想としては, 局所的なセンサー間の接続や被覆状況から大域的な情報を抜き出すことができる, パーシステントホモロジーを用いると, センサーネットワークの穴について計算することができる, センサーネットワークにおいてはセンサーの故障が問題となっている, モバイルセンサ, 自律的に動くセンサ, によるセンサーネットワークについて, ホモロジーにより穴の計算をすることにより, 人間の手を介在することなくセンサーを再配置できる, センサーネットワークとは, 多数のセンサーを配置してある領域全体を監視するシステムである, 位相幾何学を発展させたものとして, がある, これは特に応用されており, 以下のような応用例が存在する, 3dcgにおける, 変形を利用している, また立体計測やデジタル, で生成された複雑な, モデルを単純な構造のモデルに作り変える操作をリトポロジー, retopology, ポリゴン, スカルプト, モーフィング, 3次元コンピュータグラフィックス, 形態形成, 経済現象の記述, カタストロフィー理論, 論理体系の, を展開する枠組みとして, の利用, 経路空間のホモロジーによる記述, またネットワークの取り扱いにおいては, を手段として研究され, 一般的には, として知られている, 人工知能の研究分野では, tda, 技術が発展の見込みにある, ネットワーク, 意味論, 情報科学, の存在, の存在の証明に位相空間論の手法が用いられる, ナッシュ均衡, ワルラス均衡, 経済学, をなす分子の, 形状による機能や変形, dnaトポイソメラーゼ, 生物学, など分子構造, フラーレン, の形状, 素粒子の記述体系, の記述, 我々の世界に関する性質, は存在するか, タイムマシン, 超伝導絶縁体, 量子数, 物理学, 応用領域, 位相幾何学の手法を用いると, 抽象的な接続関係に関する性質や微小変形で不変な大域的な性質を扱うことができる, 数学の一分野として整理される以前より, 位相幾何学的手法が単発的に使われてきた, 空間中の二つの電流の相互作用に対する, ガウスの線積分表示など, 二十世紀後半には特に他分野との関連が深まり, 現在でも応用領域は広がっている, この節の, が望まれています, 場合によっては, 位相幾何学の道具が必要だが, 点集合, は使えないという場面に遭遇することもある, 非点集合的位相空間論, では理論の基本概念として開集合の, を考える, は任意の, 上に定義される構造で, それら圏上に, を定義することが可能になり, 一般コホモロジー論の定義を持ち込むことができる, グロタンディーク位相, 点なし位相, 二次元の位相幾何学は一変数の複素幾何として調べることができる, リーマン面は複素曲線である, 一意化定理により, 計量の任意の共形類は一意な複素計量に同値である, また四次元位相幾何学は二変数の複素幾何, 複素曲面, の観点から調べることができるが, 任意の余次元多様体が複素構造を持つわけではない, 低次元位相幾何学は, 二次元における, 任意の曲面が一定曲率計量をもつ, 幾何学的に言えば正曲率, 球面的, 零曲率, 負曲率, 双曲的, の三種類の何れかになる, や三次元における, 任意の三次元多様体は, 各々は可能な八種類の幾何の何れかであるような小片に切り分けることができる, に現れているように, 極めて幾何学的である, 幾何化予想, 一意化定理, 高次元の位相幾何学において, は基本的な不変量であり, は鍵となる理論である, 手術理論, 特性類, は主に低次元, の多様体に焦点を当ててその形状を調べる位相幾何学の分野であるが, より高次元の位相幾何学も一部には含む, 幾何学的位相幾何学の主題には例えば, 平面および高次元の, などがある, シェーンフリースの定理, 局所平坦性, ハンドル分解, 向き付け可能性, より精確に述べれば, 微分位相幾何学は多様体上に, が定義されることのみを必要とする性質や構造を考察する, 滑らかな多様体はほかに余計な幾何学的構造, これらは微分位相幾何学において存在するある種の同値性や, の妨げとなる, を持つ多様体よりは, 柔らかい, 体積や, は同一の滑らかな多様体上で相異なる幾何学的構造を区別することのできる不変量である, つまり, ある種の多様体を滑らかに, 平坦にする, flatten, out, ことができたとしても, それには空間を歪める必要があるかもしれないし, その結果として曲率や体積が変わってしまうかもしれない, リーマン曲率, 可微分構造, 代数的位相幾何学では位相的問題を調べるのに代数学を用いることが主だけれども, 位相を用いて代数的問題を解くということも時には可能である, 例えば代数的位相幾何学で, の任意の部分群がまた自由となること, を簡便に示すことができる, 自由群, そのような不変量として最も重要なのが, コホモロジー群, を調べるのに, 由来の道具を用いる数学の一分野である, その基本的な最終目的は, 位相空間を分類する代数的, を求めることであるが, 普通は, を除いて大まかな分類を得ることが目的となる, ホモトピー同値, 不変量, を除いて, 抽象代数学, は位相空間の重要なクラスであり, そこでは距離函数が任意の二点間に距離と呼ばれる数を割り当てることができる, 距離を持つことで多くの証明が簡明になり, またよく知られた位相空間の多くが距離空間になる, 点集合位相における基本概念は, 直観的に言えば, 連続写像は近くの点を近くに写す, コンパクト集合は任意に小さな有限個の集合で被覆できる, 連結集合は分離された二つの部分に分割されない, ということである, ここで用いた, 任意に小さい, 分離した, といった表現は何れも開集合を用いて明確な言葉に表される, の選び方を変更すれば, それにともなって連続写像やコンパクト集合や連結集合の意味するものも変更される, のそれぞれを, 位相を備えた集合は, そのような, の決め方, 連続性, は位相に関する集合論的定義と構成を扱う位相幾何学の分野である, 位相空間論は, を含む位相幾何学の他の分野の大部分の基礎となる, 点集合位相とも呼ばれる, 位相空間は極めて多様であり風変わりなものも多く存在する裏で, 位相幾何学の多くの分野では多様体と呼ばれるより馴染みやすい位相空間のクラスが注目される, は各点の近くでは, のように見える, を総称して言う, より明確に言えば, 次元多様体の各点は, 次元ユークリッド空間に, を持つ, は一次元多様体だが, 二次元多様体は, は三次元空間内に実現することができるが, 実射影平面, レムニスケート, ユークリッド空間, 位相多様体, 位相空間から別の位相空間への, 任意の開集合の逆像が開であるときに言う, 実数を実数へ写す写像, ただし実数直線の位相は通常の位相を入れる, の場合には, における, の定義と同値である, 連続写像が, であって, その逆写像もまた連続となるならば, その写像は, あるいは単に同相, また写像の定義域はその像と同相であると言う, これはこの写像が位相の間の写像を自然に引き起こすということもできる, 互いに同相な二つの空間は, 同一の位相的性質を持ち, 従って位相的には同じ空間と考えることができる, 例えば立方体と球面は同相であり, 同様にコーヒーカップとドーナツは同相だが, 他方円とドーナツは同相でない, 連続函数, 初等解析学, 連続写像, の元は, の部分集合が, その補集合が, の元となる, つまり補集合が開集合となる, ことである, の部分集合は, 開でも閉でもある, こともあれば, そのどちらでもないこともある, 空集合と, 自身は常に開かつ閉である, を含む開集合は, 開かつ閉集合, の三条件をすべて満たすときに言う, 上の位相であるとき, に特定の位相, が備わっていることを, と書き表すこともある, の元の任意の有限交叉は, の元の任意の合併は, 空集合, および全体集合, 厳密に言えば, に対し, の位相であるとは, 部分集合族, 大まかに言えば集合の元が互いにどの程度空間的に関連があるのかを示す, この分野の中心的な数学的構造である, 一つの集合には複数の異なる位相が入り得る, は異なる位相を持つ同一の集合と見ることができる, カントール集合, 複素数平面, 実数直線, らの研究を取りまとめる形で, 今日では一般的な位相空間の特別の場合であると考えられている, の概念を確立したのは, 1906, 年のことである, という用語を導入したのは, 1914, 年に今日では, と呼ばれる概念を定義するために用いられたものであるが, その一般化として現代的な意味での位相空間という概念が確立されるのは, 1922, の手による, クラトフスキー, ハウスドルフ空間, ハウスドルフ, フレシェ, アスコリ, アダマール, アルツェラ, ボルテラ, 現代的な位相幾何学は, 世紀後半に確立された, を大きな基盤として成り立っている, 集合論の祖のひとりである, の研究に際してユークリッド空間内の点集合について考察している, フーリエ級数, ゲオルク, 1895, 年の論文, の中で, の概念を導入した, これはホモロジー論へと発展した, 同じ論文の中でポアンカレは, の研究を行った, 論へと発展した, これらはいまや代数的位相幾何学の大きな柱であると考えられている, 基本群, ホモロジー, 多面体の頂点, 面の数を各々, とおくと, これらが, の関係にあるとする, 世紀当時の解析学, 代数学を中心とする数学の流れにおいて孤立した結果であった, 世紀にガウスは, を線積分により表示する公式を与え, また後半紀に, が現在, と呼ばれる概念を提出し, は曲面の上の, の解の自由度の差を曲面の種数を含む数と同定する, をまとめた, これら前駆的研究に対して, トポロジーがひとつの分野として確立する契機となったのは, 1900, 年前後の, の一連の研究による, ロッホの定理, ロッホ, リーマン面, 絡み目数, オイラーの定理, も参照, 毛球の定理, ケーニヒスベルクの橋, が紀元前にはできていたことと比較すると, に始まる位相幾何学は高々, 250, 年の歴史であり, 大きな差がある, オイラーは, いわゆる, において球面に連続的に変形できるような多面体の辺, 面の数の間にある関係が成り立つことを見出したが, これをもって位相幾何学の始まりとするのが一般的である, オイラーの多面体定理, ガウス, ユークリッド幾何学, ライプニッツは, に宛てた, の中で自分の考えをのべた一つの, 公にされたのは, を送った, その中でライプニッツは, のなかに簡潔な方法や美しい構成を与えていないので自分は代数学に満足できない, 代数学が量を端的にあらわしているように, もっと幾何学的に位置, を表す別の解析, 既知や未知の位置の間の関係を論ずる幾何学的解析, が必要である, と強調した, ライプニッツは幾何学的対象を記号で表す新しい代数学の構成を夢みていたが, 発展させることはできなかった, 当時としては計量的な性質から完全に抜け出すことはできなかったので, ホイヘンスはライプニッツの思想や方法に興味を示すことはなかった, 1833年, エッセイ, ホイヘンス, 1679年, オイラーによる, ケーニヒスベルクの, つの橋, 問題の解決は位相幾何学の萌芽, のひとつ, であるとみなされている, オイラーは問題を解決した論文のなかで, これがまさにライプニッツのいう, geometrica, と述べた, 主として, およびそれらの別の多様体への, 特に活発なのが, の多様体について調べる, であり, これには, 結び目理論, 低次元位相幾何学, 埋め込み, differential, などの代数的構成を用いて連結性の度合いを測ることを試みる, 位相の基礎となる側面を確立し, 位相空間の性質を研究し, 位相空間特有の概念について研究する, 別の言い方をすると, 与えられた集合を, とするような, に関して研究する, 分野である, これには他のあらゆる分野で用いられる基本的な位相的概念, などの話題を含む, を扱う, set, 点集合位相, 位相幾何学には様々な分科が存在する, 位相幾何学は, 変換といった概念の研究を通じて, から生じた分野である, このような考え方は, 17世紀に, 位置の幾何, 位置の解析, を見越した, にまで遡れる, がこの分野における最初の定理であるというのが定説となっている, は19世紀に, によって導入されたが, 位相空間の概念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない, 20世紀中ごろには, 位相幾何学は数学の著名な一分野となっていた, ヨハン, ベネディクト, リスティング, 多面体公式, ケーニヒスベルクの七つの橋問題, レオンハルト, ゴットフリート, geometria, トポロジーは, 何らかの形, かたち, を連続変形, 伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと, しても保たれる性質, または, に焦点を当てたものである, 位相的性質において重要なものには, などが挙げられる, 位相不変量, 位相的性質, 名称は, トポス, ロゴス, に由来し, 位置の学問, を意味している, λόγος, τόπος, ギリシア語, いそうきかがく, の分野の1つであり, を構成する, の連続的位置関係のみに着目してその性質を研究する, マグカップからドーナツ, への連続変形, の一種, とその逆, もっとも単純な非, な結び目, 三葉結び目, 一つの面と一つの辺を持つ, 位相幾何学の研究対象の一つである, メビウスの帯, はこの項目へ, されています, その他の用法については, をご覧ください, 曖昧さ回避, フリー百科事典, ウィキペディア, ウィキデータ項目, ウィキブックス, 他のプロジェクト, 印刷用バージョン, pdf, 形式でダウンロード, ブックの新規作成, 書き出し, レガシーパーサーに切り替え, 短縮urlを取得する, このページを引用, ページ情報, この版への固定リンク, ファイルをアップロード, 関連ページの更新状況, リンク元, 日本語, ノート, ページ, リンクを編集, ייִדיש, хальмг, winaray, tiếng, việt, oʻzbekcha, ўзбекча, اردو, українська, türkçe, tagalog, türkmençe, ไทย, тоҷикӣ, தமிழ், kiswahili, svenska, српски, srpski, shqip, slovenščina, slovenčina, simple, සිංහල, srpskohrvatski, српскохрватски, sicilianu, русский, română, ရခိုင်, português, پنجابی, piemontèis, polski, ਪੰਜਾਬੀ, occitan, novial, bokmål, nynorsk, nederlands, नेपाल, भाषा, မြန်မာဘာသာ, melayu, монгол, македонски, олык, марий, madhurâ, latviešu, lietuvių, lingua, franca, nova, лезги, lëtzebuergesch, latina, кыргызча, 한국어, ಕನ್ನಡ, ភាសាខ្មែរ, қазақша, qaraqalpaqsha, ქართული, patois, italiano, íslenska, ido, indonesia, interlingua, հայերեն, magyar, kreyòl, ayisyen, hrvatski, हिन्दी, עברית, galego, kriyòl, gwiyannen, gaeilge, furlan, nordfriisk, français, vosa, vakaviti, suomi, فارسی, euskara, eesti, español, esperanto, ελληνικά, deutsch, dansk, cymraeg, чӑвашла, čeština, کوردی, català, bosanski, བོད, ཡིག, বাংলা, български, тарашкевіца, bikol, central, башҡортса, azərbaycanca, asturianu, مصرى, العربية, aragonés, afrikaans, 脚注サブセクションを切り替えます, 応用サブセクションを切り替えます, 主要な話題サブセクションを切り替えます, 主要な概念サブセクションを切り替えます, ページ先頭, 個人用ツール, ウィキペディアに関するお問い合わせ, バグの報告, お知らせ, 井戸端, 利用案内, 特別ページ, アップロード, 練習用ページ, おまかせ表示, 最近の更新, 新しいページ, 最近の出来事, コミュニティ, メインページ, コンテンツにスキップ,
Text of the page (random words):
ral беларуская тарашкевіца беларуская български বাংলা བོད ཡིག bosanski català کوردی čeština чӑвашла cymraeg dansk deutsch ελληνικά english esperanto español eesti euskara فارسی suomi na vosa vakaviti français nordfriisk furlan gaeilge 贛語 kriyòl gwiyannen galego עברית हिन्दी hrvatski kreyòl ayisyen magyar հայերեն interlingua bahasa indonesia ido íslenska italiano patois ქართული qaraqalpaqsha қазақша ភាសាខ្មែរ ಕನ್ನಡ 한국어 кыргызча latina lëtzebuergesch лезги lingua franca nova lietuvių latviešu madhurâ олык марий македонски монгол bahasa melayu မြန်မာဘာသာ नेपाल भाषा nederlands norsk nynorsk norsk bokmål novial occitan ਪੰਜਾਬੀ polski piemontèis پنجابی português ရခိုင် română русский sicilianu srpskohrvatski српскохрватски සිංහල simple english slovenčina slovenščina shqip српски srpski svenska kiswahili தமிழ் тоҷикӣ ไทย türkmençe tagalog türkçe українська اردو oʻzbekcha ўзбекча tiếng việt winaray 吴语 хальмг ייִדיש 文言 粵語 中文 リンクを編集 ページ ノート 日本語 閲覧 編集 履歴を表示 ツール ツール サイドバーに移動 非表示 操作 閲覧 編集 履歴を表示 全般 リンク元 関連ページの更新状況 ファイルをアップロード この版への固定リンク ページ情報 このページを引用 短縮urlを取得する レガシーパーサーに切り替え 印刷 書き出し ブックの新規作成 pdf 形式でダウンロード 印刷用バージョン 他のプロジェクト コモンズ ウィキブックス ウィキデータ項目 表示 サイドバーに移動 非表示 出典 フリー百科事典 ウィキペディア wikipedia トポロジー はこの項目へ 転送 されています その他の用法については トポロジー 曖昧さ回避 をご覧ください 一つの面と一つの辺を持つ メビウスの帯 は 位相幾何学の研究対象の一つである 三葉結び目 もっとも単純な非 自明 な結び目 マグカップからドーナツ トーラス への連続変形 同相写像 の一種 とその逆 位相幾何学 いそうきかがく 英 topology トポロジー 注釈 1 は 幾何学 の分野の1つであり 図形 を構成する 点 の連続的位置関係のみに着目してその性質を研究する 学問 3 である 名称は ギリシア語 で 位置 場所 を意味する τόπος トポス と 言葉 学問 を意味する λόγος ロゴス に由来し 位置の学問 を意味している トポロジーは 何らかの形 かたち あるいは 空間 を連続変形 伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと しても保たれる性質 位相的性質 または 位相不変量 に焦点を当てたものである 4 位相的性質において重要なものには 連結性 および コンパクト性 などが挙げられる 5 位相幾何学は 空間 次元 変換といった概念の研究を通じて 幾何学 および 集合論 から生じた分野である 6 このような考え方は 17世紀に 位置の幾何 羅 geometria situs および 位置の解析 羅 analysis situs を見越した ゴットフリート ライプニッツ にまで遡れる レオンハルト オイラー の ケーニヒスベルクの七つの橋問題 および 多面体公式 がこの分野における最初の定理であるというのが定説となっている 用語 topology は19世紀に ヨハン ベネディクト リスティング によって導入されたが 位相空間の概念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない 20世紀中ごろには 位相幾何学は数学の著名な一分野となっていた 位相幾何学には様々な分科が存在する 7 位相空間論 general topology は 位相の基礎となる側面を確立し 位相空間の性質を研究し 位相空間特有の概念について研究する 別の言い方をすると 与えられた集合を 位相空間 とするような 開集合 に関して研究する 分野である これには他のあらゆる分野で用いられる基本的な位相的概念 コンパクト性 や 連結性 などの話題を含む を扱う 点集合位相 point set topology も含まれる 代数的位相幾何学 algebraic topology は ホモロジー群 や ホモトピー群 などの代数的構成を用いて連結性の度合いを測ることを試みる 微分位相幾何学 differential topology は 可微分多様体 上の 可微分写像 を扱う分野である 微分幾何学 とも近しい関係にあり これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される 幾何学的位相幾何学 geometric topology は 主として 多様体 およびそれらの別の多様体への 埋め込み について研究する 特に活発なのが 四次元 以下 の多様体について調べる 低次元位相幾何学 であり これには 結び目 について研究する 結び目理論 も含まれる 歴史 編集 オイラーによる ケーニヒスベルクの 7 つの橋 問題の解決は位相幾何学の萌芽 のひとつ であるとみなされている オイラーは問題を解決した論文のなかで これがまさにライプニッツのいう geometrica situs である と述べた 8 1679年 の秋 ライプニッツは ホイヘンス に宛てた 手紙 の中で自分の考えをのべた一つの エッセイ 公にされたのは 1833年 を送った 9 10 その中でライプニッツは 代数学 は 幾何学 のなかに簡潔な方法や美しい構成を与えていないので自分は代数学に満足できない 代数学が量を端的にあらわしているように もっと幾何学的に位置 situs を表す別の解析 analysis 既知や未知の位置の間の関係を論ずる幾何学的解析 geometric analysis が必要である と強調した ライプニッツは幾何学的対象を記号で表す新しい代数学の構成を夢みていたが 発展させることはできなかった 当時としては計量的な性質から完全に抜け出すことはできなかったので ホイヘンスはライプニッツの思想や方法に興味を示すことはなかった 11 ユークリッド幾何学 が紀元前にはできていたことと比較すると オイラー や ガウス に始まる位相幾何学は高々 250 年の歴史であり 大きな差がある オイラーは いわゆる オイラーの多面体定理 において球面に連続的に変形できるような多面体の辺 頂点 面の数の間にある関係が成り立つことを見出したが これをもって位相幾何学の始まりとするのが一般的である ケーニヒスベルクの橋 および 毛球の定理 も参照 多面体の頂点 辺 面の数を各々 n 0 n 1 n 2 とおくと これらが n 0 n 1 n 2 2 の関係にあるとする オイラーの定理 は 18 世紀当時の解析学 代数学を中心とする数学の流れにおいて孤立した結果であった 19 世紀にガウスは 絡み目数 を線積分により表示する公式を与え また後半紀に リーマン が現在 リーマン面 と呼ばれる概念を提出し ロッホ は曲面の上の 2 つの 偏微分方程式 の解の自由度の差を曲面の種数を含む数と同定する リーマン ロッホの定理 をまとめた これら前駆的研究に対して トポロジーがひとつの分野として確立する契機となったのは 1900 年前後の ポアンカレ の一連の研究による 12 ポアンカレ は 1895 年の論文 analysis situs 英語版 の中で ホモロジー の概念を導入した これはホモロジー論へと発展した 同じ論文の中でポアンカレは 基本群 の研究を行った これは ホモトピー 論へと発展した これらはいまや代数的位相幾何学の大きな柱であると考えられている 現代的な位相幾何学は 19 世紀後半に確立された 集合論 を大きな基盤として成り立っている 集合論の祖のひとりである ゲオルク カントール は フーリエ級数 の研究に際してユークリッド空間内の点集合について考察している カントール ボルテラ アルツェラ 英語版 アダマール アスコリ 英語版 らの研究を取りまとめる形で 今日では一般的な位相空間の特別の場合であると考えられている 距離空間 の概念を確立したのは フレシェ で 1906 年のことである 位相空間 という用語を導入したのは ハウスドルフ で 1914 年に今日では ハウスドルフ空間 と呼ばれる概念を定義するために用いられたものであるが その一般化として現代的な意味での位相空間という概念が確立されるのは 1922 年 クラトフスキー の手による 主要な概念 編集 集合上の位相 編集 詳細は 位相空間 を参照 位相 トポロジー 注釈 1 は 大まかに言えば集合の元が互いにどの程度空間的に関連があるのかを示す この分野の中心的な数学的構造である 一つの集合には複数の異なる位相が入り得る 例えば 実数直線 複素数平面 および カントール集合 は異なる位相を持つ同一の集合と見ることができる 厳密に言えば 集合 x に対し x の 部分集合族 τ が x の位相であるとは 空集合 および全体集合 x は τ の元 τ の元の任意の合併は τ の元 τ の元の任意の有限交叉は τ の元 の三条件をすべて満たすときに言う τ が x 上の位相であるとき 対 x τ は 位相空間 と呼ばれる 集合 x に特定の位相 τ が備わっていることを x τ と書き表すこともある τ の元は x の 開集合 と呼ばれる x の部分集合が 閉 であるとは その補集合が τ の元となる つまり補集合が開集合となる ことである x の部分集合は 開でも閉でもある 開かつ閉集合 こともあれば そのどちらでもないこともある 空集合と x 自身は常に開かつ閉である 点 x を含む開集合は x の 開 近傍 と呼ばれる 連続写像と同相写像 編集 詳細は 連続写像 および 同相 を参照 位相空間から別の位相空間への 写像 が 連続 であるとは 任意の開集合の逆像が開であるときに言う これは 実数を実数へ写す写像 ただし実数直線の位相は通常の位相を入れる の場合には 初等解析学 における 連続函数 の定義と同値である 連続写像が 単射 かつ 全射 であって その逆写像もまた連続となるならば その写像は 同相写像 あるいは単に同相 と呼ばれ また写像の定義域はその像と同相であると言う これはこの写像が位相の間の写像を自然に引き起こすということもできる 互いに同相な二つの空間は 同一の位相的性質を持ち 従って位相的には同じ空間と考えることができる 例えば立方体と球面は同相であり 同様にコーヒーカップとドーナツは同相だが 他方円とドーナツは同相でない 多様体 編集 詳細は 位相多様体 を参照 位相空間は極めて多様であり風変わりなものも多く存在する裏で 位相幾何学の多くの分野では多様体と呼ばれるより馴染みやすい位相空間のクラスが注目される 多様体 は各点の近くでは ユークリッド空間 のように見える 位相空間 を総称して言う より明確に言えば n 次元多様体の各点は n 次元ユークリッド空間に 同相 な 近傍 を持つ 直線 や 円周 は一次元多様体だが レムニスケート はそうでない 二次元多様体は 曲面 と呼ばれ 例えば 平面 や 球面 や トーラス は三次元空間内に実現することができるが クラインの壺 や 実射影平面 はそうでない 主要な話題 編集 一般位相 編集 詳細は 位相空間論 を参照 位相空間論 一般位相 は位相に関する集合論的定義と構成を扱う位相幾何学の分野である 13 14 位相空間論は 微分位相幾何学 幾何学的位相幾何学 および 代数的位相幾何学 を含む位相幾何学の他の分野の大部分の基礎となる 点集合位相とも呼ばれる 点集合位相における基本概念は 連続性 コンパクト性 連結性 である 直観的に言えば 連続写像は近くの点を近くに写す コンパクト集合は任意に小さな有限個の集合で被覆できる 連結集合は分離された二つの部分に分割されない ということである ここで用いた 近く 任意に小さい 分離した といった表現は何れも開集合を用いて明確な言葉に表される 開集合 の選び方を変更すれば それにともなって連続写像やコンパクト集合や連結集合の意味するものも変更される そのような 開集合 の決め方 のそれぞれを 位相 と呼ぶ 位相を備えた集合は 位相空間 と呼ばれる 距離空間 は位相空間の重要なクラスであり そこでは距離函数が任意の二点間に距離と呼ばれる数を割り当てることができる 距離を持つことで多くの証明が簡明になり またよく知られた位相空間の多くが距離空間になる 代数的位相幾何学 編集 詳細は 代数的位相幾何学 を参照 代数的位相幾何学 は 位相空間 を調べるのに 抽象代数学 由来の道具を用いる数学の一分野である 15 その基本的な最終目的は 同相 を除いて 位相空間を分類する代数的 不変量 を求めることであるが 普通は ホモトピー同値 を除いて大まかな分類を得ることが目的となる そのような不変量として最も重要なのが ホモトピー群 ホモロジー群 および コホモロジー群 である 代数的位相幾何学では位相的問題を調べるのに代数学を用いることが主だけれども 位相を用いて代数的問題を解くということも時には可能である 例えば代数的位相幾何学で 自由群 の任意の部分群がまた自由となること を簡便に示すことができる 微分位相幾何学 編集 詳細は 微分位相幾何学 を参照 微分位相幾何学 は 可微分多様体 上の 可微分写像 を扱う分野である 16 微分幾何学 とも近しい関係にあり これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される より精確に述べれば 微分位相幾何学は多様体上に 可微分構造 英語版 が定義されることのみを必要とする性質や構造を考察する 滑らかな多様体はほかに余計な幾何学的構造 これらは微分位相幾何学において存在するある種の同値性や 変形 英語版 の妨げとなる を持つ多様体よりは 柔らかい 例えば 体積や リーマン曲率 は同一の滑らかな多様体上で相異なる幾何学的構造を区別することのできる不変量である つまり ある種の多様体を滑らかに 平坦にする flatten out ことができたとしても それには空間を歪める必要があるかもしれないし その結果として曲率や体積が変わってしまうかもしれない 幾何学的位相幾何学 編集 詳細は 幾何学的位相幾何学 を参照 幾何学的位相幾何学 は主に低次元 二 三 四次元 の多様体に焦点を当ててその形状を調べる位相幾何学の分野であるが より高次元の位相幾何学も一部には含む 17 18 幾何学的位相幾何学の主題には例えば 向き付け可能性 ハンドル分解 英語版 局所平坦性 英語版 および 平面および高次元の シェーンフリースの定理 英語版 などがある 高次元の位相幾何学において 特性類 は基本的な不変量であり 手術理論 英語版 は鍵となる理論である 低次元位相幾何学は 二次元における 一意化定理 任意の曲面が一定曲率計量をもつ 幾何学的に言えば正曲率 球面的 零曲率 平坦 負曲率 双曲的 の三種類の何れかになる や三次元における 幾何化予想 任意の三次元多様体は 各々は可能な八種類の幾何の何れかであるような小片に切り分けることができる に現れているように 極めて幾何学的である 二次元の位相幾何学は一変数の複素幾何として調べることができる リーマン面は複素曲線である 一意化定理により 計量の任意の共形類は一意な複素計量に同値である また四次元位相幾何学は二変数の複素幾何 複素曲面 の観点から調べることができるが 任意の余次元多様体が複素構造を持つわけではない 一般化 編集 場合によっては 位相幾何学の道具が必要だが 点集合 は使えないという場面に遭遇することもある 点なし位相 英語版 非点集合的位相空間論 では理論の基本概念として開集合の 束 を考える 19 一方 グロタンディーク位相 は任意の 圏 上に定義される構造で それら圏上に 層 を定義することが可能になり 一般コホモロジー論の定義を持ち込むことができる 20 応用 編集 この節の 加筆 が望まれています 位相幾何学の手法を用いると 抽象的な接続関係に関する性質や微小変形で不変な大域的な性質を扱うことができる 数学の一分野として整理される以前より 位相幾何学的手法が単発的に使われてきた 空間中の二つの電流の相互作用に対する ガウスの線積分表示など が 二十世紀後半には特に他分野との関連が深まり 現在でも応用領域は広がっている 応用領域 内容 物理学 宇宙 の形状 素粒子の記述体系 量子数 の記述 超伝導絶縁体 我々の世界に関する性質 タイムマシン は存在するか など 化学 フラーレン など分子構造 生物学 結び目 をなす分子の 形状による機能や変形 dnaトポイソメラーゼ 経済学 ワルラス均衡 の存在 ナッシュ均衡 の存在の証明に位相空間論の手法が用いられる 情報科学 論理体系の 意味論 を展開する枠組みとして 層 数学 の利用 経路空間のホモロジーによる記述 またネットワークの取り扱いにおいては グラフ理論 を手段として研究され 一般的には ネットワーク トポロジー として知られている また 人工知能の研究分野では 位相的データ解析 tda topological data analysis 技術が発展の見込みにある カタストロフィー理論 形態形成 経済現象の記述 3次元コンピュータグラフィックス 3dcgにおける モーフィング は ホモトピー 変形を利用している また立体計測やデジタル スカルプト で生成された複雑な ポリゴン モデルを単純な構造のモデルに作り変える操作をリトポロジー retopology と呼ぶ 位相幾何学を発展させたものとして パーシステントホモロジー がある これは特に応用されており 以下のような応用例が存在する センサーネットワークの被覆問題 編集 センサーネットワークとは 多数のセンサーを配置してある領域全体を監視するシステムである パーシステントホモロジーを用いると センサーネットワークの穴について計算することができる センサーネットワークにおいてはセンサーの故障が問題となっている モバイルセンサ 自律的に動くセンサ によるセンサーネットワークについて ホモロジーにより穴の計算をすることにより 人間の手を介在することなくセンサーを再配置できる ghristの発想としては 局所的なセンサー間の接続や被覆状況から大域的な情報を抜き出すことができる 各センサーの被覆や接続情報などの局所的な情報と 対象領域 d displaystyle mathcal d の被覆情報であるホモロジー群はリップス複体 rips複体 を形成している 21 アモルファスの構造解析とパーシステント図 編集 ガラスなどのアモルファス構造は 結晶とは異なり原子配列に周期性を持たないことから 構造を適切に表現する記述法として満足なものが得られていなかった 従来の手法では 各原子の近傍に関する短距離構造について調べることは可能であったが アモルファスの構造を理解するには より広範囲の原子で構成される中距離構造を理解する必要性が報告されていた パーシステントホモロジーにおける手法であるフィルトレーションを用いると 穴の発生と消滅までの時間という２つの情報 パーシステント図 から 短距離 中距離の構造を抽出することができる 最近接の３原子 si１つと酸素原子２つ からなる構造 穴 は 誕生 birth も早いがその分死亡 death も早い これがガラスの短距離構造である 対して si７個と酸素原子７個からなる構造は誕生が早いのに対して死亡は遅い これがガラスの中距離構造である このようにして リングの誕生と死亡までの時間によりガラスなどのアモルファスの構造を記述できるのである 各原子とそれぞれの点に貼り付けられた半径rの円は アルファ複体を形成している 22 脚注 編集 脚注の使い方 注釈 編集 1 2 トポロジー の語は 複数の異なる意味で用いられるので文脈に注意すべきである もっとも狭義には 空間内に 近さ や 極限 の概念を導入する概念である 位相 より広義には本項で言う 位相幾何学 の意味で用いられ また位相幾何学の同義語として 位相数学 も用いられるが 最も広義には トポロジー および 位相数学 は 位相幾何学を展開する基礎付けを与える 一般位相 あるいは 位相空間論 を指して用いられる 1 これを 位置と形相 の学問という意味で 位相 と訳したのは 中村幸四郎 氏であり いくつかの訳語の中からこの訳語を選んだのは 高木貞治 氏である 2 出典 編集 トポロジー コトバンク 村田全 第iii部 19 20世紀の数学 数学講座 18 数学史 筑摩書房 1975年 554n 頁 ndljp 12608865 世界大百科事典 位相幾何学 コトバンク oxford dictionaries topology define topology at dictionary com what is topology 日本大百科全書 ニッポニカ トポロジー コトバンク 近藤 井関 1982 p 316 近藤 井関 1982 pp 65f スピノザ ライプニッツ 中央公論社 世界の名著 25 1969年 469 頁 ndljp 2935183 近藤 井関 1982 p 315 古田幹雄 トポロジーとその 応用 の可能性 応用数理 第15巻第1号 2005年 49 52頁 doi 10 11540 bjsiam 15 1_49 munkres james r topology vol 2 upper saddle river prentice hall 2000 adams colin conrad and robert david franzosa introduction to topology pure and applied pearson prentice hall 2008 allen hatcher algebraic topology 2002 cambridge university press xii 544 pp isbn 0 521 79160 x and isbn 0 521 79540 0 lee john m 2006 introduction to smooth manifolds springer verlag isbn 978 0 387 95448 6 budney ryan 2011年 what is geometric topology mathoverflow net 2013年12月29日閲覧 r b sher and r j daverman 2002 handbook of geometric topology north holland isbn 0 444 82432 4 johnstone peter t 1983 the point of pointless topology bulletin of the american mathematical society 8 1 41 53 artin michael 1962 grothendieck topologies cambridge ma harvard university dept of mathematics zbl 0208 48701 飯野穣 センサネットワークと制御理論 計測と制御 2008年 第47巻 8号 pp 649 656 大林一平 位相的データ解析の現在 数理解析研究所講究録 2017年 第2057巻 pp 34 50 参考文献 編集 出典 は列挙するだけでなく 脚注 などを用いて どの記述の情報源であるかを明記 してください 記事の 信頼性向上 にご協力をお願いいたします 2013年4月 志賀浩二 数学の流れ30講 下 20世紀数学の広がり 第24講 第25講 朝倉書店 2009年 近藤基吉 井関清志 近代数学 上 現代数学の黎明期 日本評論社 1982年 ndljp 12608098 関連文献 編集 ryszard engelking general topology heldermann verlag sigma series in pure mathematics december 1989 isbn 3 88538 006 4 bourbaki elements of mathematics general topology addison wesley 1966 breitenberger e 2006 johann benedict listing in james i m history of topology north holland isbn 978 0 444 82375 5 kelley john l 1975 general topology springer verlag isbn 0 387 90125 6 brown ronald 2006 topology and groupoids booksurge isbn 1 4196 2722 8 http pages bangor ac uk mas010 topgpds html provides a well motivated geometric account of general topology and shows the use of groupoids in discussing van kampen s theorem covering spaces and orbit spaces wacław sierpiński general topology dover publications 2000 isbn 0 486 41148 6 pickover clifford a 2006 the möbius strip dr august möbius s marvelous band in mathematics games literature art technology and cosmology thunder s mouth press isbn 1 56025 826 8 provides a popular introduction to topology and geometry gemignani michael c 1990 1967 elementary topology 2nd ed dover publications inc isbn 0 486 66522 4 和書も挙げる フランク b ギブニー 編 位相数学 ブリタニカ国際大百科事典 2巻 改訂版 tbsブリタニカ 1984年 125 128頁 ndljp 12405045 https dl ndl go jp info ndljp pid 12405045 78 河田敬義 位相数学 共立出版 1956年6月30日 吉田耕作 河田敬義 岩村聯 位相解析の基礎 岩波書店 1960年2月29日 a h ウォーレス 位相幾何学入門 共立出版 共立全書522 1961年1月5日 河田敬義 編 位相幾何学 岩波書店 1965年9月28日 小松醇郎 中岡稔 菅原正博 位相幾何学 i 岩波書店 isbn 4 00 005027 3 1967年6月22日 河田敬義 大口邦雄 位相幾何学 復刊 朝倉書店 isbn 4 254 11656 x 初版 1967年8月30日 松坂和夫 集合 位相入門 岩波書店 1968年6月10日 中岡稔 位相幾何学 ホモロジー論 共立出版 1970年3月10日 田村一郎 トポロジー 岩波 岩波全書276 1972年4月27日 菅原正博 位相幾何学 培風館 1977年11月10日 a t fomenko d b fuchs v l gutenmacher ホモトピー論 幻想の世界から位相幾何学へ 共立出版 isbn 4 320 01420 0 1989年6月25日 一樂重雄 位相幾何学 朝倉書店 isbn 4 254 11438 9 1993年12月1日 r ボット l w トゥー著 三村護 訳 微分形式と代数トポロジー シュプリンガー フェアラーク東京 isbn 4 431 70707 7 1996年11月1日 河内明夫 線形代数からホモロジーへ 培風館 isbn 4 563 00284 4 2000年4月26日 o veblen ヴェブレンの位相幾何学 森北出版 1970年5月25日 小宮克弘 位相幾何入門 裳華房 isbn 4 7853 1528 8 2001年10月25日 枡田幹也 代数的トポロジー 朝倉書店 isbn 4 254 11595 4 2002年2月25日 安藤哲哉 編 コホモロジー 日本評論社 isbn 4 535 78353 5 2002年7月20日 服部晶夫 多様体のトポロジー 岩波書店 isbn 4 00 005646 8 2003年8月26日 佐久間一浩 トポロジー集中講義 オイラー標数をめぐって 培風館 isbn 4 563 00365 4 2006年7月20日 北田韶彦 位相空間とその応用 朝倉書店 isbn 978 4 254 11762 2 2007年1月25日 森下昌紀 結び目と素数 シュプリンガー ジャパン isbn 978 4 431 10052 2 2009年4月2日 これは数論的位相幾何学の本 d g northcott northcott ホモロジー代数入門 共立出版 isbn 978 4 320 01916 4 2010年2月25日 安藤哲哉 ホモロジー代数学 数学書房 isbn 978 4 903342 16 0 2010年3月10日 寺澤順 トポロジーへの招待 日本評論社 isbn 978 4 535 78574 8 2012年4月25日 阿原一志 計算で身につくトポロジー 共立出版 isbn 978 4 320 11039 7 2013年7月15日 関連項目 編集 クラインの壺 カラビ ヤウ多様体 アレクサンダーの角付き球面 位相幾何学者の正弦曲線 位相的データ解析 英語版 パーシステントホモロジー 外部リンク 編集 ウィキメディア コモンズには 位相幾何学 に関連するメディアがあります ウィキブックスに 位相幾何学 関連の解説書 教科書があります weisstein eric w topology mathworld wolfram com 英語 topology in nlab topology general encyclopedia of mathematics ems press 2001 1994 elementary topology a first course viro ivanov netsvetaev kharlamov 位相幾何学 curlie 英語 the topological zoo at the geometry center topology atlas topology course lecture notes aisling mccluskey and brian mcmaster topology atlas topology glossary moscow 1935 topology moving towards america ウェイバックマシン 2006年10月6日アーカイブ分 a historical essay by hassler whitney 幾何学ii utokyo opencourseware ホモロジー群と基本群について bastian rieck topology meets machine learning an introduction using the euler characteristic transform notices of ams aug 2025 表 話 編 歴 数学 主要分野 数理論理学 集合論 圏論 代数学 初等 線型 多重線型 抽象 算術 数論 解析学 微分積分学 関数解析学 行列解析 幾何学 代数 微分 有限 離散 位相 代数的位相 表現論 リー理論 英語版 微分方程式 線型微分方程式 複素微分方程式 常微分方程式 偏微分方程式 積分微分方程式 力学系 組合せ数学 数理物理学 ゲーム理論 グラフ理論 最適化問題 数理最適化 計算理論 確率論 数理統計学 英語版 制御理論 三角法 トピックス 数学史 和算 算道 数理哲学 美 未解決問題 算数 数学教育 算数 教科 主要賞 ド モルガン メダル コール賞 フィールズ賞 スティール賞 ウルフ賞 ショウ賞 アーベル賞 数学ブレイクスルー賞 ヨーロッパ数学会賞 クレイ研究賞 応用 情報理論 折紙の数学 囲碁と数学 数値解析 精度保証付き数値計算 計算機援用証明 数値線形代数 常微分方程式の数値解法 偏微分方程式の数値解法 学会 団体 国際数学者会議 国際数学連合 国際産業数理 応用数理会議 国際産業数理 応用数理評議会 英語版 アメリカ数学会 siam ヨーロッパ数学会 ロンドン数学会 日本応用数理学会 日本数学会 数学教育協議会 競技 国際数学オリンピック 日本数学オリンピック 日本ジュニア数学オリンピック 広中杯 近畿大学数学コンテスト 人の最大の力を競う算数 数学の大会 研究所 京都大学数理解析研究所 明治大学先端数理科学インスティテュート 統計数理研究所 アンリ ポアンカレ研究所 オーバーヴォルファッハ数学研究所 クレイ研究所 cimat数学研究センター ステクロフ数学研究所 一覧 数学定数 数 関数 図形 数学記号 数学者 エポニム カテゴリ ポータル 典拠管理データベース 全般 fast 国立図書館 ドイツ アメリカ フランス bnf data 日本 チェコ ラトビア イスラエル その他 yale lux https ja wikipedia org w index php title 位相幾何学 oldid 111045311 から取得 カテゴリ 位相幾何学 数学に関する記事 隠しカテゴリ isbnマジックリンクを使用しているページ 書きかけの節のある項目 参照方法 curlieリンクを使用している記事 日本語版記事がリダイレクトの仮リンクを含む記事 最終更新 2026年9月17日 木 03 55 日時は 個人設定 で未設定ならば utc ページは parsoid によ...
|
